專題15 排列組合（6大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學考試易錯題（新高考專用）（原卷版）

專題15排列組合易錯點一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當致誤（相鄰問題）相鄰問題技巧總結(jié)相鄰問題1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在一起考慮.如果設(shè)計到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進行計算.2、解題步驟：第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數(shù)第二步：求出其余元素的排列種數(shù)第三步：求出總的排列種數(shù)易錯提醒：排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）；（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；例、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（）A．種B．種C．種D．種變式1：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必須相鄰，工序C，D不能相鄰，那么有（

）種加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64變式2：中國航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.

中國的目標是到2030年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站，擴大了太空計劃.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種變式3：為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種1．2023年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．144002．六名同學暑期相約去都江堰采風觀景，結(jié)束后六名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種3．把二項式的所有展開項重新排列，記有理項都相鄰的概率為，有理項兩兩不相鄰的概率為，則（

）A．5 B． C．4 D．4．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．2885．2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種6．為配合垃圾分類在學校的全面展開，某學校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一?高二?高三年級分別有1名?2名?3名同學獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學排成一排合影，要求同年級同學排在一起，則不同的排法共有（

）A．18種 B．36種 C．72種 D．144種7．甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．28808．某駕校6名學員站成一排拍照留念，要求學員A和B不相鄰，則不同的排法共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種9．某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車、高鐵共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車停放在道的概率為（

）A． B． C． D．10．班長邀請四位同學參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位，則兩位同學座位相鄰的概率是（）

A． B．C． D．11．將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（

）A．4種 B．8種 C．12種 D．48種12．5名同學排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（

）A．70種 B．72種 C．36種 D．12種13．現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進行排列，則（

）A．排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種B．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種C．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種D．全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進行列隊訓練，則（

）A．甲乙不相鄰的不同排法有48種B．甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種C．甲乙不排在兩端的不同排法有36種D．甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種16．某學校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會對他們的出場順序進行安排，則下列說法正確的是（

）A．若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場順序C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場順序D．若學生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個教師節(jié)目，共有72種不同的出場順序17．某校高二年級安排甲?乙?丙三名同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每名同學只能選擇一個社區(qū)進行實踐活動，且多名同學可以選擇同一個社區(qū)進行實踐活動，則下列說法正確的有（

）A．如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種C．如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲?乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種18．在樹人中學舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現(xiàn)將獲得一等獎的學生排成一排合影，則（

）A．3名男生排在一起，有6種不同排法 B．2名女生排在一起，有48種不同排法C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種20．(多選)把5件不同產(chǎn)品A，B，C，D，E擺成一排，則（

）A．A與B相鄰有48種擺法B．A與C相鄰有48種擺法C．A，B相鄰又A，C相鄰，有12種擺法D．A與B相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法21．甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（

）A． B． C． D．易錯點二：“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”（不相鄰問題）不相鄰問題技巧總結(jié)1.思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進行全排列，然后將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間，最后進行計算即可2.解題步驟：①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當種（插空法），求出排列種數(shù)③求出總的排列種數(shù)易錯提醒：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間．但應(yīng)該注意插入的元素之間如果也有順序，應(yīng)先進行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù)．（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起．變式1：為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有（

）A．12種 B．24種 C．72種 D．120種1．4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（

）A．若女生必須站在一起，那么一共有種排法B．若女生互不相鄰，那么一共有種排法C．若甲不站最中間，那么一共有種排法D．若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法2．某校文藝匯演共6個節(jié)目，其中歌唱類節(jié)目3個，舞蹈類節(jié)目2個，語言類節(jié)目1個，則下列說法正確的是（

）A．若以歌唱類節(jié)目開場，則有360種不同的出場順序B．若舞蹈類節(jié)目相鄰，則有120種出場順序C．若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場順序D．從中挑選2個不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié)，則有11種不同的選法3．現(xiàn)將把椅子排成一排，位同學隨機就座，則下列說法中正確的是（

）A．個空位全都相鄰的坐法有種B．個空位中只有個相鄰的坐法有種C．個空位均不相鄰的坐法有種D．4個空位中至多有個相鄰的坐法有種4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（

）．A．若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲、乙、丙三位同學按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學，則不同的分配方案有36種5．現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學隨機就座，則下列說法中正確的是（

）A．4個空位全都相鄰的坐法有720種B．4個空位中只有3個相鄰的坐法有1800種C．4個空位均不相鄰的坐法有1800種D．4個空位中至多有2個相鄰的坐法有9000種6．現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（

）A． B．C． D．7．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（

）A．某學生從中選2門課程學習，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法8．有甲、乙、丙等6名同學，則說法正確的是（

）A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240C．6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的安排方法D．6名同學分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（

）A．若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲乙丙三位同學按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學，則不同的分配方案有72種10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A．36 B．72 C．81 D．14411．杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺州活力城市”為主題，全長8公里．從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標建筑．假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種12．，，，，五名學生按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．72 B．36 C．18 D．6413．某選拔性考試需要考查4個學科（語文、數(shù)學、物理、政治），則這4個學科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學考試不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．14．現(xiàn)有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．15．黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長短不等的，兩段，使得長線段與原線段的比等于短線段與長線段的比，即，其比值約為0.618339….小王酷愛數(shù)學，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個數(shù)字組成了手機開機密碼，如果兩個3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個數(shù)為（

）A．180 B．210 C．240 D．360易錯點三：忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件（排列組合綜合）1．兩個重要公式(1)排列數(shù)公式．(2)組合數(shù)公式2、要點：一般用于計算，而和一般用于證明、解方程（不等式）.重點：三個重要性質(zhì)和定理組合數(shù)性質(zhì)（1）對稱性：；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.從個不同的元素中任取個元素后只剩下個元素了，則從個不同的元素中任取個元素與從個不同的元素中任取個元素是等效的.則，故.等式特點：等號兩邊組合數(shù)的下標相同，上標之和等于下標.應(yīng)用：①簡化計算，當時，通常將計算轉(zhuǎn)化為計算，如②列等式：由，可得或，如，則或故或.；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有，根據(jù)分類加法原理：.等式特點：下標相同而上標相差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組合數(shù).應(yīng)用：恒等變形常見的組合恒等式：，，，.（3）.重點：三個重要性質(zhì)和定理組合數(shù)性質(zhì)（1）對稱性：；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.從個不同的元素中任取個元素后只剩下個元素了，則從個不同的元素中任取個元素與從個不同的元素中任取個元素是等效的.則，故.等式特點：等號兩邊組合數(shù)的下標相同，上標之和等于下標.應(yīng)用：①簡化計算，當時，通常將計算轉(zhuǎn)化為計算，如②列等式：由，可得或，如，則或故或.；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有，根據(jù)分類加法原理：.等式特點：下標相同而上標相差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組合數(shù).應(yīng)用：恒等變形常見的組合恒等式：，，，.（3）.易錯提醒：解排列、組合的綜合問題要注意以下幾點（1）元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題．（2）對于有限多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法．例、解不等式.變式1．若，則n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10變式2．計算＋＋＋＋的值為（

）A． B．C．－1 D．－1變式3．若整數(shù)滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或31．可表示為（）A． B．C． D．2．已知，則（

）A．6 B．7 C．8 D．93．！除以2019的余數(shù)為（

）A．1 B．2018 C．2017 D．前三個答案都不對4．甲，乙，丙3位同學從即將開設(shè)的4門校本課程中任選一門參加，則他們參加的校本課程各不相同的概率為（

）A． B． C． D．5．若，則n等（

）A．8 B．4 C．3或4 D．5或66．若，則正整數(shù)（

）A．7 B．8 C．9 D．107．一條鐵路有n個車站，為適應(yīng)客運需要，新增了m個車站，且知，客運車票增加了62種，則現(xiàn)在車站的個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．17 D．188．不等式的解集為（

）A．{2，8} B．{2，6}C．{7，12} D．{8}9．若，則.10．已知，求x的值．11．解關(guān)于正整數(shù)x的不等式．12．解關(guān)于正整數(shù)n的方程：．13．已知，且.求的值.14．（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．15．（1）若，則x=.（2）不等式的解集為.易錯點四：實際問題不清楚導(dǎo)致計算重復(fù)或者遺漏致誤（加法與乘法原理）正難則反問題技巧總結(jié)正難則反排除處理：對于正面不好解決的排列、組合問題，考慮反面(取補集的思想)，一般在題目中有字眼“至多、至少”等體現(xiàn)。正規(guī)方法：限制（定位）問題優(yōu)先處理：某個（幾個）元素要排在指定位置，可先排這個（幾個）元素，再排其它元素，或某個（幾個）位置要求排指定元素，可先排這個（幾個）位置，再排其它位置。（即可從限制元素或限制位置兩方面去考慮。）。秒殺方法：對立事件處理+韋恩圖解釋模型：7個同學站隊，要求甲同學不站在排首，乙同學不站在排尾，求站隊的總方案數(shù).破解：①全部方案：,②其中不合理的方案則種方案.解釋：易錯提醒：排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以我們在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向．同時，解答組合問題必須心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題．例、有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有多少種？變式1：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面點，不同取法有種。變式2：從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有()A.70種B.80種C.100種D.140種變式3：定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1,且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)。若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個B.16C.14個D.12個1．高考期間，為保證考生能夠順利進入考點，交管部門將5名交警分配到該考點周邊三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少1人，至多2人，則不同的分配方染共有（

）A．60種 B．90種 C．125種 D．150種2．某日，甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（

）A． B． C． D．3．將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是（

）A． B．120 C．240 D．7204．用數(shù)字3，6，9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為（

）A．81 B．48 C．36 D．245．從4名優(yōu)秀學生中選拔參加池州一中數(shù)學、物理、化學三學科培優(yōu)研討會，要求每名學生至多被一學科選中，則每學科至少要選用一名學生的情況有（

）種A．24 B．36 C．48 D．606．將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種7．哈六中高一學習雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現(xiàn)在從中任選人，要求這三人不能是同一個班級的學生，且在三班至多選人，不同的選取法的種數(shù)為A． B． C． D．8．下列說法正確的是（

）A．4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有81種報名方法B．4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有24種報名方法C．4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有64種可能的結(jié)果D．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為12個9．如圖，線路從到之間有五個連接點，若連接點斷開，可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)之間線路不通，則下列判斷正確的是（

）A．至多三個斷點的有種 B．至多三個斷點的有種C．共有種 D．共有種10．某班有5名同學報名參加校運會的四個比賽項目，計算在下列情況下各有多少種不同的報名方法.（1）每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；（2）每項限報一人，每項都有人報名，且每人至多參加一項；（3）每人限報一項，人人參加了項目，且每個項目均有人參加.11．已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)對它們一一進行測試，直至找到所有次品．（1）若在第5次測試時找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？（2）若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？12．杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加了A、B、C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加A、B項目，乙不能參加B、C項目，那么共有種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）13．某校在高二年級開設(shè)選修課，其中數(shù)學選修課開四個班.選課結(jié)束后，有四名同學要求改修數(shù)學，但每班至多可再接收2名同學，那么不同的分配方案有（用數(shù)字作答）14．某單位有A、B、C、D四個科室，為實現(xiàn)減負增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓，培訓后這8人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有種不同的安排方法？易錯點五：均勻分組與不均勻分組混淆致誤（相同元素與不同元素分配問題）不同元素分組分配問題技巧總結(jié)分組問題與分配問題Ⅰ：將個不同元素按照某些條件分成組，稱為分組問題.分組問題共分為3類：不平均分組、平均分組、部分平均分組.將個不同元素按照某些條件分配給個不同的對象，稱為分配問題.分配問題共分為2類：定額分配、隨機分配.區(qū)別：分組問題是組與組之間只要元素個數(shù)相同，是不區(qū)分的.而分配問題即使兩組元素個數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的，對于分配問題必須先分組后分配.Ⅱ：分組問題的常見形式及快速處理方法①非均勻不編號分組：個不同元素分成組，每組元素數(shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不管是否分完，其分法種數(shù)為：如：6個不同的球分為3組，且每組數(shù)目不同，有多少種情況？②均勻不編號分組：將個不同元素分成不編號的組，假定其中組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）.如果再有組均勻分組，應(yīng)再除以.除的原因為：如：123456平均分成3組，可能是也可能是或者是等，一共有種不同的組別，但這些組都是一樣的，所以除以.如：兩兩一組，分兩組，若直接用種，但列舉出來的分別為、、再往下列舉就已經(jīng)重復(fù)了.如：、、.如：6個不同的球分為3組，且每組數(shù)目相同，有多少種情況？.③非均勻編號分組：將個不同元素分成組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）④均勻編號分組：將個不同元素分成組，各組元素數(shù)目均相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）.易錯提醒：均勻分組和部分均勻分組在計數(shù)過程中易出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，注意計算公式的應(yīng)用．重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以．例、將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少一本的不同分法共有______種．（用數(shù)字作答）變式1：12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有()種。A.B.3C.D.變式2：將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種變式3：某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有種。（用數(shù)字作答）1．第19屆亞運會將于2023年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項目的志愿者工作，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目．若甲不能參加“蓮花”場館的項目，則不同的選擇方案共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種2．從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的藍球共六個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有（

）A．42種 B．36種 C．72種 D．46種3．陽春三月，草長鶯飛，三個家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每兩位大人之間至多排2位寶寶，由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種數(shù)為（

）A．216 B．288C．432 D．5124．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有（

）A．20種 B．30種 C．50種 D．60種5．杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲?乙等6人報名參加了??三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加?項目，乙不能參加?項目，那么共有（

）種不同的選拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．526．現(xiàn)有甲?乙?丙3位同學在周一至周五參加某項公益勞動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲同學安排在另外兩位前面，則不同的安排總數(shù)為（

）A．10 B．20 C．40 D．607．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種 B．30種 C．40種 D．60種8．甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，則恰好甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是A． B． C． D．9．從2個不同的紅球，2個不同的黃球，2個不同的藍球共6個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入1個球，且球色與袋色不同，則不同的放法有種．10．將2枚白棋和2枚黑棋放入一個的棋盤中，使得棋盤的每個方格內(nèi)至多放入一枚棋子，且相同顏色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我們只區(qū)分顏色而不區(qū)分同種顏色的棋子，則不同放法的種數(shù)為．11．現(xiàn)有紅、黃、白三種顏色的小球（形狀、大小完全相同）5個，每種顏色至多2個小球，若將這5個小球排成一排，要求中間位置不放白球，且同種顏色的小球不相鄰，則共有種排法．12．把座位編號為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為(用數(shù)字作答)．13．全運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加、、三個項目的志愿者工作．因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加1個項目，若甲不能參加、項目，乙不能參加、項目，那么共有多少種不同的選拔志愿者的方案？14．某電影院一排有10個座位，現(xiàn)有4名觀眾就座.（1）若4名觀眾必須相鄰，則不同的坐法有多少種？（2）若4名觀眾中恰有兩人相鄰，則不同的坐法有多少種？（3）若4名觀眾兩兩不相鄰，且要求每人左右兩邊至多只有2個空位，則不同的坐法有多少種？15．將四個編號為1,2,3,4的小球放入四個編號為1,2,3,4的盒子中.(1)有多少種放法?(2)若每盒至多一球,則有多少種放法?(3)若恰好有一個空盒,則有多少種放法?(4)若每個盒內(nèi)放一個球,并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同,則有多少種放法?易錯點六：由于重復(fù)計數(shù)致錯（可重復(fù)與限制問題）可重復(fù)問題總原則：可重復(fù)問題方冪處理(乘法原理）Ⅰ：解決排列組合綜合問題的一般過程（1）認真審題，確定要做什么事；（2）確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；（4）解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．Ⅱ：數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．Ⅲ：定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．易錯提醒：解排列組合的應(yīng)用題，要注意：由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決問題的方案是否完備，有無重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看是否相同．在對排列組合問題分類時，分類標準應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．例、從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到的不同值的個數(shù)是（）A．9 B．10 C．18 D．20變式1.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為()A.B.C.D.變式2.4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則