動量守恒定律和能量守恒定律第3章

動量守恒定律和能量守恒定律第3章動量守恒定律與能量守恒定律第三章1.理解動量、沖量概念，掌握動量定理和動量守恒定律．2.掌握功的概念,能計算變力的功，理解保守力作功的特點及勢能的概念，會計算重力和彈性力的勢能．3.掌握動能定理、功能原理和機械能守恒定律，掌握運用動量和能量守恒定律分析力學(xué)問題的思想和方法．力的累積效應(yīng)對時間的積累對空間的積累一沖量質(zhì)點的動量定理§3.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理1.動量2.沖量（矢量）

動量與位矢及速度同樣是描述物體運動狀態(tài)的物理量—沖量（矢量）（質(zhì)點的）動量定理—在給定的時間間隔內(nèi)，外力作用在質(zhì)點上的沖量，等于質(zhì)點在此時間內(nèi)動量的增量．3.質(zhì)點的動量定理是描述力的時間累積效應(yīng)的物理量.

分量表示1.某方向受到?jīng)_量，該方向上動量會改變；說明2.質(zhì)點動量定理的微分形式二質(zhì)點系的動量定理對兩質(zhì)點分別應(yīng)用質(zhì)點動量定理：因內(nèi)力，故將兩式相加后得：質(zhì)點系上述結(jié)論可以推廣到由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)：上式表明：作用于兩個質(zhì)點所組成的系統(tǒng)的合外力的沖量，等于系統(tǒng)動量的增量。對質(zhì)點系，內(nèi)力的矢量和，合外力為，則有上式表明：作用于系統(tǒng)的合外力的沖量，等于系統(tǒng)動量的增量?！|(zhì)點系動量定理注意1）質(zhì)點系的動量定理同樣有分量形式2）上式也可寫為4）只有外力才能改變系統(tǒng)的動量3）質(zhì)點系的動量定理有微分形式：推開前：則推開后：v1與v2方向相反，且推開前后系統(tǒng)動量不變注意內(nèi)力不改變質(zhì)點系的動量動量定理常應(yīng)用于碰撞問題式中為平均沖力當(dāng)一定時，越小，則越大

例如，人從高處跳下、飛機與鳥相撞、打樁等碰撞事件中，作用時間很短，沖力很大.（1）

F為恒力（2）F

為變力討論Ftt1t2OFt1t2tFO通常只計算平均沖量，平均沖力。沖量是F-t曲線下的面積；沖力是F-t曲線上的點.

問：為什么迅速地把蓋在杯上的薄板從側(cè)面打去，雞蛋就掉在杯中；慢慢地將薄板拉開，雞蛋就會和薄板一起移動？

答：因為雞蛋和薄板間的摩擦力很小，若棒打擊時間很短，,因此雞蛋掉在杯中.

例（P83習(xí)題3-8）.的合外力作用在質(zhì)量

的物體上，試求：1）在開始2s內(nèi)此力的沖量；2）若沖量此力作用的時間；3)若物體的初速度v1=10m·s-1，方向與Fx相同，在t=6.86s時物體的速度v2．分析：1）由沖量的定義求出變力的沖量；3）根據(jù)動量定理求物體的速度.解：1）力的沖量I力的方向不變，質(zhì)點做一維運動2）可得（舍去不合題意的解）3)t=6.86

s時物體的速度力的方向不變，質(zhì)點做一維運動，根據(jù)動量定理有

例1(P51).一質(zhì)量為0.05kg、速率為10m·s-1的鋼球，以與鋼板法線呈45o角的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回來．設(shè)碰撞時間為0.05s．求在此時間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力．O解：動量定理的分量式為：

方向與軸正向相同．O例.習(xí)題3－9（P83）一質(zhì)量為51.0kg的人，不慎從高空豎直跌落，由于安全帶的保護，人被懸掛起來，此時人離原處為2.0m，安全帶緩沖作用時間為0.50s.求安全帶對人的平均沖力.

安全帶對人向上的拉力與重力之和為沖力，其平均沖量為：解：取向上為y軸正向平均沖力根據(jù)動量定理有作業(yè):習(xí)題

3-6,3-7由質(zhì)點系動量定理可知，當(dāng)時§3-2動量守恒定律當(dāng)質(zhì)點系所受的合外力時，系統(tǒng)的總動量保持不變上式表明：—動量守恒定律—動量守恒定律(1)系統(tǒng)的總動量不變，但系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點的動量是可變的．(2)守恒條件：合外力為零．當(dāng)時，可近似地認(rèn)為系統(tǒng)總動量守恒．如碰撞、打擊、爆炸等。討論(3)若，但滿足有(4)動量守恒定律是物理學(xué)最普遍、最基本的定律之一．即若某一方向合外力為零,則此方向動量守恒.yiyiiyyCmpF===?v,0exziziizzCmpF===?v,0ex例問題3－6(P81).人從大船易跳上岸，從小舟不易跳上岸，為什么。解：人與船為一個系統(tǒng)，則此系統(tǒng)水平方向沒有外力作用，因此動量守恒，即例1(P54)設(shè)有一靜止的原子核，衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核．已知電子和中微子的運動方向互相垂直，且電子動量為1.2

10-22

kg·m·s-1，中微子的動量為6.4

10-23

kg·m·s-1．問新的原子核的動量的值和方向如何？

(中微子)(電子)解：圖中或

(中微子)(電子)一功

1恒力作用下的功§3-4動能定理W功是力對空間的累積F

v功是標(biāo)量、過程量，因此與路徑有關(guān)

力對質(zhì)點所作的功為力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大小的乘積.B**A2變力作功質(zhì)點在由A到B的路徑上受到變力F的作用將整個路徑分成無窮多個位移元，則力F在任意位移元上作的元功為令則有質(zhì)點在由A到B的路徑上變力F所作的功為—變力作功的表達(dá)式作功的圖示：(2)功是標(biāo)量，但有正、負(fù)討論(1)功是力作用于物體的空間積累效應(yīng)的物理量,是過程量；正功表示作用力對物體做功；負(fù)功表示物體克服作用力做功.（3）功的單位：J（焦耳）（4）合力的功，等于各分力的功的代數(shù)和即1）平均功率2）（瞬時）功率功率的單位：W（瓦特）3功率例.一個質(zhì)點在恒力作用下的位移為,求此力在該位移過程中所作的功。解：注:解:例.

一質(zhì)點在如圖所示的坐標(biāo)平面內(nèi)作圓運動，力作用在質(zhì)點上，求質(zhì)點從原點運動到（0，2R）位置過程中，力所作的功.或

例1（P59）質(zhì)量為2kg的物體由靜止出發(fā)沿直線運動,作用在物體上的力為F=6t(N).試求在頭2秒內(nèi),此力對物體做的功.分析:已知的是F=6t，而不是F（x）,因此不能直接利用公式計算變力作功，只有找到變量

x與t的關(guān)系，統(tǒng)一變量后才可積分計算功.解：根據(jù)牛頓第二定律，可有可得3-16.人從10.0m深的井中提水，起始桶中有10.0kg的水，水桶漏水，每升高1m會漏去0.20Kg的水.水桶被勻速的提到井口，求人所作的功.分析：水桶是勻速上提，則人的拉力始終與重力平衡，但水桶漏水，因此為變力作功.提示：水桶勻速上提，則a=0,由牛頓定律可有設(shè)水的漏水率為，則人作的功為作業(yè)：3-16二質(zhì)點的動能定理對空間的累積動能定理質(zhì)點質(zhì)量為m，在合外力作用下，由合外力在任意位移元上作的元功為式中為位移元的大小ABθ根據(jù)牛頓第二定律，有則由A到B，合外力作的總功為ABθ合外力對質(zhì)點所作的功，等于質(zhì)點動能的增量.—質(zhì)點的動能定理—質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理表明了外力對質(zhì)點作功的結(jié)果，式中為質(zhì)點的動能，是與質(zhì)點運動狀態(tài)有關(guān)的物理量.注意2）功和動能依賴于慣性系的選取，但對不同慣性系動能定理形式相同．1）只有合外力作功，質(zhì)點的動能才能發(fā)生變化，功是能量變化的量度，功是過程量；動能是狀態(tài)量；

例2（P61）一質(zhì)量為1.0kg的小球系在長為1.0m細(xì)繩下端，繩的上端固定在天花板上．起初把繩子放在與豎直線成角處，然后放手使小球沿圓弧下落．試求繩與豎直線成角時小球的速率．解：受力分析0由動能定理得3-17.一質(zhì)量為0.2kg的小球系在長2.00m的細(xì)繩上，繩的另一端系在天花板上。將小球移至與豎直方向成300角的位置后從靜止釋放。求：1）繩從300角到00角的過程中，重力和張力所作的功；2）物體在最低位置時的速率；3）在最底位置時的張力.提示：1）張力的方向與運動方向垂直.l重力作功：作業(yè)：3=173）在最低位置時，由牛頓定律可有l(wèi)2）根據(jù)動能定理，小球動能的增量是重力作功的結(jié)果1萬有引力作功一萬有引力和彈性力作功的特點對的萬有引力為移動時，作元功為§3-5保守力與非保守力勢能·式中為位矢的單位矢量m從A到B的過程中作功為

式中所作的功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)．·2重力作功ABDC所作的功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)．若回到初始位置，即環(huán)繞一周，則所作的功為ABDC3彈性力作功彈性力坐標(biāo)系如圖，彈簧原長o點處為原點-平衡位置xFdxdWx2x1O彈性力作功的圖示：W=梯形面積彈性力作功只與彈簧的始末位置有關(guān)，和彈性變形的過程無關(guān)。顯然，與萬有引力和重力作功的特點相同。若回到初始位置，所作的功為保守力：力所作的功與路徑無關(guān)，僅決定于質(zhì)點的始、末位置．二保守力與非保守力彈力的功引力的功重力的功質(zhì)點沿任意閉合路徑運動一周時，保守力對它所作的功為零．與保守力作功與路徑無關(guān)等價.設(shè)一質(zhì)點在保守力的作用下由—保守力作功特點的數(shù)學(xué)表達(dá)式系統(tǒng)所受合力=外力+內(nèi)力=外力+保守內(nèi)力+非保守內(nèi)力非保守力：力所作的功與路徑有關(guān)．（例如摩擦力）三勢能勢能曲線

1.勢能：與質(zhì)點位置有關(guān)的能量稱為質(zhì)點的勢能，用表示.彈性勢能引力勢能重力勢能彈力的功引力的功重力的功重力，萬有引力和彈力均為保守力.保守力的功可統(tǒng)一寫成即保守力對質(zhì)點所作的功等于質(zhì)點勢能增量的負(fù)值．顯然保守力作正功，勢能減少，即：，則2）勢能具有相對性，勢能大小與勢能零點的選取有關(guān)(原則上可任意選取)；

1）勢能是狀態(tài)的函數(shù)；3）勢能是屬于系統(tǒng)的；討論4）勢能差與勢能零點選取無關(guān)。

2.勢能曲線—勢能隨坐標(biāo)變化的曲線彈性勢能曲線重力勢能曲線引力勢能曲線一質(zhì)點系的動能定理

§3-6功能原理機械能守恒定律一個系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點會受到系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間相互作用的內(nèi)力，還會受到系統(tǒng)外質(zhì)點對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點作用的外力。因此對一個系統(tǒng)來說，既會受到外力的作用，也會受到內(nèi)力作用，即合力=外力+內(nèi)力=外力+保守內(nèi)力+非保守內(nèi)力一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成,每一質(zhì)點都受到外力和內(nèi)力的作用.設(shè)第i個質(zhì)點所受外力作的功為，所受內(nèi)力作的功為；第i個質(zhì)點的動能增量為,根據(jù)質(zhì)點的動能定理有內(nèi)力可以改變質(zhì)點系的動能注意對質(zhì)點系，則有外力功內(nèi)力功上式表明，質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系所有外力與內(nèi)力所作功之和.—質(zhì)點系的動能定理—質(zhì)點系的動能定理非保守力的功二質(zhì)點系的功能原理可得—質(zhì)點系動能定理—勢能增量的負(fù)值機械能

上式表明，質(zhì)點系的機械能的增量等于外力與非保守內(nèi)力作功之和．—質(zhì)點系的功能原理—質(zhì)點系的功能原理1.為作用于質(zhì)點系內(nèi)所有質(zhì)點上的外力所作功的和，即合外力所作的功；為作用于質(zhì)點系內(nèi)所有質(zhì)點上的內(nèi)力所作功的和；注意：2.功與能量的關(guān)系.功與能量既有聯(lián)系又有區(qū)別，功與能量的變化和轉(zhuǎn)換關(guān)系的過程相聯(lián)系，是能量的變化和轉(zhuǎn)換的量度；能量反映質(zhì)點系在一定狀態(tài)下所具有的作功本領(lǐng)，與質(zhì)點系的運動狀態(tài)有關(guān)，而機械能是與質(zhì)點系的機械運動狀態(tài)（即位置與速度）有關(guān)。三機械能守恒定律當(dāng)時，有上式表明，只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系的機械能保持不變．—機械能守恒定律—機械能守恒定律由功能原理可知即守恒定律的意義：討論：在的條件下，質(zhì)點系的動勢能可以相互轉(zhuǎn)化，但動勢能之和不變，即機械能守恒定律中機械能是守恒量.質(zhì)點系內(nèi)的動勢能間的相互轉(zhuǎn)化實際上是通過質(zhì)點系內(nèi)的保守力作功（）實現(xiàn)的。注意：的幾種可能1）不存在外力和非保守內(nèi)力如自由落體、平拋、與彈簧碰撞運動等；2）外力和非保守內(nèi)力都不做功如物體在光滑曲面下滑，單擺等；3）外力和非保守內(nèi)力雖然都做功,但它們所作功的代數(shù)和為零。不用討論過程細(xì)節(jié)而對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，是各個守恒定律的特點和優(yōu)點。例.一小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運動，則小球在運動過程中：A）機械能不守恒、動量不守恒；B）機械能守恒、動量不守恒；C）機械能守恒、動量守恒；

解：小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運動，其動能不變，勢能改變，所以機械能不守恒；

小球在運動過程中，速度方向在改變，所以動量不守恒；

例.對機械能守恒和動量守恒的條件，正確的是：

(1)系統(tǒng)不受外力作用，則動量和機械能必定同時守恒；

(2)對一系統(tǒng),若外力作功為零,而內(nèi)力都是保守力,則其機械能守恒；

(3)對一系統(tǒng),若外力作功為零,則動量和機械能必定同時守恒。機械能守恒動量守恒例.一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P，另一端系一質(zhì)量為m

的小球,小球穿過圓環(huán)并在環(huán)上運動(μ=0)．開始球靜止于點A,彈簧處于自然狀態(tài)，其長為環(huán)半徑R;當(dāng)球運動到環(huán)的底端點B時，球?qū)Νh(huán)沒有壓力．求彈簧的勁度系數(shù)k．解：以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng).只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)分析：小球在光滑的圓環(huán)上運動，且對圓環(huán)沒有壓力，只受彈簧彈性力的作用，因此小球由A點運動B點時，只有保守內(nèi)力作功。所以系統(tǒng)的機械能守恒，B點：取點A為彈性勢能零點取B點為重力勢能零點A點：可得系統(tǒng)機械能守恒，則有小球在B點的牛頓第二定律的法向方程為由（1）（2）解得取向上為正，則有作業(yè):3-25,3-263-25.質(zhì)量為m，速度為的鋼球，射向質(zhì)量為m，的靶，靶中心孔內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的彈簧，靶可在水平面作無摩擦滑動。靶最初為靜止?fàn)顟B(tài)，求小球射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離.分析：小球射入靶內(nèi)彈簧的過程，是小球剛與彈簧接觸至彈簧被壓縮到最大距離，此時小球與彈簧為同一速度.小球與靶為一個系統(tǒng)，則系統(tǒng)水平方向不受外力，則此方向動量守恒.此外系統(tǒng)能量也守恒.作業(yè)3-253-26.質(zhì)量為m的彈丸穿過擺錘后，速率由v減少到v/2.擺錘的質(zhì)量為m