導(dǎo)數(shù)綜合練習(xí)-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用

X

【例1】設(shè)函數(shù)/(%)=------aln(l+x),g(x)=ln(l+%)-/?%.

1+x

(1)若函數(shù)五勸在x=0處有極值，求函數(shù)八x)的最大值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)6,使得關(guān)于x的不等式g(x)＜0在(0,+8)上恒成立？若存在，求出b的取值范圍;

若不存在，說明理由.

、1a

【解析】(1)由已知得：/W=-一-,且函數(shù)加)在％=0處有極值

(1+X)1+X

ax1

"'(0)=-—x

(1+0)21+x(1+x)2

當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，尸(x)＞。，/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，尸(x)＜。，/(x)單調(diào)遞減;

函數(shù)式x)的最大值為/(0)=0.

(2)由已知得：g'(x)=」一一b

1+x

①若。.1,貝i|xe［0,+8)時(shí)，g'(x)=」——b?0g(x)=ln(l+x)-法在［0,+oo)上為減函數(shù)，

1+x

g(x)=ln(l+x)-bx<g(0)=0在(0,+oo)上恒成立；

②若bWO,則xe［0,+oo)時(shí)，g(x)=———8>0；.8(尤)=111(1+%)-所在［0,+oo)上為增函數(shù),

1+x

g(x)=ln(l+x)-bx>g(0)=0,不能使g(x)<0在(0,+8)上恒成立；

③若0<b<l，則lg'(x)=^——b=0時(shí)，x=—-1,

1+xb

當(dāng)xe時(shí)，g'(x)..O,g(x)=ln(l+x)-bx在0,：-1］上為增函數(shù)，

此時(shí)g(x)=ln(l+x)-bx>g(0)=0,/.不能使g(x)<0在(0,+oo)上恒成立;

綜上所述，6的取值范圍是人e[l,+8).

【例2】已知函數(shù)/(%)=f-77dnx,其中根＞0.

⑴若相=2,求函數(shù)/(%)的極值；

(2)設(shè)g(九)=4(x)-1.若g(x)＞0在(1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)相=2時(shí)，/(x)=f—21nx定義域?yàn)?0,+。).則/(x)=2x—2=生二,%〉。.

令/''(￡)=0,解得：%=—1(舍去)，%2=1??當(dāng)％e(O，l)時(shí)，/'(x)<0；J(x)在(0」)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/'(x)>0:./(x)在(1,收)上單調(diào)遞增，所以/(%)的極小值為/⑴=1,無極大值..

(2)已知g(x)=;t(尤2-7疝1%)—1,若g(%)>0在(1,+8)上恒成立，即必一疝nx-工〉。在(1,+8)上

恒成立.構(gòu)造函數(shù)G(x)=f—疝皿—：,x>1,則G'⑴=2x—生+二=,心產(chǎn)】

令//(%)=2三一如+1,x>1.=6x?-m

⑴若乃W6,可知印(力>0恒成立.二H(x)在(1,+<?)上單調(diào)遞增.H(x)>H(l)=3-m..

①當(dāng)3—加之0,即0W3時(shí)，”(x)>0在(1,+8)上恒成立，即G'(x)>0在(L+8)上恒成立.

.-.G(x)>G(l)=0在(1,+8)上恒成立，二0(機(jī)43滿足條件.

②當(dāng)3-m<0即3<W6時(shí)，H(l)=3—m<0,//(2)=17—2m>0,

存在唯一的/w(l,2),使得//(%)=0.當(dāng)時(shí)，//(x)<0,即G'(x)<0

G(x)在(1,%)單調(diào)遞減.二G(x)<G⑴=0,這與G(x)>0矛盾.

\

=居.易知H(x)在1,《上單調(diào)遞減.

(ii)若相>6,由/r(x)=o,可得當(dāng)=一(舍去)，x2

67

⑴=3—加<0在上恒成立，即G'(x)<0在上恒成立..

6

???G(%)在1般上單調(diào)遞減.."⑺"⑴=0在上恒成立，這與G(x)>0矛盾.

6

綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍為(0,3].

【變式探究】

2

1、已知函數(shù)/'(X)=尤3+法2+CX+4,當(dāng)X=-§和X=1時(shí)取得極值.

⑴求b和C的值；

⑵若對(duì)于任意xe[-1,2],/(x)<21-1恒成立，求d的取值范圍.

習(xí)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

1.設(shè)函數(shù)〃x)=ln(a-x),已知尤=0是函數(shù)y=4(尤)的極值點(diǎn).

(1)求〃；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=.證明:g(x)<l.

2.已知a>0且awl,函數(shù)/(x)=—(x〉O).

ax

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=〃x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

3.已知函數(shù)/(x)=x(l—Inx).

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

C2)設(shè)為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-6,證明：2<L+,<e.

ab

4、已知函數(shù)/(x)=e"+ox2-x.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)於0時(shí)，f(x)>^-x3+l,求。的取值范圍.

5.已知函數(shù)/(%)=爐—％超(%)=%2+。，曲線y=f(x)在點(diǎn)(％,〃％))處的切線也是曲線y=g(x)

的切線.

(1)若玉二一1,求。;

(2)求。的取值范圍.

6.已知函f(%)—.Inx+x_6/.

(1)若〃x)NO,求L的取值范圍;

(2)證明：若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)玉，龍2，則環(huán)石々<1.

7.已知函數(shù)/(x)=ox_L_(a+l)lnx.

x

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求〃無)的最大值；

(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

8.已知函數(shù)/(x)=如(1+力+依仁

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,〃。))處的切線方程；

(2)若/(九)在區(qū)間(T0),(0,”)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

9.已知函數(shù)/■(x)=e*—ar和g(x)=ar—lnx有相同最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=。，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從

左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

10.已知函數(shù)/(x)=xeQ-el

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)龍〉0時(shí)，/(%)<-1,求a的取值范圍;

11

(3)設(shè)〃eN*證明：不大+赤二+/o>ln(zz+l).

7n+n

11.已知函數(shù)/(x)=e1n(l+x).

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0"(0))處切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(無)在［0,物)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,/e(0,+8),有/(s+f)>/")+/?).

12.設(shè)函數(shù)/(x)=￡+lnx(x>0).

2x

(1)求了⑴的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知a,6wR,曲線y=f(x)上不同的三點(diǎn)(石,/(尤1)),(孫/(左2))，(尤3，/(x3))處的切線都

經(jīng)過點(diǎn)(。力).證明:

(i)^?>e,則0<〃_/(a)<g[/_l]；

..一八,2e-a112e-a

(ii)右0<Q<e,X]<%<￡,貝U[+6/<—+—<------?

(注：e=2.71828是自然對(duì)數(shù)底數(shù))

2、已知函數(shù)/(%)=改一1一1!1￥,aeR.

(I)討論函數(shù)/