2024年“極光杯”線上測試（二） 數學試題含答案

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試

數學

注意事項:

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.=sin—+icos—,貝！Jz：

33

A.1B.-1C.iD.-i

2.設｛%｝是公差不為0的等差數列,%，%，。10成等比數列，貝1=

a5

A.3B.—

2

3.已知正方體平面/片。與平面44。。的交線為/,則

A.IllA、DB.IIIBQC./〃CQD.l//DxD

4.若函數/(%)=b4、+(2-1)-2”有最小值，貝卜的取值范圍是

A.(0,1)B.(0,1]C.(；,+8)D.[g,+8)

5.設x,y,zw(0,5),(sinx+cosx)(siny+2cos,y)(sinz+3cosz)=10,貝(J

TCTCTCTC

A.—<x<y<zB.—=x<y<zC.—>x>y>zD.—=x>y>z

4444

6.向量a,6滿足=(a+b,a+2b)=30°,貝力a|的取值范圍是

A.[V2-1,V2+1]B.[V3-1,V3+1]C.[V5-1,V5+1]D.[V6-1,V6+1]

7.暗箱中有編號為1,2的2個球，現(xiàn)從中隨機摸1個球，若摸到2號球，則得2分,

并停止摸球；若摸到1號球，則得1分，并將此球放回，重新摸球.記摸球停止時

總得分為X,則E(X)=

A.3B.4C.5D.6

數學試題第1頁（共4頁）

二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的，少選擇1個正

確選項得3分，少選擇2個正確選項得1分，否則得0分。

8.對于數集Z,B,它們的Descartes積/x8={(x,y)|xe4)€用，貝U

A.AxB=BxAB.若4屋C,則(4x3)屋(CxB)

C./x(BnC)=(/x3)n(/xC)D.集合{0}xR表示了軸所在直線

E.集合/x/表示正方形區(qū)域(含邊界)

9.已知直線y=?x-l)經過拋物線C:/=2px(p>0)的焦點尸，與C交于M,N兩

點，與C的準線交于尸點，若|屈|而|麗|成等差數列，則

A.0=2B.FP=NF

C.FN=3MFD.k=43

E.|而|=8

10.存在定義域為R的函數/(x)滿足

A./(x)是增函數，/"(x)]也是增函數

B./(x)是減函數，/[/(到也是減函數

C.對任意的aeR,f(a)手a,但/[/(x)]=x

D./(x)是奇函數，但/"(x)]是偶函數

E./(x)的導函數1(X)的定義域也是R,且/[/(x)]=-x

三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。

H.曲線了=7i二7在點弓,；)處的切線方程是.

12.寫出一個正整數〃>1,使得(姮+彳)〃的展開式中存在常數項：_______.

Yx

2

13.設雙曲線C:》2一J=1m>0)的左、右焦點分別為大，B，|人內|=6,點尸在C

的右支上，當耳;，初時，|尸片卜|尸7引=________;當尸運動時，|尸耳|+—的

1^2I

最小值為________

數學試題第2頁(共4頁)

14.已知某圓臺的側面是一個圓環(huán)被圓心角為90。的扇形所截得的扇環(huán)，且圓臺的側面

積為2兀，則該圓臺體積的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(10分)

在AABC中，sin(4+—)sin(5+—)=cosAcosB.

44

(1)求C；

(2)若AB=6,求我?無的最小值.

16.(10分)

已知數列｛%｝和｛bn｝滿足sina“+]=sina?+cosZ>?,cos6?+1-cosbn-sina?.

2222

(1)證明：sinan+l+cosbn+l=2(sinan+cosbn)；

(2)是否存在內,許，使得數列｛siia.+cos?2｝是等比數列？說明理由.

17.(15分)

設a>0,函數/(x)=x"lnx.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若/(x)Wx,求。的取值范圍；

(3)若/求a.

18.(15分)

已知二面角點尸ea,尸與棱/的距離為與半平面/所在平面的距

離為3.

(1)求二面角-A的余弦值；

(2)設Bel,AB=1,動點Qe力，滿足尸0=5.

(i)求。運動軌跡的長度；

(ii)求四面體尸-體積的最大可能值.

數學試題第3頁(共4頁)

19.（15分）

設離散型隨機變量x和y有相同的可能取值，它們的分布列分別為P（X=4）=八，

nn

P（Y=cik）=yk9xk>0,yk>0,k=l,2,…，n,=1-指標0（X||y）可

k=ik=i

用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為D（XIIy）=之/ln9.

Myk

設X?B（n,p）,0<p<1.

（1）若y?5（〃應）,o<q<i,求。（x||y）；

（2）若〃=2,尸（y=左一i）=g,k=i,2,3,求。（x||y）的最小值；

（3）對任意與X有相同可能取值的隨機變量y,證明：D（X\\Y）>0,并指出取等

號的充要條件.

20.（15分）

本題分I、n兩部分，考生任選其中一部分作答.若多選，則按照I部分計分.

I.（1）如圖1,點/在直線/外，僅利用圓規(guī)和無刻度直尺，作直線（保留作

圖痕跡，不需說明作圖步驟）.

（2）證明：一簇平行直線被橢圓所截弦的中點的軌跡是一條線段（不含端點）；

（3）如圖2是一個橢圓C,僅利用圓規(guī)和無刻度直尺，作出C的兩個焦點，簡要

說明作圖步驟.

圖1圖2

22

II.已知點2（4,7）,集合S={（x/）|L+匕<1},點尸?s,且對于S中任何異于P的

1612

點。，都有萬?雙>0.

22

（1）證明：P在橢圓上+^=1上；

1612

（2）求尸的坐標；

22

（3）設橢圓器+臺=1的焦點為片，F(xiàn)2,證明：N4PR=NAPF2.

參考公式：（ad-be）2+（ac+bd）2=（a2+/?2）（c2+屋）.

數學試題第4頁（共4頁）

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數學參考答案

、選擇題

1.C2.B3.A4.A

5.D6.B7.A

二、選擇題

8.BCD9.ABCE10.ACD

三、填空題

-5

11.y=----X12.示例：5

4

9V30

13.16；-14?（z下一兀,+8）

2

四、解答題

15.解：

,,JT

(1)由題設知($1114+?054)(51115+8$3)=28$48$5.若cos{cosB=0,則4=§

或5=二,當/=二時，sin（/+?）w0,所以5止匕時4+3＞兀，不合題意.同理

2244

5=二亦不成立.

2

所以(tan/+l)(tan3+l)=2，tanC=-tan(A+B)=----------------=-1,故C=——.

tanAtanB-14

f——>—>

(2)記角Z,B,。所對的邊分別為Q,b,c,則。=拒，CA-CB=--ab.

2

272_2B

由余弦定理知cosC=9-------,所以一枝°6=/+62一222。6-2,因此

2ab2

ab<2-41,當a=b=、2-桓時等號成立.

i^CA-CB=--ab>l-^f2,B?在的最小值為1-拒.

2

數學答案第1頁（共5頁）

16.解：

22

(1)由題矢口5也2%+1=sinan+cosbn+2sin%cos6〃,

222

cosbn+i=cosbn+sinan-2sinancosbn，

222

兩式相加可得sin?4+i+cosbn+i=2(sinan+cosZ?w).

22

(2)sinax+cos=0,則｛sin?%+cos?bj不是等比數列.

2222W_1

若sinax+cosax=m>0,貝Usinan+cosbn=mx2,當〃>2—log2m時，

2222

sinan+COS6W>2,但|sin*VI,|cosbn|<1,sinan+cosbn<2,矛盾！

綜上，不存在外,許，使得3山24+8$22｝是等比數列.

17.解:

(1)/(%)的定義域是(0,+oo),f\x)=axa~xlnx+xa~x=xa~l(alnx+1).

_j__j__]_

令r(x)=0,得與=e7,所以/(x)在(O,一1)單調遞減，在(「1+8)單調遞增.

(2)因為x>0,所以/(x)Wx等價于x"Tlnx〈l.記函數g(x)=x"Tlnx.

①當時，g(e2)=2e2(fl-1)>l,不合題意；

-L-1

②當0<°<1時，由(1)知g(x)Wg(e-)=---------<1,解得ae(0,l-eT].

(l-tz)e

綜上，。的取值范圍是(0,1-

(3)記函數/z(x)=/'(x)=x"T(alnx+1),h'(x)=xa~2[(a2-a)lnx+2a-l].

]i--

①若a=5，h\x)=--x2lnx,〃(x)在(0,1)單調遞增，在(l,+oo)單調遞減，故

//(x)<A(l)=l,符合題意；

1-2。\—2a

②若ae(0-)，6(x)在(e—,1)單調遞減，故貼/工)>6(1)=1,不合題意；

l-2al-2t;

③若a〃(x)在(1,一句單調遞增，故〃(e—)>〃⑴=1,不合題意；

④若ae[l,+oo),/z(x)在(1,+co)單調遞增，故力(x)>/l)=l,不合題意.

綜上，a=L

2

18.解：

(1)設尸在/,《所在平面的射影分別為M,N,則尸M=PN=3.

易知/，平面PAW,貝故或其補角即為二面角a-/-/的平面角，

因此二面角的正弦值為一==工叵，余弦值為亞或-冬位.

<13131313

數學答案第2頁（共5頁）

(2)(i)因為所以NQ=《PQ2_pN?=4.

①若Qe",則以N為圓心，4為半徑的圓在/中的部分是一段優(yōu)弧，對應圓心角

為會因此。運動軌跡的長度為一；

②若。史B,則以N為圓心，4為半徑的圓在A中的部分是一段劣弧，對應圓心角

為g,因此。運動軌跡的長度為

所以。運動軌跡的長度為—或年.

(ii)四面體P-Q48的體積廠=gs//,其中〃=PN=3為尸到平面。N8的距離，

S=；48xd=；為4。/3的面積，4為。到直線48(或/)的距離.

由(i)知，若QG/3,則當0N，/時，1取最大值6；若Q史。，則當QN，/時，

d取最大值2,所以四面體尸-Q/3體積的最大可能值為3.

19.解:

kkk

(1)不妨設歿=%,則4=CfpR-p)"-3yk=Cnq(\-qy-.

所以D(XIIy)=-p)iIn嗯-弁

k=0qQ-q)

p)E+〃In?￡CR(1-p)'T

k=0—qk=Q

]P

=np]n+nin-

q(i—p)1一4

(2)當〃=2時，P{X=2)=p2,P(X=V)=2p(l-p),尸(X=0)=(l-p)2.

記f(p)=D(X\\Y)=221n3P2+2;?(1-/?)In6p(\-/?)+(1-p)1ln3(l-p)2,

f\p)二42Inp+2P+(2—4/?)[ln2夕(1一p)+1]—4(1-p)ln(l-p)~2(1-p)

=2[lnp_ln(l_p)+(1—2))In2].

g(P)=In/?-ln(l-/?)+(1-2/7)ln2,=—+—-----21n2>0,g(p)單調遞增.

Pl-P

而g(f=O,所以/'(p)在(0,g)為負數，在(g,l)為正數，/(p)在(0、)單調遞減,

在(于1)單調遞增，D(X||y)的最小值為ln3-辛n2.

數學答案第3頁(共5頁)

(3)當x>0時，—1,所以—1,BPlnx>l--.

XXX

故。(X||y)=￡x%ln*2￡/(l—")=￡(4-及=0,

k=lykk=\Xkk=lk=\k=\

當且僅當對所有的左，xk=yt時等號成立.

20.解:

I.

（1）如圖.

（2）建立適當的坐標系，使橢圓C的方程為e+4=1（4>6>0）.

ab

①若該簇平行直線斜率不存在，它們被橢圓所截弦的中點均在X軸上，因而軌跡是

長軸（不含左、右頂點）；

②若該簇平行直線斜率存在且為左，與橢圓交于/（七,%）,3（X2，%）兩點，則有

2222_

^+4=1（*），率=i（**），上竺“（***）.

ababx2-xx

（*）（**）相減得區(qū)+勺呼一勺）+（%+%?-=0,

a2b2

結合（***）得&±匹=一￡,這表明，弦的中點在定直線了=一與x上，因

占+x2kaka

而弦中點的軌跡是該直線被橢圓所截得的弦（不含端點）.

（3）參考步驟：

①任取橢圓C上4點4,B,D,E；

②過/,3作直線DE的平行線，分別與橢圓交于點廠，G；

數學答案第4頁（共5頁）

③作弦4F,BG的垂直平分線，分別與弦4F,BG交于點、H,I,則直線印經

過C的中心；

④同理過D,E作直線的平行線，重復以上步驟得到直線砍，JK與HI交于

點。，。即為C的中心；

⑤以O為圓心，適當半徑作圓，與C順次交于點8，P2,P3,舄；

⑥作NPQP?和4P20P3的角平分線，它們所在直線即為C的兩條對稱軸，兩直線與

C交于4點，其中2個點為M,N,且|(W|<|ON|；

⑦以M為圓心，|0N|為半徑作圓，與直線ON交于耳，鳥兩點，即為C的焦點.

II.

2