2023-2024學(xué)年四川省成都市天府新區(qū)高二年級下冊3月月考數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）

2023-2024學(xué)年四川省成都市天府新區(qū)高二下冊3月月考數(shù)學(xué)

(理)試題

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.設(shè)命題P:ReN,>2",則7?為

A.X∕neN,n2>2"B.3neN,n2≤2"

C.VN∈M"2≤2"D.3n≡N,n2=2"

2.已知集合∕={0,L2},N={x∣x=2”,ae∕},則集合∕∩N等于

A.{0}B.{0,l}C.{1,2}D.{0,2}

3.復(fù)數(shù)卷在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

χ+y≥2,

4.若X,y滿足約束條件?》+2”4,貝［|2=2》-了的最大值是

∕≥0,

A.-2B.4C.8D.12

5.設(shè)α］,c,d∈R,且mc>d,則下列結(jié)論正確的是

ac

A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.—>—

db

6.已知函數(shù)段)=］；jjt^θ0'(αWR),若"/*(-1))=1,則α=

1?

A.-B.VC.1D.2

42

7.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)

于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是

1

8.已知雙曲線C：￡-<=l(a>0力>0)滿足2=且，且與橢圓E+片=1有公共焦點，則雙曲線C的

"/a2123

方程為

9.已知函數(shù)/(x)=F+χ2-辦+1在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)α的取值范圍為

—,+∞

3

10.某公司10位員工的月工資(單位：元)為4,巧，…，x10,其均值和方差分別為T和s',若從

下月起每位員工的月工資增加IOO元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為

?,s2+IOO2B.X+100,s2+1OO2

D.x+100,

11.如圖，在正方體Z8C0-44G4中，M,N分別為4C,45的中點，則下列說法中不本碰的是

A.MV〃平面NDDI4

B.MNIAB

C.直線MN與平面/6C。所成的角為60。

D.異面直線MN與。"所成的角為45。

12.函數(shù)/(x)=CoSX+(x+l)SinX+1在區(qū)間［0,2π∣的最小值、最大值分別為

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

13.已知向量萬=("?,3),B=(I,機(jī)+1).若2_1_否，則機(jī)=.

14.己知函數(shù)/(x)=/'⑴/Y"廁/(1)=.

15.如圖，在正四面體P-ZBC中，M,N分別為尸4BC的中點，。是線段MN上一點，且Nz)=2DM,

^^PD=xPA+y'PB+zPC,則x+'+z的值為.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=or*+bx+2在X=2處取得極值-14.

(1)求α,h的值；

(2)求曲線y=∕(χ)在點(IJ(I))處的切線方程.

18.(本小題滿分12分)

2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程,

某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并

將得分分成以下6組：[40,50),[50,60),[60,70),……[90,100],統(tǒng)計結(jié)果如圖所示:

0.030

0.020

0.015

0.010

(1)試估計這100名學(xué)生得分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表)；

(2)現(xiàn)在按分層抽樣的方法在［80,90)和［90,100］兩組中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人參加

這次競賽的交流會，求兩人都在［90,100］的概率.

19.(本小題滿分12分)

如圖，直三棱柱48C-的體積為4,BC的面積為2√Σ?

(1)求4到平面48。的距離;

(2)設(shè)。為4。的中點，AA1=AB,平面48C，平面NBBd,求二面角/-8Z)-C的正弦值.

20.(本小題滿分12分)

已知橢圓：￡:［+［=1("6>0)的一個頂點為40,1),焦距為2√J.

a^h^

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點尸(-2,1)作斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線NB,NC分別與X軸交于點

M,N,當(dāng)IMNl=2時，求人的值.

21.(本小題滿分12分)

已知I函數(shù)/(x)=亦」-(α+1)InX.

X

(1)當(dāng)α=OIl寸，求/(x)的最大值；

(2)若/(χ)恰有一個零點，求α的取值范圍.

22?(本小題滿分10分)

已知向量I=(CoSX,S山x),B=0,-JJ),X∈[0,π].

(?)若,IlA,求X的值；

(2)記/(X)=5?B,求函數(shù)y=∕(x)的最大值和最小值及對應(yīng)的X的值.

答案:

1.C

【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題尸的否命題應(yīng)該為?77WN,∕<2",即本題

的正確選項為C.

2.D

【分析】求出集合N,根據(jù)交集含義即可得到答案.

【詳解】當(dāng)〃=O時，x=2a=0;當(dāng)Q=I時，x=2a=2↑

當(dāng)。=2時，χ=2a=4f故N={0,2,4},故4cN={0,2},

故選：D.

3.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化2簡-i*，從而可求對應(yīng)的點的位置.

1-31

【詳解】—=□□)=沙=I,所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為

l-3i10102

該點在第一象限，

故選：A.

4.C

【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,

上下平移直線N=2X-Z,可得當(dāng)直線過點(4,0)時，直線截距最小，z最大,

所以ZmaX=2X4-0=8.

故選：C.

5.A

A.利用不等式的加法性質(zhì)判斷；B.利用特殊值法判斷；C.利用特殊值法判斷；D.利用特

殊值法判斷；

【詳解】A.因為α>6,c>d,由不等式的加法性質(zhì)有α+c>6+d,故正確；

B.當(dāng)α=3,b=2,c=2,d=l時，a-c=b-d,故錯誤；

C.當(dāng)α=O,b=-l,c=—2,d=—3時，ac<hd,故錯誤；

D.當(dāng)。=0,6=-1,。=一2,1=-3時，二<：,故錯誤；

ab

故選：A

本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【分析】先求出/(-1)的值，再求/'(/(-1))的值，然后列方程可求得答案

【詳解】解：由題意得∕?(T)=2TT=2,

所以/(/(T))=/(2)=α?22=4a=l,解得α=1.

故選：A

此題考查分段函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題

7.B

【詳解】設(shè)正方形邊長為。，則圓的半徑為彳，正方形的面積為/,圓的面積為邛.

24

由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾

1Tta2

何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是五?=四，選B.

a28

點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長

度、面積、體積或時間)，其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾

何度量，最后計算PQ).

8.A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，列出方程，求得4,6的值，即可求解.

【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?→￠=1,可得/=12-3=9,即c=3,

123

因為雙曲線C的焦點與橢圓片+亡=1的焦點相同，所以雙曲線C中，半焦距c=3,

123

又因為雙曲線uW-<=l(a>O,b>O)滿足2=正，即〃=立α,

a2b2a22

又由/+∕=c2,即/+，解得a2=4,可得〃=5,

所以雙曲線C的方程為巨-片=L

45

故選:A.

9.A

【分析】由題設(shè)可得/CU)'。在R上恒成立，結(jié)合判別式的符號可求實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】f'(x)=3x2+2x-a,

因為/(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，故/C(x)30在R上恒成立，

所以A=4+12040即α≤-L

3

故選：A.

10.D

1

【詳解】試題分析：均值為J2?1OCL22=;+IO0；

10

方差為

^{lx^l00∣-(η-100lf?[*x-100l-ixz+100)f*+[lx^lO0t-lx0÷lOOlf|=

t

?p-j?y+lx-.x<Γ-...-Lr-X1-Γ]=/,故選D.

考點：數(shù)據(jù)樣本的均值與方差.

11.C

【分析】取棱4D,441中點瓦尸，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推

理判斷B；求出線面角、線線角判斷CD作答.

【詳解】在正方體ZBCD-44GA中，取棱44中點瓦尸，連接ME,EF,FN,

因為"，N分別為ZC,的中點，姒ME"CD“AB/1NF,ME=1CD=LAB=NF,

22

因此四邊形MEFN為平行四邊形，則EF//MN,EFU平面力。R4,

MNN平面力。。4，所以MN//平面A正確；

因為48工平面40。/,則/8_L￡F,所以MNj.18,B正確;

顯然平面/8CZ),則NEEZ是E尸與平面/5C。所成的角，又4E=Z尸,NE4F=90°,

有/REZ=45"，由于EF"MN,所以直線仞V與平面/8C。所成的角為45。，C錯誤；

因為44J/。。，EFHMN,則/Z尸E是異面直線MN與。2所成的角，顯然乙4尸￡=45°,

D正確.

故選：C

12.D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得/(x)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出/(x)在區(qū)間［0,2兀］上的最小值和最大

值.

【詳解】/'(X)=-SinX+sinx+(x+1)cosX=(x+l)cosX,

所以〃X)在區(qū)間(Ow)和仁,2j上/心)>0,即/(x)單調(diào)遞增；

在區(qū)間S爸上r(χ)<o,即/(χ)單調(diào)遞減，

又/(O)=/(2兀)=2,/(S=?∣+2,/(冷)=_管+1)+1=與，

所以/(x)在區(qū)間［0,2π］上的最小值為點,最大值為尹2.

故選：D

13.--##-0.15

4

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

_3

【詳解】由題意知：a?b=τn÷3(τw+l)=0,解得加=—.

4

3

故答案為.-二

4

14.0

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則即可計算.

【詳解】；r(x)=2_f(I)x-e、，Λ∕,(l)=2∕?,(l)-e=>∕,(l)=e,

Λ∕(x)=ex2-e?Λ∕(l)=0.

故0.

i5?I

【分析】利用基向量表示麗,結(jié)合空間向量基本定理可得.

【詳解】麗=麗:+血=L刀+，麗」刀+!(兩-兩)=??+L方+1定

2323366

112

所以工=彳，7=Z=7，所以x+y+z=；.

363

,4√24√2

16.------或av------.

33

【分析】由題意可得：?PFt?+?PF2?=4,∣ΛJ∕^∣=2√3,在△耳陰中由余弦定理可得

l?l^I=P再由兩點間的距離公式化簡得(茅-4)2,解出豌的值，根據(jù)

XI)G(-2,2)進(jìn)行取舍即可.

【詳解】解：由題意可得：IwI+∣Pg∣=2α=4,∣∕^∣=2C=2√L

在△片至中由余弦定理可得：

22i2

?F1F2?=?PF1?+?PF2?-2?PF,?-?PF2?-c0sZFtPF2=(?PFl?+?PF2?)-3?PFl?-?PF2?,

4

所以有IPGl?|尸鳥|=§,

22

即J(XO+Cf+Pt/??/(?ɑ-√3)+y0=y,

22

ψx0+T3)+l-^-?,J(x0-?/?)+1-^-=y'

(~~÷2Λ∕3X0+4)?(?—2>∕3x0+4)???

所以(茅+4)2-(2√Jχ°)2=為，

整理得：(苧_4)2=1,

22

所以3盤r一4=4,或3x'-4=」4，

4343

解得/=±g或X。=±*2,

又因為Xoe(-2,2),

所以χ°="f或%=-*￥?

故逑或一逑,

33

17.(l)α=l,6=-12

(2)9x+y=0

[∕,(2)=0

【分析】(1)由[:、，，求解，再檢驗即可；(2)利用切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率即可求

∣√(2)=T4

解;

【詳解】(1)因/(x)=0χ3+bx+2,??f'(x)=3ax2+b,

由于/(X)在X=2處取得極值,

八2)=O?2a+b=0

故有

/(2)=-148α+26+2=-14'

?2a+b=0a=1

化簡得解得

4a+b=-Sb=-i2

經(jīng)檢驗，α=l,b=T2時,f?χ)=3χ2-12=3(x+2)(x-2),

令/(x)>0,解得xv-2或x>2,令/'(x)<0,解得-2<x<2,

所以/(X)在(-8,-2)單調(diào)遞增，(-2,2)單調(diào)遞減，(2,+8)單調(diào)遞增,

所以/(x)在X=2處取得極值，

符合題意，所以”=1,6=72.

(2)由(1)W/(X)=X3-12X+2,∕,(X)=3X2-12,

故/(1)=-9,/(1)=-9.

所以曲線N=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為：

y-(-9)=-9(x-l),即9x+y=0.

18.(1)70.5

10

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖直接平均數(shù)求法解決即可；(2)根據(jù)分層抽樣得在［80,90)

分組中抽取的人數(shù)為5x而1=3人，在［90,100］分組中抽取的人數(shù)為2人，有古典概型概

率求法解決即可.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)

X=(45X0.01+55×0.015+65X0.02+75×0.03+85×0.015+95X0.01)×10=70.5

⑵在［80,90)和［90,100］兩組中的人數(shù)分別為

IoOX(0.015x10)=15和IOOX(0.01xl。=10人，

所以在［80,90)分組中抽取的人數(shù)為5xm^=3人，記為a,b,c,

在［90,100］分組中抽取的人數(shù)為2人，記為1,2,

所以這5人中隨機(jī)抽取2人的情況有",在,兒,3,02,4,，2,&,‘2,12共10種，

其中兩人得分都在［90,100］的情況有1種，

所以兩人得分都在［9o,ιoo］的概率為尸q.

19.(1)√2

(2)T

【分析】(1)由等體積法運算即可得解；

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得8C/平面/28/,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法即可得解.

【詳解】(1)在直三棱柱/8C-/4C中，設(shè)點4到平面//C的距離為人

y5h

則A-AlBC=IMflC-?-??=七TBC=；S“BC,4"=；%C"B￡=g'

解得人=v∑?

所以點A到平面AyBC的距離為近；

(2)取48的中點E,連接力瓦如圖，因為Z4=Z8,所以/EJ.48,

又平面/田CI平面/88/,平面CC平面/88/=48,

且4￡u平面/844,所以/E_L平面45C,

在直三棱柱ZBC-48∣C∣中，8及_1,平面Z8C,

由BCU平面48C,JSCU平面NBC可得/ElBC,BBjBC,

又AE,BBtU平面ABBiAt且相交，所以8C上平面ABBiAt,

所以8C,8484兩兩垂直，以8為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由(1)得AE=4i,所以"4=/8=2,4?S=2√2,所以BC=2,

則4(0,2,0),4(0,2,2),5(0,0,0),C(2,0,0),所以/0的中點。(LU),

則而=(1,1,1),而=(0,2,0),或=(2,0,0),

設(shè)平面的一個法向量Zn=(Xj,z),貝『7強(qiáng):'n

[in-BA-2y=0

可取m=(l,0,-l),

n-BD-a+b+c=0

設(shè)平面8。C的一個法向量7=S，A。），則，

n-BC=2a=0

可取〃=(0,1,τ),

/一一mn

則"力?麗?=R1r51,

所以二面角/-8D—C的正弦值為J-（gJ=*.

20.(1)—y2=1

4+

(2)女=一4

b=1

【分析】（1）依題意可得上c=2√I,即可求出。，從而求出橢圓方程；

c2=a2-b2

（2）首先表示出直線方程，設(shè)8（不必）、。（々，必），聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)

定理，由直線48、/C的方程，表示出X”、χ,v,根據(jù)IMNl=卜V-XM得到方程，解得即可:

【詳解】⑴解:依題意可得）=1,2c=2√3,5Lc2=a2-b2,

所以4=2,所以橢圓方程為二+/=1；

4?

（2）解：依題意過點P（-2,l）的直線為y-l=Mx+2）,設(shè)8?,必）、C（x2,y2）,不妨令

-2≤x1<x2≤2,

y-1=MX+2)

?*X22,消去y整理得(1+412)/+(16^+8左)x+16∣2+161=0,

—+y=1

4

所以公=（16/+我『一4（1+4公）（16公+164）＞0,解得我＜0,

16k、8k?6k2+?6k

所以x∣+々=jl+4?2?''?2?+4k2

直線18的方程為V-I=令V=0,解得XW=T?

χlIr

直線NC的方程為y-l=*2i二?χ,令y=0,解得XN=#

X2I-J

所以|加明=瓦-j|14-廣」

一%?-?i

_______X2_______________??______

-1-[A(X2÷2)+1]-1-[?(XI+2)+1]

二9Ixl

-?(x2+2)%(再+2)

(x2÷2)x1-x2(??÷2)

MX2÷2)(x1+2)

=2k]f∣=2

∣?∣(X2+2)(XI+2)

所以N-々|=網(wǎng)(工2+2)(玉+2),

rx

即,(4+工2)‘-4中2=W[?2?i+2(X2+x1)+4]

即116公+8左丫外/6公+16ZrTjjI6公+1632(16公+弘%；

K↑+4k2)1+4*I[1+4*(1+4〃J

即急舸而千麗西=i?[16左2+16"2(16左2+8左)+4(l+4/)]

整理得8口=4陽，解得％=-4

21.（1）-1

⑵（。，+8）

【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；

（2）求導(dǎo)得/（X）=叵二9二D,按照α≤0?0<"<l及。>1結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,

求得函數(shù)的極值，即可得解.

【詳解】（1）當(dāng)α=0時，/（x）=-'-lnx,x>0,則r（χ）=J-L=號，

XXXX

當(dāng)X€（0,1）時，f^x）>O,〃X）單調(diào)遞增;

當(dāng)Xe(l,+∞)時，∕,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

所以小心=川)=-1；

(2)/(x)=tzx--■一(α+l)lnx,x>0,則r(x)=α+]-"^=(""X",

XXXx^

當(dāng)α≤O時，αx-l<0,所以當(dāng)Xe(0,1)時，/心)>O,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)X?1,+8)時，∕,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

所以/(x)gχ=/⑴Μ-1<0，此時函數(shù)無零點，不合題意；

當(dāng)O<α<l時，→1,在(0,1),(：,+8)上，/y)>0,/(同單調(diào)遞增；

在(1，)上，∕,