2023高考數(shù)學壓軸卷含解析二

KS5U2023新高考II卷

高考壓軸卷數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知全集。=R,集合力={x|—2?x<3},B=[y\y=2x,x<\\,則〃口6=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<2)C,{x|0<x<2}D.{x|0<x<l)

2已知復(fù)數(shù)z滿足|z|z=3+4i,則|z|=()

A.1B.逐C.V10D.5

3.“-5〈人<0”是“函數(shù)y=x2-kx-k的值恒為正值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知sin—=—>則cos(a-4)=()

24

A.—B..—C.——D.——

2828

5.已知石滿足4=(2,2),國=2,且g的夾角為'兀，則,+3卜()

A.26B.2C.4D.2百

f11

6.已知橢圓]+_/=],耳、鳥分別是橢圓的左、右焦點，點尸為橢圓上的任意一點，則西+西的

取值范圍為()

A.[1,2]B.[啦，百]C.[V2,4]D.[1,4]

7.河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍

馬身上的圖案就叫做“河圖把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火居

南；三八為朋，為木居?xùn)|；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中.“河圖”將一到十分成五行屬性分別

為金，木，水，火，土的五組，在五行的五種屬性中，五行相克的規(guī)律為：金克木，木克土，土克水，水

克火，火克金；五行相生的規(guī)律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機抽

取3個數(shù)，則這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率為()

1

D.-

2

8.已知實數(shù)x,y,z滿足e〉lnx=j，e*且e：lnL=ze",若y>l,則(

)

x

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>z>xD,y>x>z

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列說法中正確的是()

1Q

A.已知隨機變量X服從二項分布8(4,—)，則。(X)=-

39

B.己知隨機變量X服從正態(tài)分布NC,/)且p(X45)=0.85,則尸(1<X<3)=0.3

C.已知隨機變量X的方差為。(X),則。(2X-3)=4O(X)-3

D.以模型y=ceh(c>0)去擬合一組數(shù)據(jù)時，設(shè)z=lny,將其變換后得到線性回歸方程z=2x-1,則

e

10.已知函數(shù)/(x)對任意xeR都有/(x+2)+/(x)=0,且函數(shù)/(x+1)的圖象關(guān)于(一1,0)對稱.當

xe[-U]時,/(x)=sinx.則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)歹=/(x)的圖象關(guān)于點/0)(丘Z)中心對稱

B.函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為2

C.當xe[2,3]時，/(x)=sin(2-x)

D.函數(shù)y=/(⑷在[2左,24+1](左eZ)上單調(diào)遞減

11.已知拋物線C:y2=2px,。的準線與x軸交于K,過焦點廠的直線/與C交于/、8兩點，連接4K、

BK,設(shè)的中點為尸，過尸作為8的垂線交x軸于°,下列結(jié)論正確的是（）

A..尸|?忸刈=|力刈.怛陰B.tanZAKF=cosZPQF

2

c.△ZK8的面積最小值為D.\AB\=2\FQ\

12.已知正四棱臺NBC。-44G2的上下底面邊長分別為4,6,高為J5,E是4瓦的中點，則（）

A.正四棱臺ZB。?！?6cA的體積為必叵

3

B.正四棱臺ABCD-A^C.D,的外接球的表面積為104萬

C.4E〃平面BCQ

D.4到平面8G。的距離為生野

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線/=4x的焦點為準線為/,則焦點到準線的距離為；直線y=Jjx—與

拋物線分別交于產(chǎn)、。兩點（點尸在x軸上方），過點尸作直線尸。的垂線交準線/于點H,則

|P"|--------------

14.在（4-；x）"的展開式中，第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中爐的系數(shù)為.

15.如圖，已知。，6是相互垂直的兩條異面直線，直線與。，6均相互垂直，且48=2百，動點P，

7T

。分別位于直線a,b上，若直線尸。與Z8所成的角。=:，三棱錐4一800的體積的最大值為.

16.設(shè)/(X)為偶函數(shù)，且當xe(-2,o]時，/(x)=-x(x+2)；當xw[2,+8)時，/(x)=(a-x)(x-2).關(guān)

于函數(shù)g(x)=/(x)-加的零點，有下列三個命題：

①當a=4時，存在實數(shù)，"，使函數(shù)g(x)恰有5個不同的零點；

②若函數(shù)g(x)的零點不超過4個，貝

③對V,〃€(l,+8),3ae(4,+oo),函數(shù)g(x)恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數(shù)列.

其中，正確命題的序號是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝滿足q=3,an+l=a：-2an+2.

(1)證明數(shù)列｛ln(a“一l)｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若"=一+-數(shù)列出｝的前〃項和S,，求證：S“<2.

4一2

R+r

18.已知△Z8C的內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinC=JMcsin----

2

(1)求角A的大??；

TT

(2)若點。在邊8c上，且。。=38。=3,/BAD=—,求△ZBC的面積.

6

19.如圖，在三棱柱/3C—4gG中，四邊形力4GC是邊長為4的菱形，AB=BC=g點。為棱ZC

上動點(不與4C重合)，平面6出。與棱4a交于點￡

(1)求證：BB\〃DE；

AD7

(2)若嘿=彳，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求直線48與平面用8?！?/p>

AC4

所成角的正弦值.條件①：平面Z8C_L平面44CC；條件②：N//C=60°；條件③：9=后.

20.某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號電動汽車1年

以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到他們的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”.從年齡在40歲以下的客

戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲（含40歲）以上的客戶中抽取10位歸為B組，將他們的電動汽

車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖，其中“+”表示A組的客戶，表示B組的客戶.

注：“實際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值.

（I）記A,8兩組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為〃?，〃，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，

試比較"？，〃的大?。ńY(jié)論不要求證明）；

（H）從A,B兩組客戶中隨機抽取2位，求其中至少有一位是A組的客戶的概率；

（III）如果客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350,那么稱該客戶為“駕駛達人”.從4

B兩組客戶中，各隨機抽取1位，記“駕駛達人”的人數(shù)為求隨機變量J的分布列及其數(shù)學期望

21.已知橢圓C:三+￡=l（a>b>0）的離心率為橢圓的右焦點尸。,0）

（1）求橢圓。的方程；

（2）A、8是橢圓的左、右頂點，過點b且斜率不為0的直線交橢圓C于點M、N,直線ZAZ與直線x=4

交于點P.記P4、PF、3N的斜率分別為左、左2、右,是否存在實數(shù)幾，使得左+/=靛2?

22.帕德近似是法國數(shù)學家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)〃?，〃，

a-4-/7V4-...4-Z7X

函數(shù)/(X)在x=0處的階帕德近似定義為：R(x)=^-------各二，且滿足：/'(0)=R(0)，

l+b}x+---+bnx

/'(0)=R(0),/〃(0)=火〃(0)…，/(m+n)(0)=/?(,,,+n)(0).已知〃x)=ln(x+l)在x=0處的[1,1]階帕

/]X

德近似為及(x)二—?注：

\+hx

=[fXx)],f\x)=[f"MJ,f(4)(x)=[fm(x)],f(5)(x)=…

(l)求實數(shù)a,b的值：

(^2)求證：(x+b)/]-1>1；

(3)求不等式++的解集，其中e=2.71828….

[KS5U1題答案】C

【KS5U解析】解：因為Z={x|-2?x<3},B={y|y=2x,x<l}={y|0<y<2},

所以/n8={x|0<xW2}.故選：C.

【KS5U2題答案】B

【KS5U解析】將等式|z|z=3+4i兩邊同時取模，有||z|z|=|3+甸=出品不=5，

即||z|zHz『=5,所以|z|=J5.故選：B

[KS5U3題答案】B

【KS5U解析】函數(shù)歹=/一射一上的值恒為正值，則△<()=左2+4左<0n_4<左<0,

'."(-4,0)(―5,0),.?.“一5〈人<0”是“函數(shù)y=——6一左的值恒為正值，，的必要不充分條件.故選：B.

【KS5U4題答案】D

a5

【KS5U解析】cos(?-.TT)=-cosa-2sin2---1=——.故選：D.

28

[KS5U5題答案】B

【KS5U解析】a=(2,2),所以,卜20,Q工=卜《忸卜0$]兀=一4,

pz+^|+7+2a.B=8+4-8=4,所以,+?=2.故選：B

【KS5U6題答案】D

2

【KS5U解析】對于橢圓上+丁=1,°=2,b=l,。=6，根據(jù)橢圓的定義可得|尸娟+歸用=2=4,

4

設(shè)|尸制=x,貝！]|尸"|=4一%，且a-c4x4a+c,即2—2+G，

則歸耳HPE|=X(4_X)=_X2+4X=_(X_2)2+4G[1,4],所以，

11附|+陷|4「，,1

西十西=|阿?附廣附卜世廣「L故選:

【KS5U7題答案】C

【KS5U解析】由題意得數(shù)字4,9屬性為金，3,8屬性為木，1,6屬性為水，2,7屬性為火，5,10屬性

為土，從這十個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)，這3個數(shù)字的屬性互不相克，包含的基本事件個數(shù)

〃=G(C；C；+C；C；)=20,這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字包含的基本事件

個數(shù)為：”=C；(C；C；+C；C；)=8,,

這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率p='=_§_=2.故選：C.

〃205

【點睛】此題考查古典概型，關(guān)鍵在于根據(jù)計數(shù)原理準確求解基本事件總數(shù)和某一事件包含的基本事件個

數(shù).

【KS5U8題答案】D

yz

【分析】首先根據(jù)題中的條件得到J+J=o,從而得到z<o；再根據(jù)X>1時x〉lnx得到巴

歹ZyX

結(jié)合函數(shù)g(x)=>1)的單調(diào)性得到y(tǒng)>x,從而得到y(tǒng)>x>z,

VX

【KS5U解析】由"lnx=y/得一二巴-,-------①

yInx

1史上

由e-ln_=ze*得z,],--------@

xIn—

x

eyezp2

兩式相加得一+-=o,因為y>l,"'>0，所以_<0，又因為y>0,所以z<0；

Nzz

E"e'產(chǎn)

因為一="—>)>1，所以--->0>即lnx>0,所以x>l；

yInxInx

令/(x)=x—lnx(x>l),則/'(x)=l—，=3,當xe(l,+oo)時，f'(x)>0,

XX

所以/(x)=x-lnx在(1,口)內(nèi)單調(diào)遞增，即x>lnx,

cxe'/

所以—=--->—，即—>—,

yInxxyx

又令g(x)="(x>l)，則gG)=^^=￡l)e'a〉]),

xx2x2v7

當x>l時，g'(x)〉0,所以g(x)=￡?在(l,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以由絲>《，得到y(tǒng)>x

Xyx

所以y>x>z.故選：D.

【KS5U9題答案】AD

【分析】根據(jù)二項分布得方差公式即可判斷A；根據(jù)正態(tài)分布得對稱性求出尸(XVI),從而可判斷B；

根據(jù)方差得性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)題意求出左,C,即可判斷D.

i](1、8

【KS5U解析】解：對于A,由隨機變量X服從二項分布8(4,；),得。(X)=4x彳x1-彳故A正

3313y/9

確；對于B,因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,/),則對稱軸為X=3,

又尸(X<5)=0.85,所以尸(X<l)=0.15,所以尸(1<XW3)=O.5-P(XWl)=0.35,故B錯誤;

對于C,因為隨機變量X的方差為。(X),則。(2X—3)=4Z)(X),故C錯誤；

對于D,模型y=。心'(。>0),則lny=lnc+fcc,又因z=lny,z=2x-l,

所以左=2』nc=-l,所以c=l,故D正確.故選：AD.

e

【KS5U10題答案】BC

【分析】先求出歹=/(x)周期和解析式，畫出圖像，對四個選項一一驗證：

對于A：由圖像可判斷函數(shù)y=/(x)的中心對稱；

對于B：利用圖像變換作出函數(shù)y=|/(x)|的圖象，即可判斷；

對于C：直接求出解析式即可判斷；

對于D：利用圖像變換作出丁=/(|x|)的圖像，即可判斷；

【KS5U解析】因為函數(shù)〃x)對任意xeR都有/(x+2)+/(x)=0,

所以/(x-2+2)+/(x—2)=0,即/(x)+〃x-2)=0,所以/(x+2)=/(x-2)

所以/(x+2+2)=/(x+2—2),即/(x)=/(x+4)恒成立，所以/(x)的周期為4.

因為函數(shù)/(x+1)的圖象關(guān)于(—1,0)對稱，所以將丁=/(x+l)的圖象向右平移一個單位，得到y(tǒng)=f(x)

的圖象，所以y=/(x)關(guān)于(0,0)對稱.

任取xe[l,3],則

因為函數(shù)/(x)對任意xeR都有/(x+2)+/'(x)=0,即/(x)+/(尤-2)=0,所以

sinx,-l<x<l/、

/(X)=-f(x—2)=—sin(x—2).所以/(x)=<-sin(x-2),l<x<3；作出丁=/(')的圖象如圖所示:

/X、如t

?-3-2X^5'!56\

-siiil

對于A：由圖象可知：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(2%,0)(左€2)中心對稱，故A錯誤；

對于B：函數(shù)丁=|/(x)|的圖象可以看成y=/(x)的圖象X軸上方的圖象保留，把X軸上方的圖象軸下方

的圖象翻折到X軸上方，所以函數(shù)V=|/(x)|的最小正周期為2.故B正確；

-sinl

對于C：由前面的推導(dǎo)可得:當XG[1,3],/(x)=_sin(x_2)=sin(2_x).故C正確;

對于D：作出丁=/(|x|)的圖像如圖所示，在[-2,-1]上函數(shù)y=/(|x|)單調(diào)遞增.故D錯誤.

MV

/X、，/X、％坨選.BC

7^1o1XiX5Z乂曬,

-sinl

[KS5U11題答案】ABD

【分析】設(shè)直線的傾斜角為a,即N4%=a,設(shè)Z(x”y),B(x2,y2),可根據(jù)角平分線的

性質(zhì)判斷A：過/作4D_Lx軸，垂足為。，表示出tan/ZKF、cosZPQF,即可判斷B；

SAKB=SAKF+SBKF,數(shù)形結(jié)合即可判斷C；

求出尸0方程，令尸0求出。的橫坐標，求出|力司、|尸。|即可判斷它們的關(guān)系，由此判斷D.

XQX

【KS5U解析】設(shè)直線”的傾斜角為a,即NN&=a,設(shè)Z(J,5(2,^2),P(x0,y0),

................................\AF\\AK\

①若廠|?忸K|=|/K|?忸M，則―=品，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，x軸為N/K8的角平分線，

設(shè)直線l:x=my+g,代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0,

所以乂+%=22加,乂8=-P2，

k+k一切?為_必?%_2叩跖+P(.+乃)_0

所以y,￡r,￡myx+pmy2+pp)[my2+p)

‘I222

所以x軸一定是N/KB的平分線，故A正確；

②過/作/O_Lx軸，垂足為

ZAKF=-^―[冗

cos/PQF=cosly-a=sina=7^4=一^—

則tanp,叫+會

X,+

12

tan/AKF=cos/PQF,故B正確；

2

③sAKB=SAKF+SBKF=^-\KF\-\yx-y^=^-\yx-y^^-2p=p,當|乂一刃=|/8|=2p,即

Z8_Lx軸B寸，取等號，故△NKB的面積最小值為p2,故C錯誤；

，二晚=5+幻(…1ML)，則tana=[*=￡

對于。：＜

...尸。方程為：N一”=一

令尸0得，一兒=一—(x-x0)=>x=p+x0,0(p+Xo,O),

pP

：.\FQ\^p+x0--^-+X(),

A\AB\=X]++p=2x°+p=21尸?,故D正確.

故選：ABD.

【KS5U12題答案】BCD

【分析】利用正四棱臺ZBCD-48cB的體積計算可判斷A；連接NC、8。相交于。2,連接4G、BR

相交于01,分外接球的球心O在正四棱臺的內(nèi)部、內(nèi)部,

根據(jù)血。一DQ；+So?一DO；=OR、[DO-DQ；-502_DO；=OQ2，求出火?可判斷B；

取的中點/，利用面面平行的判斷定理可判斷平面。乃?！ㄆ矫?環(huán)，從而可判斷c；以。2為原點，

02D、O2A.02a所在的直線分別為x、六z建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法

向量，利用點到平面3G。的距離的向量求法可判斷D.

連接NC、8。相交于。2,連接4G、4R相交于9,如果外接球的球心。在正四棱臺

NBC。-48c2的內(nèi)部，則。在。02上，0。2=6，因為上下底面邊長分別為4,6,所以

DR=LBR=26,D0,=、DB=36,設(shè)外接球。的半徑為R,所以

22

5。一+^DO2-DOl=on,即

JF=i+JF=10=拒，無解，所以外接球的球心。在正四棱臺45C。-4坊GR的外部，如下圖,

則。在。。2延長線上，＜9,0=72,因為上下底面邊長分別為4,6,所以94=；44=2四,

DO[=；DB=36,設(shè)外接球O的半徑為R,所以60一DQ；—出0?！狣0；=0}02，即

，*一8一，火2-18=后,解得氏2=26,

所以正四棱臺ABCD-A^C^的外接球的表面積為4萬斤=104乃，故B正確;

取。4的中點/，連接力/，EF,AlClP[EF=G,連接NG,

所以D￡〃EF,所以6是49的中點，因為4G=4百,所以GG=3jI,

又/U=3J5,所以GG=/02，又因為GCJ/Z。？，所以四邊形GG^/是平行四邊形，

所以G/〃C02，64(2平面68。，￡。2<=平面。田。，所以G4〃平面G8D,

因為D\BJ/BD,所以EF//BD,所0平面。/。，8。匚平面。/。，所以瓦7/平面G8。，

因為EFcZG=G,所以平面G8?！ㄆ矫?或7，因為“Gu平面/E/L所以NE〃平面68?！?，

故C正確；

以a為原點，Q。、o/、02a所在的直線分別為小y、z建立如圖所示的空間直角坐標系，則

D(3V2,0,0),5(-35/2,0,0),G(0,-2倉閨,4(0,272,72),

5q=(-372,-272,VI),fiq=(3^,-272,72),=(0,-472,0)

設(shè)平面BCQ的一個法向量為n=(x,y,z),

_Ln-3y/2x-Z,VZy+0—

所以一，即《「「，令y=l可得〃=(0,1,2),

J_n3V2x-2V2y+V2z=0

I"，4GI4J24-Vio

4到平面BGD的距離為,故D正確.故選：BCD.

n\y/55

V3

【KS5U13題答案】①.2②.

T

【分析】求出焦點及準線方程，從而可得焦點到準線的距離，作PP'_L/交準線/于點P',易得直線

廠廠\PF\\PP'\

y=Ex-E過焦點、,則局=匕一從而可得出答案.

\PH\\PH\

【KS5U解析】解：拋物線/=4x的焦點廠(1,0),準線/為x=—1,所以焦點到準線的距離為2,

如圖，作尸P_U交準線/于點P，因為直線y=一0過焦點。則1PH=|PP'|,

因為PPL/,所以P尸'〃x軸，又直線y=JIx-G的傾斜角為60。，所以/尸尸尸'=60°,所以

\PFPP'\cos30。=/二.故答案為：2；

ZHPP'=30°,則^——=——

\PHPH\2

8

【分析】根據(jù)二項式的第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，求得〃，再求出展開式的通項，令x的指數(shù)等于

5,從而可得出答案.

【KS5U解析】解：因為二項式的第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，所以C；=C；,所以〃=7,

則二項式(4-；x)7展開式的通項為子，

令々=5,則廠=3,所以展開式中工5的系數(shù)為C；=一生.故答案為：一生.

2I2J788

【KS5U15題答案】叵

33

【分析】根據(jù)直線a,b,N8三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長方體/巴花-BC。。，再根據(jù)Z3//PC,

可得NPQC即為直線P。與所成的角的平面角，由此可求得C。，從而可得8。2+8。2,再根據(jù)棱錐

的體積公式結(jié)合基本不等式即可得解.

【KS5U解析】因為直線三條直線兩兩垂直，如圖，將圖形還原為長方體/尸莊-68。，

JT

因為ABHPC,所以/尸。。即為直線產(chǎn)。與所成的角的平面角，則/2。。=一，

6

因為尸CJ_平面8c0。，CQu平面6C。。，所以PC_LC。，在RtaPC。中，由尸。=45=2行，

得CQ=2,所以8。2+802=4,

VA“PQ=Vp-ABQ=3又￥乂AB.BQ.PA=*BC.BQ=曄

JJJJ

當且僅當8。=8。=&時，取等號，所以三棱錐力一8。。的體積的最大值為,百.

故答案為:

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)直線d仇/6三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長方體Z尸F(xiàn)E-8C。。，從特

殊幾何體入手是解決本題的關(guān)鍵.

【KS5U16題答案】①②③

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個選項進

行判斷即可.

/、[-x(x-2)XG[0,2)/、

【KS5U解析】解：當a=4時/(》)="'J.L)、又因為/(x)為偶函數(shù)

(4—xH%—2jxG2,4-001

???可畫出/(X)的圖象，如下所示:

可知當掰=0時g(x)=/(x)-加有5個不同的零點；故①正確；

若函數(shù)g(x)的零點不超過4個，

即歹=/(》)與歹=加的交點不超過4個，；.X22時/(力40恒成立

又?.?當xe[2,+oo)時，/(x)=(a-x)(x-2),a-xV0在xe[2,+8)上恒成立

.?.a4x在xe[2,+s)上恒成立，由于偶函數(shù)/(X)的圖象，如下所示：

直線/與圖象的公共點不超過4個，則。42,故②正確:

故答案為：①②③

【KS5U17題答案】

ln(a,-1)

【分析】(1)根據(jù)遞推公式證明，'/為定制,即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列得通項即

ln(4T)

可得解；

111(J1、

(2)由4川=4：_2%+2,得％則------=------------------，則

《用一22)21%-2an)

112,.

一=-------------再利用裂項相消法求出數(shù)列也｝的前〃項和S“，即可得證.

4a?-2an+l-2

【小問1解析】

因為。Hi=%一2%+2,所以j一1=(%-l)t

則ln(a“+i==21n(an-l),又ln(q_1)=ln2,

所以數(shù)列｛M(?！?1)｝是以山2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

則ln(a?-l)=2"T?In2=In22'"'，所以a,=2r"+1；

【小問2解析】由an+]=%-2an+2,得all+}—2=an(a“—2),

1

則，所以_______「

a??(?,,-2)214一2a)aa?-2a-2

n+\~2nnn+l

,1112122

所以2=—+----=------------1------二--------------

a

na“_?an-2%+1-2an-2an-2a“+i-2

所以S,=。+b2+???+/>?

、%-2a2-2J\a2-2ay-2)0-2anA-2?

22

%-2a?-2222"-2'因為「—>0,所以2----<2,所以S,<2.

+122-222-2

2兀(2)也.

【KS5U18題答案】(1)/(=-；

19

r-A

【分析】(1)由正弦定理的邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得sin4=gcos—,再應(yīng)用二倍角正弦公式化

2

簡可得sind=正，即可求/的大小.

22

(2)由題設(shè)可得ND4C=N,法一：由正弦定理及乙408+//。。=?？傻皿?=￡,再由余弦定理

2CDb

得到加2=3，最后根據(jù)三角形面積公式求△NBC面積；法二：根據(jù)三角形面積公式有與必=導(dǎo)，由

19SADC2b

△8/。的邊8。與△ZDC的邊。C上的高相等及已知條件可得￡=,，再由余弦定理得到“2=笆，最

2b319

后根據(jù)三角形面積公式求△ABC面積；

【小問1解析】由已知及正弦定理得：sin力sinC=JJsinCsin-----,又B+C=AA,

2

B+C兀/「.「八?,匚A廠….AAnrA，八A兀

-----------，又sinCw0,???sinA—cos—，則2sin—cos—=73cos—,而0<一<一，

222222222

：.cos-^O,貝心足且=立，故且=3，得/=§.

222233

27TTTTT

【小問2解析】由NA4C=—,NBAD=—,則NZX4C=—.

362

BDc

法一：在△48。中，.無一sinNBDA，①

sin一

6

CDb

在△ZOC中，.兀-SinNADC，②

sin—

2

,/ZADB+ZADC=n,

/.sinZ.BDA-sinNADC,③

2BDCC2

由①②③得：----,又CD=3BD=3,得BD=1,，一=一,不妨設(shè)c=2/w,b=3m,

CDhh3

iA

在△Z8C中，由余弦定理可得，42=（2W）2+（3/M）2-2X2T?X3/77COS—,得/=—,

''''319

所以S八=—bxcsinABAC=—x2mx3mx^-=百.

ZA/IDCrcc1c

ITT

s—c-ADsmABADcsin—

法二：---------------=-----6_L

2A^D_=2=

S^ADC^b-ADsmACAD6sin-%

22

???△8〃。的邊8。與4力。。的邊。。上的高相等，

.°ABADBDIclc2

—由此得：—=-，即7=一，不妨設(shè)c=2〃?b=3m,

S4ADCDC32b3b3

,?27r16

在8c中，由余弦定理可得，4?=（2mY+（3mY-2x2/?x3mcos—■,得加？=—

‘'''319

6_246

所以以'BC=—bxcsinABAC=-x2mx3mx

22--19

【KS5U19題答案】

【分析】（1）由棱柱的性質(zhì)可得N/J/BA，即可得到88"/平面NCG4，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明即

可;

（2）選①②，連接4。，取zc中點。，連接4。，BO,即可得到同。上zc,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得

到4。1平面Z8C,即可得到4。人。8,再由80人ZC,即可建立空間直角坐標系，利用空間向量法

求出線面角的正弦值;

選②③，連接4。，取4c中點。，連接4。，BO,依題意可得4。人NC,再由勾股定理逆定理得到

A}O1OB,即得到4。工平面力8C,后續(xù)同①②；

選①③，取ZC中點。，連接80,4。，即可得到由面面垂直的性質(zhì)得到801平面ZCG4，

從而得到BO10A1,再由勾股定理逆定理得到4。1Z。后續(xù)同①②；

【小問1解析】在三棱柱Z8C—中，AAiHBB,,又8瓦2面/CC,A,,441u面4CC4,

所以8片//平面NCC/,又面BfOEc面4CC/=。后，BBiU面&BDE,所以BBJ/DE.

【小問2解析】選①②：連接4。，取ZC中點。，連接4。，BO.

在菱形ZCG4中，4zc=60°，所以z/c為等邊三角形?又。為/c中點，所以

又面48cl面ZCG4,面力8Cc面ZCG4=4c，4。匚平面zcc/i，

所以4。1平面力8C，O8u平面為8C,故4。工。8,又AB=BC,所以3O14C.

以。為原點，以08、0C、。4為x軸、＞軸、z軸建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),4(0,-2,0),4(0,0,273),8(3,0,0),0(0,1,0).

所以麗=(一3,1,0),DE=7^=(0,2,273).

_n-BD=-3x.+y.=0廠

設(shè)面818Z)E的一個法向量為”=(X[,%zJ,則彳_,廣，令Z|=-j3r,故元=(1,3,-JJ).

ri-DE=2yi+2y/3zl=0

um?---?\AB,/79

又48=(3,2,0),設(shè)直線ZB與面所成角為6?,則sine=|cos)/8,孫=|—.面干.

?1|J5|?|13

9

所以直線N6與平面所成角的正弦值為值.

選②③：連接4。，取4c中點。，連接4。，80.在菱形ZCC/中24/。=60°，所以44C為等

邊三角形.又。為ZC中點，故4。//。，且4。=26，又08=3,娟=后.

所以4。2+052=432,則4。人。6.又ZCcO8=O,NC,O3u面N8C,所以4。工面Z8C,

由08u平面48C,故4。工。8,又AB=BC,所以80人4。

以。為原點，以O(shè)B、。。、。4為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),4(0,-2,0),4(0,0,273),8(3,0,0),0(0,1,0).

所以麗=（一3,1,0）,方豆