福建省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題

2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽〔福建省賽區(qū)〕預(yù)賽

暨2021年福建省高中數(shù)學(xué)競賽試卷參考答案

〔考試時間：2021年5月21日上午9：00-11：30,總分值160分〕

一、填空題〔共10小題，每題6分，總分值60分。請直接將答案寫在題中的橫線上〕

1.集合A={x|<1},S={x||.r-a|<2},假設(shè)那么實數(shù)a的

取值范圍為。

【答案】(-1,5)

【解答】由log(x-l)<l,得0<x—1<2,l<x<3,A=(l,3)。

2

由|x-ci|<2,得-2<x—a<2,a—2<x<a+2,B=(a—2,a+2)。

假設(shè)AcB=0,那么a+2<l或a—2?3,1或aN5。

時，a的取值范圍為(-1,5)。

2./(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)y=/(x+l)為偶函數(shù)，當(dāng)-IWXWO時，/(x)=x3,

那么/(|-)=。

【答案】-

8

【解答】由函數(shù)y=/(x+l)為偶函數(shù)，知/(—x+l)=/(x+l)。

又/(x)為奇函數(shù)，

/(x+2)=f(-x)=-f(x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x)o

A心=心=-(寺=|。

3.{a}為等比數(shù)列，且aa=1,假設(shè)/(%)=_1_,那么

"120171+X2

f(a)+/(a)+/(?)++/(a)=_______________。

1232017

【答案】2017

【解答】由/(月=二知，/(x)+/(l)==+^_=:+J=2。

1+X2X1+X2]+(1)21+舉心+1

X

{a}為等比數(shù)列，且aa=1,

n12017

=

??aa—cici—cici——cia1o

12017220163201520171

，/(a)+/(a)=/(a)+/(a)=/(a)+/(a)==f(a)+/(a)=2。

12017220163201520171

2[f(a)+f(a)+f(a)+…+/(a。。)]

=[f(a)+f(a-)]+[/(?)+f(a')]+[,/(?)+f(a)]++[f(a)+/(?)]

12017220163201520171

1

=2x2017-

f(a)+f(a)+f(a)++f(a)=2017。

I232017

4.將8個三好生名額分配給甲、乙、丙、丁4個班級，每班至少1個名額，那么甲班恰

好分到2個名額的概率為…o

【答案】-

7

【解答】將8個三好生名額分配給甲、乙、丙、丁4個班級，每班至少1個名額的不同

分配方案有C3=35種。(用隔板法：將8個名額排成一排，在它們形成的7個空擋中插入3

7

塊隔板，那么每種插入隔板的方式對應(yīng)一種名額分配方式，反之亦然。)

其中，甲班恰好分到2個名額的分配方案有C2=10種。(相當(dāng)于將6個名額分配個3個

5

班級，每班至少1個名額。)

所以，所求的概率為12=J

357

5.三棱錐P-A8C中，ZXABC是邊長為2壽的等邊三角形，PB=PC=^5,且二面角

尸-BC-A的大小為45。，那么三棱錐尸-ABC的外接球的外表積為。

【答案】25兀

【解答】如圖，取8C中點。，連40,PD。

由△43C是邊長為2道的等邊三角形，PB=PC＜知,

AD1BC,PD1BC,PD=W。

NPDA為二面角P-BC-A的平面角，

ZPD4=45°,8。_1_面尸/10,面巳4。_1_面48。。

作P。_LA。于。，那么P。J,面ABCo

111

...PO=OD=1,0A=2,。為△ABC的外心，三A

1111

棱錐尸-ABC為正三棱錐。

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為0,半徑為R0

2

那么。在直線上，且|PO-PO\+OA2=OA2o

...(R—1)2+22=R2,R=2,三棱錐尸―ABC的外接

2

球的外表積為471/?2=2571o

6.尸為雙曲線C：絲-竺=1上一點，F(xiàn)、F為雙曲線C的左、右焦點，M./分別

412?2

為△PFF的重心、內(nèi)心，假設(shè)軸，那么尸產(chǎn)內(nèi)切圓的半徑為。

I212----------------------------------------

【答案】x/6

2

【解答】如圖，不妨設(shè)點P在第一象限，D、E、產(chǎn)分別為。/與三邊相切的切

12

點。

那么由切線長定理以及雙曲線定義，得

2a=|PF|-|PF2\=(\PF|-?-|FF|)-(|P￡|+|EF|)=|FF|-|EF^\FD|-|FD|

=(x+c)-(c-x)=2x

DDD

??x=a=2,x-x-x-2o

DM/D

設(shè)P(x,y),由M為4PFF重心，

00I2

x—3x=6,y=4^/G,O

0M0

|PF|=^(6+4)2+(476-0)2=14,

|?|=^(6-4)2+(476-0)2=10o

設(shè)△PF尸內(nèi)切圓半徑為r,那么

12

S=1(1PFl+lPFl+lFFI)xr=16ro

2i212

另一方面，

Sy化2。《8X4?=164。

16r=16^/6,r=聲。

AA

7.在AABC中，內(nèi)角A、3、C所對的邊分別是4、b、c,且sinCcos_=(2—cosC)sin_,

22

3

cosA=—fQ=4,那么△ABC的面積為。

5---------------------

【答案】6

【解答】由5由。(：052二(2-(：0$。)§1112,知2sinCcos2—=2(2-cosC)sin—cos—。

22222

sinC(1+cosA)=(2-cosC)sinA,sinC+sinCcosA=2sinA-cosCsinA。

；?sinC+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,sinC+sin(C+A)=2sinA。

；?sinC+sinB=2sinA,艮|Jc+/?=2。。

3

34.cos4=—,6/—4o

5

3

.??42=》2+c2-2bccosA,即42=枚+(8-。)2-2。(8-。)、g，解得~=3或b=5。

3

h=5

c=3

一ii4

△ABC的面積S=_hcsin4=_x3x5x_=6。

8.假設(shè)關(guān)于x的方程X2+ox+/?-3=0(a,bwR)在區(qū)間[1,2]上有實根，那么。2+(。-4)2

的最小值為。

【答案】2

【解答】由+辦+。-3=0矢口，b=-X2-or+3o

(72+(/?-4)2=〃2+(-X2一辦一1)2=〃2+(%2+1)2+2dX(X2+1)+Q2%2

=(X2+1)(X2+1+2OX+Q2)=(%2+1)(X+Q)2+工2+1。

V—[1,2],

42+(0-4)22x2+122,當(dāng)x=l,a--\,/?=3時，等號成立。

...“2+S-4)2的最小值為2。

9.函數(shù)/(%)=727^7+712^7+的最大值為o

【答案】11

【解答】由柯西不等式知，

2x-712-x44-x

<(3+2+6)(+-----+-----)=112o

當(dāng)日僅當(dāng)/即一9_=_J_=_36_,x=8時等號成立。

(2x^72X—7n-x44-x

.../(x)的最大值為11。

10.A,B、。為圓。上不同的三點，且44。8=120。，點。在劣弧48內(nèi)〔點C與A、B

不重合),假設(shè)OC=九。4+口03(A,,geR),那么無+日的取值范圍為0

【答案】(1,2]

【解答】如圖，連結(jié)0C交A8于點。。

設(shè)機灰刃必由優(yōu)=九。A+R08,得

0D=tnk0A4-m|i0B。

*/4、。、3三點共線，

mk+myi=1,_&+日=—o

m

不妨設(shè)圓的半徑為1,作于E,由4408=120。，知

4

OE=L

2

ODNOE=L,且點C在劣弧AB內(nèi)（點C與4、8不重合）,

2

o于是，1<A，+LI<2O

2

九+N的取值范圍為（1,2〕。

另解：如圖，以。為原點，線段A8的垂直平分線所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系。

不妨設(shè)圓。半徑為2,那么由4405=120。，知4（一JT,I）,B（JT，1）。

設(shè)C(2cosa,2sina)o

那么由OC=入Q4+J1O8,得

(2cosa,2sina)=>(一壽，1)+日(壽，1)。

/.X+)LI=2sina。

點除劣弧工3內(nèi)一「點。與A、8不重合)，

???30°<a<150°o

—<sina<1,X+u=2sinaG(1,2]o

2

1+N的取值范圍為(1,2]。

5

二、解答題〔共5小題，每題20分，總分值100分。要求寫出解題過程〕

11.假設(shè)數(shù)列5｝中的相鄰兩項。、a是關(guān)于x的方程通一〃x+c=0("=1,2,3,???)

的兩個實根，且％=;n"+|“

(1)求數(shù)列%“｝的通項公式；

(2)設(shè)b=c”,求數(shù)列｛b｝的通項公式及｛b｝的前〃項的和T。

n2n-\nnn

(必要時，可以利用：12+22+32++〃2=〃(〃+1)(2〃+1))

6

【解答】(1)依題意，由韋達(dá)定理，得a+。=n,c-aao

nn+1nnn+l

/.(a+a)-(tz+a)=(n4-1)-n=1,BPa-a=10.......................5分

n+1n+2nn+1M+2n

a,a,a9,??；和q,a,a,…，都是公差為1的等差數(shù)列。

135246

又。=1,a=l—a=0o

12I

/.對弋keN*,a-k,a=%—1。

2k2k

—,〃為奇數(shù)

即a=?之0...................................10分

”二〃為偶數(shù)

/c、/■?、kr12/1—1+12〃一2/｛、

(2)由(1)知，b=c=aa=--------------------=〃(〃-1)="2一〃。

n2n-12H-12n22

..............................................15分

.T八八「、八cc、〃(九+1)(2〃+1)n(n+l)

??T=(12+22+32++〃2)_(l+2+3++H)=———---------L-———I

〃62

“(〃一1)(拉+1)

--'O

3……

..............................................20分

6

12.橢圓C：E+21=l（a>b〉O）過點P（-2,1）,且離心率為"。過點尸作兩條互

Q2b22

相垂直的直線分別交橢圓于A、8兩點（A、B與點尸不重合）。求證：直線A8過定點，并

求該定點的坐標(biāo)。

【解答】依題意，有3+_L=i,且￡="從="。

a2b2aa2

解得。2=6,。2=3。

橢圓c的方程為『十幾5分

易知直線A8斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m。

y=kx+m

由<V2，得

——+--=1

163

(2^2+1)%2+^mkx+2iri2-6=0.......①

設(shè)A(q，DB(x2，y2),

4,欣2加2-6

那么X+XXX=---------

1:一一2左2+1122公+1

10分

由孫_1_尸3知，PAPB=0o

??(尤+2)(x+2)+(y—1)(y—1)=(x+2)(九4-2)+(^kx+m—1)(/ex+fti-1)=0,

121212I2

即(攵2+l)xx+(km-k+2)(x+x)+加2—2m+5=0。

12-k12

.八］、2根2—6,,小、/4/nk、r廠八

??(氏2+l)x----------(kzm-k+2)x(------------)+〃?2-2m+5=0°

2攵2+12h+1

3m2-2>mk+4^2-2m-l=0o.......................15分

/.(36一2左+1)(初一2Z-1)=0。

由直線A3不過點P(—2,1),知加一2攵一I/O。

2121

/.3機一2女+1=0,m=—k--,直線A8方程化為y=日+.左一可。

21

???直線48過定點。(一1,一1)。.......................20分

7

13.如圖，PA,BBC分別是圓。的切線和割線，其中A為切點，M為切線PA的中點,

弦40、8C相交于點E,弦延長線上的點R,滿足NFBD=NFED。

求證：P、F、。三點共線的充分必要條件是M、B、。三點共線。

又點尸、尸均在直線48上，因此尸、F重合。

11

P、F、。三點共線。.........15分

(2)假設(shè)P、F、。三點共線。

設(shè)直線DB、AP相交于點M。

1

那么由塞瓦定理知，絲?竺.竺=1。

MPFDEA

PF_AE

EF//AP,

~FD~~ED

：.”_=1,AM=MP,M為Q4的中點

MP?ii

1

M、M重合。

1

/.M、B、。三點共線。

由(1)、(2)可得，P、F、。三點共線的充分必要條件是M、B、。三點共線。

20分

8

【解答二】由/與。=/FED知，B、F、D、

E四點共圓。

,ZAFE=NBDE。

由24為圓0的切線知，/BDE=4PAFo

/.ZAFE=NBDE=ZPAF。

：.EF//AP-.............................5分

（1）假設(shè)M、B、。三點共線。

連結(jié)BM、DP、DFo

A

NMDF=NBDF=NBEF=ZAPB□

ZMDF=ZMDPo

P、F、。三點共線。.............................15分

(2)假設(shè)尸、F、。三點共線。

設(shè)直線。8、AP相交于點"，那么NPDM=ZFDB=ZFEB=/MPB°

1i

又NPMB=NDMP，

11

???工MPBS/\MDP。

1I

???MP2=MBMD°

111

又MA2=MBMD,

11?

JMP2=MA29MP=MAO

i]ii

因此，M為的中點，M.M重合。

ii

???M、B、。三點共線。

由（1）、（2）可得，P、F、。三點共線的充分必要條件是M、B、。三點共線。

.........................20分

9

14.Q〉0,/(%)=ln(2x+l)+2or-4aei+4。

⑴當(dāng)4=1時,求"X)的最大值;

(2)判斷函數(shù)/(X)零點的個數(shù)，并說明理由。

【解答】⑴當(dāng)。=1時，/(x)=ln(2x+l)+2x-4e.x+4,f'(x)----+2-4exo

2x4-1

X>-^■時，f'\x)--------4e*<0,

(2X+1)2

/(%)在(-(，+8)上為減函數(shù)。

又八0)=2+2-4=0,

-3<x<0時，八%)>0；x>0時，f'(x)<0o

，/(x)在區(qū)間(-3，0上為增函數(shù)，在［。，+8)上為減函數(shù)。

...a=l時，/(x)的最大值為/(0)=0。...............5分

24

(2)=----+2〃-4aet,/"(x)=---------4ae^

2x4-1(2x+1)2

當(dāng)Q〉0,且無>一：時，f\x)<0c

二/'(X)在(-；，+8)上為減函數(shù)。

X—時，f'(x)—>+00;x->+8時，/(x)f-oo。

/'(X)存在唯一實根，設(shè)此根為X。

0

那么一l<x<x時，fix')>0；x>x時，fix')<0o

2oo

/?/(X)在區(qū)間，X°上為增函數(shù)，在，+8)上為減函數(shù)。

/(x)有最大值f(x)o

0

..........10分

①當(dāng)。=1時，由(1)知，/(X)有唯一零點。

②當(dāng)0<。<1時，由r(0)=2+2a—4a=2—2a>0知，x>0。

0

???/(七)>/(0)=-4。+4>0。

又時，/(X)-00;X-?+oO時，f(x)-^-00o

10

/(X)在區(qū)間(-“0，+8)內(nèi)各有一個零點。

...當(dāng)0<。<1時，/(x)有兩個零點。.................15分

③當(dāng)。>1時，由尸(0)=2—2。<0,知一L<x<0o

2o

22

由)—-----+2a—4ae%=0,知=------+2〃。

o2x+12x+1

00

2

???/(x)=ln(2x+1)+2依-4cie\+4=ln(2x+1)4-lax-(--------+2a)+4

ooooo2x+1

21

—ln(2x+1)+2ax-..........—2〃+4,(——<x<0)0

。o2x+12。

、2

設(shè)g(x)=ln(2x+1)+2QX---------2Q+4。