高考數(shù)學（新高考版）一輪復習教師用書 第九章 第一講 直線方程與兩直線的位置關系

第九章直線和圓的方程

第一講直線方程與兩直線的位置關系

1.[2020山東青島模擬]已知直線/經(jīng)過直線/i：x+y=2丿2：2Xy=l的交點，且直線/的一個方向向

量公(3,2),則直線/的方程是()

x2yl=Ox2y+l=0

x+3y5=0x3y+l=0

2.[2020浙江臺州五校聯(lián)考]已知直線/過點P(l,l)且與以厶(0,1),8(3,4)為端點的線段相交,

則直線/的斜率的取值范圍為()

A.(8,|]B.[2,+8)C.[*mD.(8,|]U[2,+8)

3.[2020河南鄭州模擬]數(shù)學家歐拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形

三條邊的垂直平分線的交點，重心是三角形三條中線的交點，垂心是三角形三條高線的交點)

依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心的距離的一半.這條直線被后人稱之

為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點8(1,0),。0,2),厶8=4：冊必厶産的歐拉線方程為()

x4y3=0x+4y+3=0

x2y3=0x+4y3=0

4.[2016四川高考「設直線分別是函數(shù)〃x)={:醫(yī)°；j(1'圖象上點PiB處的切線厶與4

垂直相交于點P,且/1丿2分別與y軸相交于點4B,則△PAB的面積的取值范圍是()

A.(0,l)B.(0,2)C.(0,+8)D.(l,+8)

5.[2020四川五校高三聯(lián)考]過直線x+y=0上一點P作圓(x+iy+(y5尸=2的兩條切線/丿2,厶,8

為切點，當直線h,12關于直線x+y=0對稱時,/AP8=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.[2020貴州遵義四中模擬]過點(2,3)且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程

為.

7.[雙空題]已知直線/：(八+2〃)x+(4〃?448〃=0交O。：x2+y2=25于兩點,C為/外一動點,

且|AC|=2|8C|,則|AB|的最小值為；當|A8|取最小值時，AABC面積的最大值

為.

v2

8.(2017全國卷I]設A,B為曲線C：y=j"上兩點,A與B的橫坐標之和為4.

⑴求直線A8的斜率；

⑵設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行，且AM丄BM,求直線AB的方程.

考法1求直線的方程

屈鼬(1)已知點厶(3,4),則經(jīng)過點厶且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為.

(2)已知直線/過點P(3,2),且與x軸,y軸的正半軸分別交于A8兩點，如圖911所示，

當△AB。的面積取最小值時直線/的方程為.

解析>(1)設直線在x軸,y軸上的截距均為a.

①若。=0,即直線過點(0,0)及(3,4).

則直線的方程為y=；x,即4x3y=0.

②若“0,設所求直線的方程為§+『I，

又點(3,4)在直線上，所以：+:1,所以a=7.

所以直線的方程為x+y7=0.

綜上可知所求直線的方程為4x3y=0或x+y7=0.

(2)解法一設厶(a,0),8(0,b)(a>0,b>0),則直線/的方程為:+々1.......................................

因為/過點P(3,2),所以三+±L

因為11+余2J],整理得0岳24,所以S^ABO=^ob>12.

當且僅當三=之即a=6,b=4時取等號.

此時直線/的方程是m即2x+3y12=0.

64

解法二依題意知,直線/的斜率k存在且k<0,

可設直線/的方程為y2=k(x3)(k<0).................................................................................；

則A(3p0),6(0,23k),

12

SM80=3(23k)(3-)

:扣2+(弘)白

(-弘)今

=1x(12+12)

=12,

當且僅當9k=，即k=刎，等號成立.

■k3

所以所求直線/的方程為2x+3y12=0.

S拓展變式乜.[2020江西省九江市三校聯(lián)考]已知直線/過點(2,1),且在x,y軸上的截距相等.

⑴求直線/的一般方程;

(2)若直線/在x,y軸上的截距均不為0,點P(a,b)在直線/上，求3。+3。的最小值.

考法2兩直線位置關系的判斷及應用

示例Z(1)已知經(jīng)過點42,0)和點8(1,3a)的直線厶與經(jīng)過點P(0,1)和點Q(a,2a)的直線

12互相垂直,則實數(shù)a的值為.

⑵已知兩直線/i：x+my+6=0丿2：(m2)x+3y+2m=0,當m為何值時，直線厶與厶：①平行;②垂直.

解析的斜率k尸/a.

當“0時丿2的斜率k2=W*=—.

a-0a

因為/1-L/2,

所以klk2=1,即。出=1,

a

解得0=1.

當a=0時,P(0,l),Q(0,0),這時直線Q為y軸,A(2,0),8(1,0),直線八為x軸，顯然厶丄厶

綜上可知，實數(shù)。的值為1或0.

⑵解法一當m=0時丿i：x+6=0丿2：2X3y=0A與厶相交且不垂直.

xiz__L.16.m-22m

當m#0時n丿i：y=-X一丿2：片—X—.

mm33

①丄二十且—*■解得m=1.

m3m3

所以當m-1時丿i〃/2.

②厶丄》(等)=1,解得

所以當時厶丄厶

解法二①若厶〃/2廁

J(mx2m-3x6W0,

即代-2昨3=0,解得后］

(7711+9,

所以當m=1時丿"A

②若/i丄厶則lx(m2)+mx3=0,解得m=1.

所以當m彳時厶丄A

點評〉對于此類題，根據(jù)兩直線平行或垂直時滿足的條件即可求解，注意討論直線的斜率是否

為零.

S拓展變式2已知直線/的方程為3x+4yl2=0,

⑴求過點(1,3),且與/平行的直線廠的方程；

(2)求過點(1,3),且與/垂直的直線廠的方程；

⑶若直線「與/垂直，且/'與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4,求直線廠的方程.

考法3兩直線的交點與距離問題

［2020武漢市調(diào)研考試］已知直線/經(jīng)過直線2x+y5=0與直線x2y=0的交點.

⑴若點厶(5,0)到直線/的距離為3,求直線/的方程；

⑵求點A(5,0)到直線/的距離的最大值.

解析＞(1)易知點A到直線x2y=0的距離不等于3,可設經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為

(2x+y5)+A(x2y)=0,SP(2+A)x+(l2A)y5=0.

|10+5A-5|

由題意得=3,即2A25A+2=0,

7(2+A)2+(l-2A)2

解得4=2或入彳.

所以直線/的方程為4x3y5=0或x=2.

；：

⑵解方程組CMIt°,可得兩直線的交點為P(2,l).

過點P作任一直線/,設d為點A至！I/的距離，貝IJ

公|PA|(當11.PA時等號成立).

所以C/max=|PA\=7(5-2)2+(0-1)2=V10.

于是點厶(5,0)到直線/的距離的最大值為

匂拓展變式&⑴[2020黑龍江哈爾濱模擬]若直線y=乎+1和x軸、y軸分別交于點A,8,以

線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形厶BC.若在第一象限內(nèi)有一點P(m$,使得AABP和

△A8C的面積相等，則m的值為()

A辿遍￡也百

22

⑵[2019江蘇高考]在平面直角坐標系xOy中,P是曲線y=x3(x>0)上的一個動點，則點P到直線

x+y=0的距離的最小值是.

考法4對稱問題

■M已知直線厶2x3y+l=0,點A(1,2).求：

⑴點A關于直線/的對稱點A1的坐標；

⑵直線m:3x2y6=0關于直線/的對稱直線m'的方程；

⑶直線/關于點A對稱的直線/'的方程.

思維導引>(1)設A(x,y),由對稱性求出4的坐標.

⑵在直線m上任取一點M(2,0),由對稱性求出M關于/的對稱點M1的坐標，結(jié)合兩直線的交

點,可求出m'的方程.

⑶思路一在/上任取兩點P(l,l),/V(4,3),由對稱性求出P,N關于點厶的對稱點P；”,可得直

線/'的方程.

思路二在/上任取一點Q(x,y),由對稱性求出點Q關于點厶的對稱點Q1將其坐標代入直線

/的方程，可得直線/'的方程.

(空亠=-1(%=-9

解析P)設A(x,y),則",3>2解得J即4(諳

[2x--3xi-+i=o,(y=-,ms

⑵在直線m上任取一點，如M(2,0),則M(2,0)關于直線/的對稱點必在m上

2x嗎3x"+1=0,

設“關于直線/的對稱點為“(。力),則9022

覇17

伝=2，63。

解得&即舒).

I13，

設m與/的交點為M則由。得N(4,3).

又m'經(jīng)過點N(4,3),

所以由兩點式得直線”的方程為9x46y+102=0.

⑶解法一在/：2x3y+l=O上任取兩點，如P(l,l),/V(4,3),則P,N關于點厶的對稱點均

在直線廠上,易知卩(3,5),A/'(6,7),由兩點式可得尸的方程為2x3y9=0.

解法二設Q(x,y)為/，上任意一點，則Q(x,y)關于點A(1,2)的對稱點為Q，(2x,4

V)，

因為點Q，在直線/上，所以2(2x)3(4y)+l=0,

即2x3y9=0.

目拓展變式」4.[2019豫南九校第四次聯(lián)考]已知△ABC的一個頂點A(2,4),且N&NC的平分

線所在直線的方程分別為x+y2=0,x3y6=0,則BC所在直線的方程為.

易錯忽略斜率不存在致誤

示例B[2019河南省中原名校第三次聯(lián)考]設圓x2+V2x2y2=0的圓心為C,直線/過點

(0,3),且與圓C交于厶,8兩點，若|厶8|=2次，則直線/的方程為

x+4y12=0或4x3y+9=0

x4y+12=0或4x+3y+9=0

x3y+9=0或x=0

x+4y12=0或x=0

條件與條件:①圓的方程;②直線過定點;③直線被圓截得的弦長.

目標目標:求符合條件的直線的方程.

思路與思路:求解過定點的直線的方程，分斜率存在和斜率不存在兩種情況進行討論.

方法方法:待定系數(shù)法.

過程:先討論直線的斜率不存在是否符合題意,再探究斜率存在時符合條件的斜率的值.

過程與關鍵:①當直線的斜率不存在時，易知/：x=0,與圓的方程聯(lián)立，求出交點48的坐標，檢驗|A8|是否符合.

關鍵

②當直線的斜率存在時,設/的方程為y=kx+3,與圓的方程聯(lián)立，利用d守(等尸求得直線/的斜率.

解析,當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,由｛：2；)2_2六2”2。解喉％或

x=0,

=1+73,

所以|厶8|=2通,符合題意.

當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為片kx+3,

由已知可得圓的標準方程為(xl)2+(y1)2=4,其圓心為C(l,l),半徑42,

所以圓心C到直線kxy+3=0的距離公與筍=粵.

J/+1y/k2+l

因為d2r2(—)2,

所以答=4(竽產(chǎn),即(k+2-2+l,解得k=J

所以直線/的方程為片3+3,即3x+4y12=0.

綜上，滿足題意的直線/的方程為x=0或3x+4y12=0.故選D.

答案〉D

自拓展變式±[2019惠州市高三調(diào)研]過點厶(3,5)作圓。4+/2x4y+l=0的切線，則切線的

方程為.

1.C解方程組：得｛；：：：即直線/i,/2的交點為(1,1).因為直線/的一個方向向量

%(3,2),所以直線/的斜率k=糸則直線/的方程為yl=|(xl),即2x+3y5=0.故選C.

2.D直線AP的斜率幻=朕=2,直線BP的斜率卜2號=)設直線/與線段AB交于點M,當直線

/的傾斜角為銳角時，隨著M從點A向點8移動的過程中，/的傾斜角變大，/的斜率也變大，此時

/的斜率*2；當直線/的傾斜角為鈍角時，隨著/的傾斜角變大，/的斜率從負無窮增大到直線

BP的斜率，此時/的斜率k<|；直線PM平行于y軸時，斜率不存在.綜上所述，直線/的斜率的

取值范圍為(8,|]U[2,+8).故選D.

3.D易知線段BC的中點坐標為(：,1),線段BC所在直線的斜率kBc=y巖『2,則線段BC的垂

直平分線的方程為yl=T(x+3,即2x+4y3=0.因為AB=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都

在線段BC的垂直平分線上，即AABC的歐拉線方程為2x+4y3=0.故選D.

4.A不妨設Pi(xi,lnXi),P2(X2,InX2),P(xp,%),由于/i丄6,所以丄x(—)=1,則Xi」.又切線h：yIn

比1%2%2

X1=丄(XXi),/：y+lnx=—(xx),于是4(0,InXil),8(0,l+lnXi),所以\AB\=2.由

22X22

(y-lnxi=畳3打)，2_121

qi解得Xp='—r，所以5ARA8=；X2XXP=-----r,因為Xi>l,所以XiH—>2,所以

y+Inx2=--(%-x2),肛下24七肛

5AMB的取值范圍是(0,1),故選A.

5.C解法一如圖D911,設圓化+1尸+()/5尸=2的圓心為C,則C(l,5),則點C不在直線片x上,

要滿足/1丿2關于直線片X對稱，則PC必然垂直于直線片X,所以線段PC所在直線的斜率kpc=l,

則線段PC所在的直線/:y5=x+l,即y=x+6,與片x聯(lián)立，得P(3,3).

所以|PC|=J(-1+3)2+(5-3)2=2変，設/APC=a，貝iJ/AP8=2a,在中,sina=^=半=丄,

故a=30°,所以ZAP8=2a=60°.故選C.

圖D911

解法二如圖D911,設圓(x+l)2+(y5尸=2的圓心為C,則C(1,5),則點C不在直線y=x上，要滿

足厶厶關于直線片x對稱，則PC必然垂直于直線*X,所以|PC|=^^=2或,易知圓的半徑

r=&,sinNAPC={^}=:，貝lJ/APC=30°,所以NAPB=60°.故選C.

6.3x2y=0或xy+l=0當直線過原點時,直線的斜率為k=|^=±此時直線方程為y=：x,即3x

2-022

2y=0.當直線不過原點時，設直線方程為三+丄=1,把(2,3)代入可得a=1,此時直線方程為xy+l=0.

Q-fl

故填3x2y=0或xy+l=0.

7.612由M+2〃)x+8/u)y4A8〃=0,得A(x+y4)+〃(2xy8)=0,則g二:'解得{；=所以直

線6+2〃)x+an)y4A8〃=0經(jīng)過定點/W(4,0),若|AB|取最小值，則OM丄厶8,此時

|AB|=2,52-42=6.

解法一設A(4,3),B(4,3),。*/),由|4：|=2|8(?|,可得丿84)2+(y-3/=2J(x-4/+(y+3產(chǎn)

化簡得點C的軌跡方程為仇4y+3+5)2=16,則點C的軌跡是圓心為(4,5),半徑為4的圓,易知圓

心(4,5)在直線厶8上，因而C點到直線AB的最大距離為4,故△ABC面積的最大值為，6x4=12.

解法二設|BC\=x,則\AC\=2x,在AABC中，由余弦定理知36=x2+(2x)22x-2xcosZACB,得

x2,’36從而5AA8c=*2x-sin叱累=9x筈吆竺，其中筈吆竺可以看成單位圓

5-4C0S厶CB25-4cos〃CB--cos^ACB-cos^ACB

上的點(cosZ4CB,sin/ACB)與點(*0)的連線所在直線的斜率，易知當過點(1,0)的直線與單位

圓在第一象限相切時，斜率取得最小值，可求得斜率的最小值為，所以AABC面積的最大值為

9x(#12.

、X2X2

8.⑴設A(X1,%),8(X2%),則X逐X2,yi=才,以=學XI+X2=4,

于是直線AB的斜率依口=中=1.

Xi-X24

⑵由y=q,得y,q設/W(X3,V3),由題設及⑴知￡=1,

解得X3=2,于是

設直線A8的方程為y=x+m,則線段A8的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+l|.

r2

將y=x+m代入得x24x4m=0.

4=16(m+l)>0,則m>1,

解得Xi=2+2Vm+1,X2=22y/m+1.

從而IA81=夜|xiX2I=4j2(?n+1).

由題設知|ABI=21MNI,即4J2m+l)=2(m+l),解得m=7.

所以直線AB的方程為y=x+7.

1.(1)①當直線/在x軸,y軸上的截距均為0時，直線/的斜率為k=T，

所以直線/的方程為y=$,化為一般方程為x2片0.

②當直線/在x軸,y軸上的截距均不為0時,設直線/的方程為:+勺1,將(2,1)代入，得彳+

解得t=3,

此時直線/的一般方程為x+y3=0.

綜上，直線/的一般方程為x2y=0或x+y3=0.

⑵由題意得，直線/的方程為x+y3=0,則a+b=3.

所以30+3篤243a.3b=2V3a+U,當且僅當a=b=|時等號成立.

所以3。+3b的最小值為6V3.

2.⑴解法一直線/的方程可化為片、+3,可知/的斜率為*

因為「與/平行，所以直線的斜率為1

又/‘過點（1,3）,所以由點斜式得直線廠的方程為y3=*（x+l）,即3x+4y9=0.

解法二由/，與/平行，可設廠的方程為3x+4y+m=0（mw12）,

將（1,3）代入，得m=9,

于是所求直線方程為3x+4y9=0.

⑵解法一直線/的方程可化為y=>+3,可知/的斜率為

因為尸與/垂直，所以直線/，的斜率為《

又尸過點（1,3）,所以由點斜式得直線方程為y3=g（x+l）,

即4x3y+13=0.

解法二由/'與/垂直，可設/'的方程為4x3y+n=0,

將（1,3）代入，得n=13,

于是所求直線方程為4x3y+13=0.

⑶解法一直線/的方程可化為y=3+3,可知/的斜率為

因為/」/,所以直線廠的斜率為:

設廠在y軸上的截距為b,則直線/，的方程為y=%+b/在x軸上的截距為京,

由題意可知丿'與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=/|b||予|=4,解得匕=畔.

所以直線/'的方程為片3+竽或y=%竽，

即4x3y+4遅=0或4x3y4布=0.

解法二由/與/垂直，可設直線廠的方程為4x3y+p=0,

則/在x軸上的截距為金在y軸上的截距為今

由題意可知丿'與兩坐標軸圍成的三角形的面積5=邦卜|纟=4,求得p=±4詬

所以直線廠的方程為4x3y+4V6=0或4x3y4布=0.

3.(1)C過點C作直線/,使/“AB,則點P在直線/上.由題意易知,A(b,0),B(0,1),則|AB|=2,所

以點C到