初等數(shù)論100題答案

初等數(shù)論100題答案初等數(shù)論是數(shù)學(xué)的一部分，主要研究自然數(shù)的整除性質(zhì)和數(shù)的算術(shù)性質(zhì)。在這個(gè)領(lǐng)域中，對(duì)數(shù)的分解和約數(shù)的性質(zhì)研究是重要的。初等數(shù)論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也占有一定的重要性。下面，我們將提供初等數(shù)論100題的答案，希望對(duì)您的學(xué)習(xí)和研究有所幫助。1.實(shí)數(shù)a、b不能同時(shí)為有理數(shù)，則a-b一定是無(wú)理數(shù)。證明：假設(shè)a-b為有理數(shù)，那么a-b可以表示為兩個(gè)整數(shù)之商，即a-b=m/n(m,n互質(zhì))。則a=b+m/n，這就說(shuō)明了a是一個(gè)有理數(shù)，與已知矛盾。2.設(shè)p為素?cái)?shù)，則p能整除C(p,k)中的所有整數(shù)k(其中，C為組合數(shù))。證明：由組合數(shù)的計(jì)算公式：C(p,k)=p!/k!(p-k)!，顯然分母中不存在素?cái)?shù)p，因此，p只可能整除分子p!中的素因子，既然k!肯定包含比p小的素因子，所以p只能整除p!中含有的素因子，因此一定能整除C(p,k)。3.說(shuō)明在1~2014中至少存在一個(gè)完全平方數(shù)。證明：個(gè)位數(shù)只能為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，十位數(shù)只能為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。由此可推知：402<2014<452，故472=2209>2014，證畢。4.判斷在所有正整數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)是否恰好是9288次。答案是肯定的。我們可以這樣計(jì)算：(1)先確定出所有兩位數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)，即一定有一個(gè)1的個(gè)數(shù)。如果百位為1，十位上任取1～9的九種情況，個(gè)位可以任意取0～9的十種情況，一共有90種；如果十位為1，百位上取1，個(gè)位上任選0～9九種情況，一共有10種；如果個(gè)位為1，百、十位上任選0～9的十種情況，一共有100種。所以兩位數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)是90+10+100=200次。(2)再確定出所有三位數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)。如果百位上不為1，則先選百位1，然后十位個(gè)位任意，一共有900種情況；如果百位上為1，則百位上任選1，個(gè)位十位各有10種情況，所以有110種。所以三位數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)是900+110=1010次。(3)以此類推，得到所有四位數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)為10100次；所有五位數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)為101000次；所有六位數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)為1010000次，然后加起來(lái)得到1出現(xiàn)的次數(shù)為101+1010+10100+101000+1010000+10100000+101000000=1111111>9288。5.證明任一大于1的合數(shù)都有至少兩個(gè)質(zhì)因數(shù)。證明：設(shè)一個(gè)數(shù)n不是質(zhì)數(shù)，在1<n/m<n的基礎(chǔ)上，可以有以下兩種情況：(1)n有一個(gè)質(zhì)因數(shù)p，則n=pq，其中q≠1，因?yàn)閜比n的平方根小，則q大于n的平方根，因此q=c·d，其中c≥p，d≥1，這樣，n=pq=pd·c，pd和c都是大于1的因數(shù)，這個(gè)合數(shù)就有至少兩個(gè)質(zhì)因數(shù)。(2)n沒(méi)有質(zhì)因數(shù)p，則n=p1·p2·...·pk。此時(shí)，我們可以取88p1·p2·..·pk，則有88<n"<n，88是一個(gè)常數(shù)。由于n"是n的真因子，而n沒(méi)有質(zhì)因子p，所以n'不可能只有一個(gè)質(zhì)因子，必有至少兩個(gè)質(zhì)因子。6.已知10000=33×12+4，問(wèn)如何求出整數(shù)x，使得x被33整除，且商是12，余數(shù)是4。解答：由已知可得：10000-4=9996=12×833。那么符合要求的整數(shù)x就只需在833的基礎(chǔ)上加上33即可，即符合要求的x=833+33=866。7.已知正整數(shù)n，有n2+5n+7是素?cái)?shù)，那么n最小值為多少？解答：當(dāng)n=1時(shí)，n2+5n+7=13。當(dāng)n=2時(shí)，n2+5n+7=19。當(dāng)n=3時(shí)，n2+5n+7=31。我們可以猜測(cè)：當(dāng)n≥4時(shí)，n2+5n+7一定是偶數(shù)，因?yàn)閚2和5n是偶數(shù)，而偶數(shù)加上7就必定是奇數(shù)。而奇數(shù)又不能是偶數(shù)，所以n2+5n+7就必定不是素?cái)?shù)，因此n的最小值是3。8.判斷10200可以否被1999整除。解答：考慮用短除法，首先得到10200÷1999=5······101。因此，10200=1999×5+101，因此10200不能被1999整除。9.在1~1000中，有多少個(gè)整數(shù)可以表示為n(n+1)(n+2)的形式？解答：k(k+1)(k+2)的因式必含有2，3，因此，只需判斷k(k+1)(k+2)是否還含有素因子大于3的整數(shù)即可。得出結(jié)論：k(k+1)(k+2)不含有大于3