初中數(shù)學120大招-100 面積比例問題

面積比例問題一、方法突破除了三角形、四邊形面積計算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結論，對面積比例的分析，往往比求面積要復雜得多，這也算是面積問題中最難的一類．大部分題目的處理方法可以總結為兩種：（1）計算；（2）轉化．策略一：運用比例計算類策略二：轉化面積比如圖，B、D、C三點共線，考慮△ABD和△ACD面積之比．轉化為底：共高，面積之比化為底邊之比：則．更一般地，對于共邊的兩三角形△ABD和△ACD，連接BC，與AD交于點E，則．策略三：進階版轉化在有些問題中，高或底邊并不容易表示，所以還需在此基礎上進一步轉化為其他線段比值，比如常見有：“A”字型線段比、“8”字型線段比．“A”字型線段比：．“8”字型線段比：．轉化為垂線：共底，面積之比化為高之比：．面積能算那就算，算不出來就轉換；底邊不行就作高，還有垂線和平行．二、典例精析例一：已知，如圖，拋物線的頂點為，經(jīng)過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．（2）在拋物線上、兩點之間的部分（不包含、兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設頂點式，代入A點坐標，可得解析式為：．當x=3時，y=5，故點B坐標為（3,5），∴直線AB的解析式為：y=2x-1．（2）鉛垂法表示△ACD的面積：設點D坐標為，過點D作DP⊥x軸交AB于P點，則P點坐標為，線段DP=-m2+9，，面積公式表示△MCD的面積：過點D作DQ⊥MC交MC于點Q，則DQ=1-m，，解得：m=5或-1．考慮D點在A、M之間的拋物線上，故m=-1．D點坐標為（-1,5）．例二：如圖拋物線經(jīng)過點，點，且．（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為兩部分，求點的坐標．【分析】（1）解析式為，對稱軸為直線x=1．（2）連接CP，可將四邊形CBPA分為△CAP和△CBP．即或．考慮△CAP和△CBP共底邊CP，記CP與x軸交于點M，則①AM：BM=5：3，點M坐標為，根據(jù)C、M坐標求解直線CM解析式：，聯(lián)立方程：，解得：（舍），．故P點坐標為（4，-5）．②AM：BM=3：5，點M坐標為，根據(jù)C、M坐標求解直線CM解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：（舍），．故P點坐標為（8，-45）．例三：如圖，拋物線與軸交于點和點（點在原點的左側，點在原點的右側），與軸交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．（2）如圖，連接，點是直線上方拋物線上的點，連接，．交于點，當時，求點的坐標．【分析】（1）解析式：（2）顯然△COF和△CDF共高，可將面積之比化為底邊之比．，思路1：轉化底邊之比為“A”字型線段比在y軸上取點E（0，5），（為何是這個點？因此此時OC：CE=3：2）過點E作BC的平行線交x軸于G點，EG與拋物線交點即為所求D點，根據(jù)平行線分線段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．直線EG解析式為：y=-x+5，與拋物線聯(lián)立方程，得：，解得：，．故D點坐標為（1，4）或（2，3）．思路2：轉化底邊之比為“8”字型線段比過點D作DG∥y軸交BC邊于點G，則，又OC=3，故點G滿足DG=2即可．這個問題設D點坐標即可求解．也可以構造水平“8”字，過點D作DG∥x軸交BC于點G，則，又OB=3，∴DG=2即可．但此處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議．其實本題分析點的位置也能解：思路3：設點D坐標為，根據(jù)OF：DF=3：2，可得F點坐標為，點F在直線BC上，將點坐標代入直線BC解析式：y=-x+3，，解得，，故D點坐標為（1，4）或（2，3）．這個計算的方法要求能理解比例與點坐標之間的關系，即由D點坐標如何得到F點坐標．三、中考真題對決1．（2021?百色）已知為坐標原點，直線與軸、軸分別交于、兩點，點關于直線的對稱點是點，連接交軸于點．（1）求證：；（2）求經(jīng)過、、三點的拋物線的函數(shù)表達式；（3）當時，拋物線上是否存在點，使？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）證明：與軸、軸分別交于、兩點，，，由對稱得，，四邊形是矩形，，，，；（2）解：設，由對稱可得，，，，在中，，，，，，設經(jīng)過、、三點的拋物線的函數(shù)表達式為：，把，，，代入得：，解得：．經(jīng)過，，三點的拋物線的函數(shù)表達式為：；（3）解：存在，過點作軸于，，，，，設中邊上的高為，，，，，，，點的縱坐標為0或4，①時，，解得：，；②時，，解得：，（舍去），存在，點的坐標為，或，或，．2．（2021?牡丹江）拋物線經(jīng)過點和點．（1）求此拋物線所對應的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點的坐標；（2）若過頂點的直線將的面積分為兩部分，并與軸交于點，則點的坐標為．注：拋物線的頂點坐標解：（1）把點和點代入得：，解得：，，，頂點．（2）取線段的三等分點、，連接、交軸于點、，則：，，點，點，，，軸于點，，設直線的解析式為：，把點，代入，得：，解得：，直線的表達式為：，當時，，，．故答案為：，，．3．（2021?徐州）如圖，點、在的圖象上．已知、的橫坐標分別為、4，直線與軸交于點，連接、．（1）求直線的函數(shù)表達式；（2）求的面積；（3）若函數(shù)的圖象上存在點，使的面積等于的面積的一半，則這樣的點共有個．解：（1）點、在的圖象上，、的橫坐標分別為、4，，，設直線的解析式為，，解得，直線為；（2）在中，令，則，的坐標為，，．（3）過的中點，作的平行線交拋物線兩個交點、，此時△的面積和△的面積等于的面積的一半，作直線關于直線的對稱直線，交拋物線兩個交點、，此時△的面積和△的面積等于的面積的一半，所以這樣的點共有4個，故答案為4．4．（2021?黑龍江）已知拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點，為第二象限內拋物線上一點．（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；（2）如圖，連接，，，．交于點，當時，求出點的坐標．解：（1）將點和點代入函數(shù)解析式，可得，解得：，，又，拋物線的頂點坐標為；（2）如圖，過點作軸，由，當時，，點坐標為，設直線的解析式為，將，代入，可得：，解得：，直線的解析式為，，，，又軸，，，，解得：，在中，當時，，點坐標為．5．（2021?貴港）如圖，已知拋物線與軸相交于，兩點，與軸相交于點，對稱軸是直線，連接．（1）求該拋物線的表達式；（2）若過點的直線與拋物線相交于另一點，當時，求直線的表達式；（3）在（2）的條件下，當點在軸下方時，連接，此時在軸左側的拋物線上存在點，使．請直接寫出所有符合條件的點的坐標．解：（1）拋物線的對稱軸為，，，點的坐標為，，拋物線的解析式為，點在拋物線上，，，，拋物線的解析式為；（2）Ⅰ、當點在軸上方時，如圖1，記與的交點為點，，，直線垂直平分，點在直線上，點，，直線的解析式為，當時，，點，點點關于對稱，