專題2.6 欲證不等恒成立差值函數(shù)求值域（解析版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

【題型綜述】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的策略：構(gòu)造差函數(shù)．根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式．具體做法如下：首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍，也可以分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．證明，時，可以構(gòu)造函數(shù)，如果，則在上是減函數(shù)，同時若，由減函數(shù)的定義可知，當(dāng)時，有，即證明．【典例指引】例1．已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).(1)設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，設(shè)，為函數(shù)圖象上不同的兩點，且滿足，設(shè)線段中點的橫坐標(biāo)為證明：.【思路引導(dǎo)】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得增區(qū)間，得減區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明令，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明即可.(2)法一：，故在定義域上單調(diào)遞增.只需證：，即證(*)注意到不妨設(shè).令，則，從而在上單減，故，即得(*)式.學(xué)&科網(wǎng)法二：(2)故在定義域上單調(diào)遞增.注意到且故，且等號僅在處取到.所以與圖象關(guān)系如下：取，則顯然有,從而，另外由三次函數(shù)的中心對稱性可知，則有.學(xué)&科網(wǎng)點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想及不等式證明問題.屬于難題.分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點.充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.例2．已知定義域為的函數(shù)存在兩個零點．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：．【思路引導(dǎo)】（1）分離參數(shù)得，借助函數(shù)的圖象進(jìn)行求解；（2）由于，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，，故只需證明即可．由題知且，不妨設(shè)，則，構(gòu)造，只需證明即可，利用導(dǎo)數(shù)的知識可求解．又，學(xué)&科網(wǎng)∴，又，∴，即，∴，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，得證．學(xué)&科網(wǎng)點評：解答時注意以下兩點：（1）涉及已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的問題，可通過分析所給函數(shù)的特點采用分離參數(shù)的方法利用數(shù)形結(jié)合求解．（2）比較大小時，可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的大小關(guān)系處理，在解題中多次構(gòu)造函數(shù)處理問題．例3．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，證明：且．【思路引導(dǎo)】（1）求導(dǎo)，令和，求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間（2）構(gòu)造函數(shù)令，求導(dǎo)后分類討論，利用單調(diào)性證明．點評：關(guān)于含參量恒成立問題有兩種方法，分離含參量和帶參量計算，本題構(gòu)造新函數(shù)，帶有參量一起求導(dǎo)，判定新函數(shù)的單調(diào)性，求得最大值時恒小于或等于零，即可證得結(jié)論．【新題展示】1．【2019福建三明期末】已知函數(shù).（1）求證：；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)令，求出函數(shù)的最大值即可；(2)不等式恒成立，即恒成立，令，研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可.【解析】（2）因為不等式恒成立，即恒成立，令，則，令，則.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故只需，即，令，單調(diào)性與（1）中一致，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，即.2．【2019陜西渭南質(zhì)檢】已知函數(shù)為常數(shù)的圖象與y軸交于點A，曲線在點A處的切線斜率為．（1）求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，證明：當(dāng)時，恒成立．【思路引導(dǎo)】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在切點處切線的斜率可得a＝3，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號可得單調(diào)區(qū)間；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為ex﹣x2﹣1＞0，然后構(gòu)造函數(shù)h（x）＝ex﹣x2﹣1（x＞0），通過兩次求導(dǎo)可證不等式．【解析】(2)證明：當(dāng)時，，令，則，，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時，．3．【2019北京豐臺區(qū)上學(xué)期期末】已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時，．【思路引導(dǎo)】（1）先求得點的坐標(biāo)，和切線的斜率，利用點斜式求出切線方程;（2）先證明，利用單調(diào)性求出f(x)的最小值；再證明，構(gòu)造新函數(shù)構(gòu)造函數(shù)，判斷出單調(diào)性求最值得證.【解析】證明：2先證明，，是增函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，，，遞減，即，遞減，，，當(dāng)時，．4．【2019廣東東莞上學(xué)期期末調(diào)研】已知函數(shù)，（且為常數(shù)）.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）若對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）當(dāng)時，先求得函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求得最小值.（2）構(gòu)造函數(shù)，將原不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為來求解.利用的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求得的最小值，令這個最小大于或等于零，求得的取值范圍.【解析】（2）令那么，對于任意都有，只須即可，，且記由已知，所以對于任意，都有恒成立，又因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，，由，解得，所以，當(dāng)時，對任意都有成立.5．【2019北京房山區(qū)上學(xué)期期末】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）,列出極值表即可求解;（2）,令，,討論三種情況時g(x)的單調(diào)性，求得最小值即可解決.【解析】（1）的定義域是,,由解得,與在區(qū)間上的情況如下:0增極大減所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.②當(dāng)時，令，則，，令，則，，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值,由即解得.6．【2019湖北四地七校聯(lián)考】已知,設(shè),且,記;（1）設(shè),其中,試求的單調(diào)區(qū)間;（2）試判斷弦的斜率與的大小關(guān)系,并證明;（3）證明：當(dāng)時,.【思路引導(dǎo)】（1）（），對其求導(dǎo)，討論的范圍即可判斷的單調(diào)區(qū)間；（2），,二者作差，，令，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)可判斷的單調(diào)性，從而可得到，即可判斷；（3）當(dāng)時，原不等式等價于，由（2）知，即證，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)可判斷它的單調(diào)性進(jìn)而得到，從而證明了結(jié)論?！窘馕觥浚?），,則，令，則，令，，而，則在單調(diào)遞增，且恒為正，又因為，所以，即.（3）當(dāng)時，原不等式等價于，由（2）知，即證，轉(zhuǎn)化為.令，，令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞增，則，故時，成立，即當(dāng)時,.【同步訓(xùn)練】1．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax2+x+1．（I）a=﹣2時，求函數(shù)f（x）的極值點；（Ⅱ）當(dāng)a=0時，證明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．【思路引導(dǎo)】（1）求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性求極值點；（2）當(dāng)a=0時構(gòu)造函數(shù)F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要證明F（x）≥=0即可．（Ⅱ）證明：當(dāng)a=0時，f（x）=lnx+x+1令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），則F′（x）=?（xex﹣1），令G（x）=xex﹣1，則G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），∴函數(shù)G（x）在（0，+∞）遞增，又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，且F（x）在（0，c）上單調(diào)遞減，在（c，+∞）上單調(diào)遞增，故F（x）≥F（c）=c?ec﹣lnc﹣c﹣1，由G（c）=0，得c?ec﹣1=0，得lnc+c=0，∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，從而證得xex≥f（x）．學(xué)&科網(wǎng)點評：在本題（Ⅱ）的解答中，為了求F（x）的最小值，通過求導(dǎo)得到F′（x）=?（xex﹣1），不容易判斷F（x）的單調(diào)性，故構(gòu)造G（x）=xex﹣1，采用二次求導(dǎo)的方法，在求G（x）零點的過程中遇到了零點不可求的問題，此類問題的解法是利用G（x）的單調(diào)性和零點存在定理，判斷零點所在的范圍，然后理通過整體代換的方法求函數(shù)F（x）的最值，這是解決函數(shù)綜合問題中常用的一種方法．2．已知函數(shù)與．（1）若曲線與直線恰好相切于點，求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得,即得實數(shù)的值；（2）利用分參法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題（x>1）最大值,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：單調(diào)遞減，最后根據(jù)洛必達(dá)法則求最大值，即得實數(shù)的取值范圍(3)先根據(jù)和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項的關(guān)系：，再利用；（2）的結(jié)論，令，則代入放縮得證（3）不妨設(shè)為前項和，則要證原不等式，只需證而由（2）知：當(dāng)時恒有即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號取，則即即即成立，從而原不等式獲證．學(xué)&科網(wǎng)點評：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決．但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法．3．已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；(3)設(shè)為正實數(shù)，且，求證：．【思路引導(dǎo)】（1）求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得代入可得，可得切線的斜率和切點，進(jìn)而得到切線的方程；（2）由函數(shù)在上為增函數(shù)，可得恒成立，既有，當(dāng)時，，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到范圍；（3）運(yùn)用分析法證明，要證，只需證，即證，設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)遞增，即可得證．時，有最小值，所以的取值范圍是（3）要證，只需證，即證只需證設(shè)，由（2）知在上是單調(diào)函數(shù)，又，所以，即成立，所以．學(xué)&科網(wǎng)點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，屬于難題．求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程．4．已知函數(shù)，（為常數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）證明：當(dāng)且時，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方．【思路引導(dǎo)】函數(shù)的圖象恒在的圖象上方．點評：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與分類討論思想思想方法，是中檔題；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；，則在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．5．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：．【思路引導(dǎo)】（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點斜式且切線方程，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)零點可得列表分析可得為最小值，而，所以得證令得所以；所以所以當(dāng)點評：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù)．根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式．（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)．6．設(shè)函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)，且時證明不等式：【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）代入時，求得，求得切線的斜率，即可求解切線的方程；（Ⅱ）求得的表達(dá)式，分和和三種情況分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）先由時,證得，再取得，進(jìn)而可證明上述不等式．（Ⅲ）證明：當(dāng)-1時,，令，則在上恒正，所以，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒有，即當(dāng)時，，對任意正整數(shù)，取得，所以，===點評：本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某點的切線方程的求解、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等關(guān)系的證明等知識點的綜合考查，試題有一定的難度，屬于中檔試題，其中解得中對導(dǎo)數(shù)的合理分類討論和根據(jù)題設(shè)合理變換和換元是解答的難點．7．設(shè)函數(shù)，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)，時，求證：．【思路引導(dǎo)】（1）本問考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，首先確定函數(shù)的定義域為，對求導(dǎo)數(shù)，解得增區(qū)間，解得減區(qū)間；（2）本問考查利有導(dǎo)數(shù)證明不等式，當(dāng)時，只需證：，即轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明在時恒成立即可，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．點評：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法：證明，時，可以構(gòu)造函數(shù)，如果，則在上是減函數(shù)，同時若，由減函數(shù)的定義可知，當(dāng)時，有，即證明．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的策略：首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍，也可以分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．