2023-2024學(xué)年河北省唐山市路北區(qū)九年級（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年河北省唐山市路北區(qū)九年級第一學(xué)期第一次段考

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題有14個(gè)小題，每題2分,共28分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.下列方程中，屬于一元二次方程是（）

A.2x2-y-1=0B.x2=l

C.x2-x（x+7）=0D.ax2+5x=3

2.拋物線y=2（x+9）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（)

A.（9,3）B.（9,-3）C.(-9,3)D.(-9,-3)

3.關(guān)于x的一元二次方程加小+5工+“2-2m=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則相的值為（）

A.1B.2C.0或2D.0

4.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化成一般形式，正確的是()

A.x2+x-5=0B.x2-5x-5=0C.x2+x-7=0D.x2-5x+6=0

5.若將拋物線y=2x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式為()

A.y=2N+3B.y=2x2-3C.y=2(x-3)2D.y=2(x+3)2

6.一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化為()

A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=5

7.二次函數(shù)），=〃/+云+c（〃/0）圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)（無，y）對應(yīng)值列表如下:

x…-3-2-101…

y-3-2-3-6-11

則該函數(shù)圖象的對稱軸是（）

A.直線x=-3B.直線x=-2C.直線x=-1D.直線x=0

8.某商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從I月份到3月份,

該店銷售額平均每月的增長率是（）

A.20%B.25%C.50%D.62.5%

9.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a—h）2"WO）的圖象可能是（)

10.判斷下列哪一組的4、b、c,可使二次函數(shù)y=cvc2+bx+c-5x2-3x+7在坐標(biāo)平面上的圖

形有最低點(diǎn)？（）

A.a=0,b=4tc=8B.〃=2,b=4,c=-8

C.〃=4,h=-4,c=8D.〃=6,b=-4,c=-8

11.關(guān)于x的方程N(yùn)+bx+c=0的兩根為1和-2,則。，。的值分別為（）

A.b=1,c=-2B.b=-1,c=-2C.b=3,c=2D.b=-3,c=2

12.形狀與拋物線y=-N-2相同，對稱軸是直線冗=-2,且過點(diǎn)（0,3）的拋物線是（）

A.y=x2+4x+3

B.y=-x2-4x+3

C.y=~x2+4x+3

D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3

13.已知二次函數(shù)y="2+法+c（q關(guān)o）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=-l,下列結(jié)論：

①HcVO；②24+8=0；③a-b+c>0；@4a-2b+c<0

一］W^

A.1B.C.D.

~2~~2~

二、填空題(本大題有4個(gè)小題，每小題3分，共12分)

15.x=l是關(guān)于x的一元二次方程/+必+2力=0的解，則2〃+46=.

16.已知點(diǎn)A(xi,yi),8(孫>,2)在拋物線y=N-3上，且OVxiVxz,則yiyi.

(填“V”或“>"或"=")

17.連續(xù)兩個(gè)整數(shù)的乘積為12,則這兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)是.

18.已知關(guān)于x的二次函數(shù)丫=曜2-2%+1,當(dāng)時(shí)，y的值隨x的增大而減小，則，"的

5

取值范圍為.

三、解答題(本大題有8道小題，共60分)

19.(1)解方程：JC2-6x-4=0；

(2)解方程：3N+1=4X.

20.已知拋物線的頂點(diǎn)為(2,4),圖象過點(diǎn)(1,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷點(diǎn)P(3,2)是否在拋物線上，請說明理由.

21.關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-3x+%=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程(S-1)N+x+機(jī)-3=0與方程X2

-3x+k=0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值.

22.如圖，函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(0,3),C(1,4).

(1)求。，c的值，并直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在圖中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；(不必列表)

(3)當(dāng)0WxW3時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍.

23.點(diǎn)P（a,3）在拋物線C：y=4-（6-x）2±,且在C的對稱軸右側(cè).

（1）寫出C的對稱軸和y的最大值；

（2）求a的值，并求出點(diǎn)P到對稱軸的距離.

24.定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成足+按為整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.

例如：5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?=P+22,所以5是“完美數(shù)”.

嘗試：已知13是“完美數(shù)”，請將它寫成〃2+乒（4”是正整數(shù)）的形式；

探究：請將/-4x+5表示成“完美數(shù)”的形式，并求出其最小值；

應(yīng)用：己知S=x2+4x+y2-12y+Z（x,y是整數(shù)，％是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，求女

的值，并說明理由.

25.如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個(gè)矩形羊

圈ABC。，并在邊BC上留一個(gè)2根寬的門（建在EF處，另用其他材料）.

（1）當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640//的羊圈？

（2）羊圈的面積能達(dá)到650〃嗎？如果能，請你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請說明理由.

IAlTD_1

BEFC

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=/-2ar+3a,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（xo,yo）.

（1）若函數(shù)圖象關(guān)于直線x=l對稱，求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求”的最大值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為最小值的3倍，若存在,

求出①若不存在，請說明理由.

?y

4-

3-

2-

1.

-4-3-2-101234x

—1■

-2-

-3-

-4-

參考答案

一、選擇題(本大題有14個(gè)小題，每題2分，共28分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.下列方程中，屬于一元二次方程是()

A.2x2-y-1—0B.N=i

C.x2-x(JC+7)=0D.ax2+5x=3

【分析】直接根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可.

解：4、2x2-y-1=0,含有兩個(gè)未知數(shù)，不屬于一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、/=1,屬于一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；

C、X2-X(X+7)=0,整理可得-7x=0,是一元一次方程，故該選項(xiàng)符合題意；

D、以2+5%=3,當(dāng)”=0時(shí)不屬于一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)

是2次的整式方程是一元二次方程.

2.拋物線y=2(x+9)2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(9,3)B.(9,-3)C.(-9,3)D.(-9,-3)

【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo).

解：；y=2(x+9)2-3,

二拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,-3),

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.

3.關(guān)于x的一元二次方程值2+5才+布-2m=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則，"的值為(〉

A.1B.2C.0或2D.0

【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及方程的常數(shù)項(xiàng)為0,可得出關(guān)于m的一元一次不等式及

一元二次方程，解之即可求出機(jī)的值.

解：???關(guān)于x的一元二次方程iw^+Sx+m1-2相=0的常數(shù)項(xiàng)為0,

Jm六0

??2，

m-2m=0

解得：機(jī)=2,

：.m的值為2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的一般形式，牢記“一元二

次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”是解題的關(guān)鍵.

4.把一元二次方程（x-2）（x+3）=1化成一般形式，正確的是（）

A.x2+x-5—0B.x2-5x-5=0C.x2+x-7—0D.x1-5x+6=0

【分析】根據(jù)一元二次方程以2+^+c=0（小h,c是常數(shù)且。#0）的一般形式，a、b、

c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，可得答案.

解：（X-2）（x+3）=1,

x2+x-6=1,

N+x-7=0,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式：辦2+bx+c=0（a,b,c是常數(shù)且“WO）

特別要注意aWO的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn).在一般形式中ar?叫二

次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng).其中a,h,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)

項(xiàng).

5.若將拋物線y=2x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式為（）

A.y=2/+3B.），=2N-3C.y=2（x-3）2D.y=2（x+3）2

【分析】直接根據(jù)“上加下減、左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.

解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)y=匕2向上平移3個(gè)單位可得到函數(shù)y=

2x2+3,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減、左加右減”的原

則是解答此題的關(guān)鍵.

6.一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化為（）

A.（x+2）2=3B.（尤+2）2=5C.（x-2）2=3D.（x-2）』5

【分析】移項(xiàng)，配方，即可得出選項(xiàng).

解：x2-4x-1=0,

x2-4x=1,

x2-4x+4=l+4,

(x-2)」5,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確配方是解此題的關(guān)鍵.

7.二次函數(shù)>=公2+法+,(aWO)圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)對應(yīng)值列表如下:

直線x=0

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性確定出二次函數(shù)的對稱軸，然后解答即可.

解：；x=-3和-1時(shí)的函數(shù)值都是-3相等,

...二次函數(shù)的對稱軸為直線》=-2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，仔細(xì)觀察表格數(shù)

據(jù)確定出對稱軸是解題的關(guān)鍵.

8.某商店今年1月份的銷售額是2萬元,3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份,

該店銷售額平均每月的增長率是()

A.20%B.25%C.50%D.62.5%

【分析】設(shè)每月增長率為x,據(jù)題意可知：三月份銷售額為2(1+x)2萬元，依此等量關(guān)

系列出方程，求解即可.

解：設(shè)該店銷售額平均每月的增長率為x,則二月份銷售額為2(1+x)萬元，三月份銷

售額為2(1+X)2萬元,

由題意可得：2(1+x)2=4.5,

解得：xi=0.5=50%,x2=-2.5(不合題意舍去)，

答：該店銷售額平均每月的增長率為50%；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵在于理解清楚題目的意思，根據(jù)

條件找出等量關(guān)系，列出方程求解.本題需注意根據(jù)題意分別列出二、三月份銷售額的

代數(shù)式.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)(x-/z)2(〃W0)的圖象可能是()

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=a(x-/i)2(々WO)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,0),它的頂點(diǎn)坐標(biāo)在

x軸上，即可解答.

解：二次函數(shù)y=a(x-/?)2(〃#0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(力，0),它的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，解決本題的關(guān)鍵是明二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo).

10.判斷下列哪一組的。、b、c,可使二次函數(shù)y=ax2+bx+c-5x2-3x+7在坐標(biāo)平面上的圖

形有最低點(diǎn)？()

A.a=0,b=4,c=8B.a=2,b=4,c=-8

C.a=4,b=-4,c=8D.〃=6,b=-4,c=-8

【分析】將二次函數(shù)化為一般形式，使其二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)即可.

解：y=axL+hx+c-5x2-3x+7=(。-5)/+(b-3)x+(c+7),

若使此二次函數(shù)圖形有最低點(diǎn)，則圖形的開口向上，即N項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，

??a5，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值，理解二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

11.關(guān)于“的方程/+公+。=0的兩根為1和-2,則從。的值分別為()

A.b=l,c=-2B.b--1,c=-2C.b=3,c=2D.b=-3,c=2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答解.

解：???關(guān)于x的方程N(yùn)+云+°=0的兩根為1和-2,

???1-2=-AIX(-2)=c,

c=-2.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知處,X2是一元二次方程ar2+bx+c

=0（〃W0）的兩根時(shí)，x\+x2=-?%2=￡是解題的關(guān)鍵.

aa

12.形狀與拋物線y=-「-2相同，對稱軸是直線工=-2,且過點(diǎn)（0,3）的拋物線是（）

A.y=x2+4x+3

B.y=-x2-4x+3

C.y=-x2+4x+3

D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3

【分析】由題中給出的條件，對稱軸和與），軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以確定c的值及。與b的

關(guān)系，再從所給選項(xiàng)中判斷出選項(xiàng)即可.

解：設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為>=以2+笈+C,由拋物線過點(diǎn)（0,3）,可得：c=3,

由拋物線形狀與y=--2相同，

分為兩種情況：①開口向下，則。<0,

又；對稱軸x=-2,貝!]x=-《-=-2.貝!]〃<0,

2a

由此可得出8選項(xiàng)符合題意.

②開口向下，則”>0,

又???對稱軸x=-2,則》=-2=-2.則b>0,

2a

由此可得出A選項(xiàng)符合題意，

綜合上述，符合條件的是選項(xiàng)Q,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法，對選擇題，也可以用排除法,

這樣更簡單.

13.已知二次函數(shù)）=?2+云+c（“#（））的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=-l,下列結(jié)論:

①abc<0；②2Q+/?=0；③a-Z?+c>0；④4。-2b+c<0

其中正確的是（）

【分析】根據(jù)開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)，確定。、氏c?的符號，根據(jù)對

稱軸和圖象確定y>0或yVO時(shí)，x的范圍，確定代數(shù)式的符號.

解：???拋物線的開口向上，

.*.a>0,

2a

：.b>Of

;拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

：.c<0,

/.abc<0,①正確；

;對稱軸為直線工=-1,

，-4=-1,即2。-/?=0,②錯(cuò)誤；

2a

Vx=-1時(shí)，y<0,

：.a-b+c<0,③錯(cuò)誤；

,?”=-2時(shí)，y<0,

1?4。-26+cVO,④正確；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)

形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時(shí),要熟練運(yùn)用拋物線的對稱性和拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)

滿足拋物線的解析式.

14.設(shè)b>0,二次函數(shù)y=℃2+bx+42.-1的圖象為下列之一，則。的值為（）

-卜述n

A.1B.-1lr.，u.------------

22

【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號，然

后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

解：由圖①和②得，。=0,矛盾，...此兩圖錯(cuò)誤：

由圖③得，a<0,對稱軸為》=々>0,

2a

...“、人異號，即6>0,符合條件；

二?過原點(diǎn),由。2-1=0,得。=±1,

.\a=-1

由圖④得，4>0,對稱軸為x=W>0,

2a

b異號,BPb<Q,與己知矛盾.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

二、填空題（本大題有4個(gè)小題，每小題3分，共12分）

15.x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+2h^0的解，則2a+46=-2.

【分析】先把x=l代入方程/+如+2匕=0得a+2b=-1,然后利用整體代入的方法計(jì)算

2a+4b的值.

解：把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+〃+2/?=0,

所以a+2b--1,

所以2a+4b=2（a+2b）=2X（-1）--2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

16.已知點(diǎn)A（xi,力），B（X2,）2）在拋物線y=/-3上，且0<箝<及，則yi<丫2.

（填或或"="）

【分析】依據(jù)題意，求出拋物線y=/-3的對稱軸x=0,從而由二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)

拋物線開口向下，故當(dāng)x>0時(shí)y隨x的增大而減小，進(jìn)而判斷得解.

解：由題意得拋物線產(chǎn)/-3的對稱軸x=0,

又a=1>0,

二拋物線y=/-3開口向上.

/.當(dāng)%>0時(shí)）'隨x的增大而增大.

；?對于A、B當(dāng)0<xi<X2時(shí)，yi<yi.

故答案為：<.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)

鍵.

17.連續(xù)兩個(gè)整數(shù)的乘積為12,則這兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)是-4或3.

【分析】設(shè)這兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)是x,則較大的一個(gè)是(x+1),根據(jù)這兩個(gè)整數(shù)的

乘積為12,可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

解：設(shè)這兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)是x,則較大的一個(gè)是(x+1),

根據(jù)題意得:x(x+1)=12,

整理得：N+x-12=0,

解得：x\--4,X2—3,

這兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)是-4或3.

故答案為：-4或3.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

18.已知關(guān)于x的二次函數(shù)丫=皿2-2%+1,當(dāng)時(shí)，y的值隨x的增大而減小，則小的

取值范圍為0<"?W5.

【分析】根據(jù)對稱軸的左側(cè)的增減性，可得，根據(jù)增減性，可得對稱軸大于或等于

高，可得答案.

5

解：由當(dāng)時(shí)，y的值隨x的增大而減小可知，拋物線開口向上，m>0,

5

且對稱軸22

m5

解得mW5,

故答案為：0V/nW5.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的增減性得出拋物線的開口方向且工

m

是解題關(guān)鍵.

5

三、解答題(本大題有8道小題，共6()分)

19.(1)解方程：/-6x-4=0；

(2)解方程:3x2+\=4x.

【分析】(1)先移項(xiàng)，再把方程左邊化為完全平方式的形式，再利用直接開方法求出X

的值即可；

(2)先把方程化為一元二次方程的一般形式，再利用公式法求出x的值即可.

解：(1)移項(xiàng)得：x2-6x=4,

配方得：N-6X+9=4+9,

即(x-3)2=13,

開方得：x-3=土丘，

xi=3+\[13>x2=3；

(2)原方程可化為：3N-4X+1=0,

b=-4,c=3,

A=(-4)2-4X3X1=16-12=4,

.4±V44±2

2X36

?丫一11

??xi—1,

乙6

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和公式法是解題

的關(guān)鍵.

20.己知拋物線的頂點(diǎn)為(2,4),圖象過點(diǎn)(1,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷點(diǎn)P(3,2)是否在拋物線上，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)所給的點(diǎn)的坐標(biāo)，將二次函數(shù)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式即可.

(2)將點(diǎn)尸坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可.

解：(1)因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),

所以設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2+4,

又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),

所以a(1-2)2+4=3,

解得a=-\,

故拋物線的解析式為：y=-(x-2)2+4.

(2)點(diǎn)P不在拋物線上.

將x=3代入二次函數(shù)解析式得，

y=-(3-2)2+4=3,

因?yàn)?關(guān)2,

所以點(diǎn)P不在拋物線上.

【點(diǎn)評】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟知待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

21.關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-3x+%=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程(機(jī)-1)-3=0與方程N(yùn)

-3x+k=0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值.

【分析】(1)利用判別式的意義得到小=(-3)2-4^0,然后解不等式即可；

(2)先確定女=2,再解方程N(yùn)-3x+2=0,解得》=1,及=2,然后分別把X=1和X=2

代入一元二次方程(m-1)x^+x+m-3=0可得到滿足條件的m的值.

解：(1)根據(jù)題意得△=(-3)2-4A20,

解得人W?；

4

(2)滿足條件的女的最大整數(shù)為2,此時(shí)方程N(yùn)-3X+%=0變形為方程/-3X+2=0,解

X2=2,

當(dāng)相同的解為x=l時(shí)，把x=l代入方程(m-1)x2+x+,〃-3=0得"1-1+1+，〃-3=0,

解得〃7=微；

當(dāng)相同的解為x—2時(shí)，把x—2代入方程(，〃-1)x2+x+m-3=0得4(機(jī)-1)+2+m-3

=0,解得根=1,而/n-1W0,不符合題意，舍去，

所以m的值為趣.

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程62+桁+°=0QW0)的根與△="-4時(shí)

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

22.如圖，函數(shù)y=-/+灰+0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(0,3),C(1,4).

(1)求乩c的值，并直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在圖中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；(不必列表)

(3)當(dāng)0WxW3時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍.

B

【分析】(1)把A點(diǎn)和8點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+hx+c得關(guān)于b、c的方程組，解方程組得

到Ac的值，然后把一般式配成頂點(diǎn)式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象;

(3)利用函數(shù)圖象找出在0WxW3中y的最小值和最大值即可.

~l_b+c=0

解：(1)把4(-1,0),8(0,3)分別代入丫=-/+bx+c得

c=3

b=2

解得

c=3

拋物線解析式為y=-/+2r+3,

'."y--(x-1)2+4,

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)；

(3)當(dāng)0<xW3時(shí)，y的取值范圍為0WyW4.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：拋物線)，=〃(%-/?)2+k,a>0,拋物線開口向上,

x</z時(shí)，y隨x的增大而減小；時(shí)，y隨x的增大而增大；時(shí)，y取得最小值Z；

當(dāng)“<0時(shí)，拋物線的開口向下，時(shí)，y隨x的增大而增大；時(shí)，)，隨x的增大

而減小：x=/z時(shí)，y取得最大值上.

23.點(diǎn)尸(a,3)在拋物線C：y=4-(6-x)2±,且在C的對稱軸右側(cè).

(1)寫出C的對稱軸和y的最大值；

(2)求a的值，并求出點(diǎn)P到對稱軸的距離.

【分析】(1)先把拋物線解析式變形為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

(2)先將點(diǎn)尸(?,3)代入拋物線解析式求出滿足條件的“的值，從而得到尸點(diǎn)坐標(biāo)，

然后求出P點(diǎn)到直線x=6的距離即可.

解：(1)?.?拋物線解析式為y=4-(6-x)2,

即y=-(%-6)2-4,

拋物線的對稱軸為直線X=6,y的最大值為4；

(2)將點(diǎn)P(a,3)代入y=4-(6-x)2得-(°-6)2+4=3,

解得41=5,42=7,

：點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)，

:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,3),拋物線的對稱軸為直線x=6,

???點(diǎn)P到對稱軸的距離為1.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：拋物線y=a(x-h)2+k,a>0,拋物線開口向上，

x<hB>t,y隨x的增大而減小；x>hH'Ly隨x的增大而增大；x=〃時(shí)，y取得最小值公

當(dāng)“V0時(shí)，拋物線的開口向下，X。時(shí)，y隨x的增大而增大；x>/z時(shí)，y隨x的增大

而減小；時(shí)，y取得最大值k.

24.定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成〃+按(小匕為整數(shù))的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.

例如：5是“完美數(shù)”,理由：因?yàn)?=M+22,所以5是“完美數(shù)”.

嘗試：已知13是“完美數(shù)”，請將它寫成。2+加(小是正整數(shù))的形式13=22+32；

探究：請將/-?+5表示成“完美數(shù)”的形式，并求出其最小值；

應(yīng)用：已知S=N+4x+y2-⑵以(x,y是整數(shù)，％是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，求k

的值，并說明理由.

【分析】嘗試：根據(jù)“完美數(shù)”的概念解答；

探究：利用配方法把原式變形，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答；

應(yīng)用：利用配方法把原式變形，再根據(jù)“完美數(shù)”的概念解答.

解：嘗試：13=22+32,

故答案為：13=22+32；

探究：x2-4x+5=x2-4x+4+l=(x-2)2+12,

(x-2)220,

...(x-2)2+1>1,

.?.N-4X+5的最小值為1；

應(yīng)用：&=40時(shí)，S是一個(gè)“完美數(shù).

理由如下：s=N+4x+y2-12y+k

=x2+4x+4+y2-12y+36+k-40

=(x+2)2+(y-6)2+k-40,

Vx,y是整數(shù)，

.'.x+2,y-6也是整數(shù)，

.?.當(dāng)％-40=0,即&=40時(shí)，S是一個(gè)“完美數(shù).

【點(diǎn)評】本題考查的是配方法的應(yīng)用、“完美數(shù)”的概念，靈活運(yùn)用配方法是解題的關(guān)

鍵.

25.如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個(gè)矩形羊

圈ABCQ,并在邊BC上留一個(gè)2根寬的門(建在EF處，另用其他材料).

(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640機(jī)2的羊圈？

(2)羊圈的面積能達(dá)到650/嗎？如果能，請你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請說明理由.

IAlTD-'

EFC

【分析】(1)根據(jù)￡^=柵欄總長-2AB,再利用矩形面積公式即可求出；

(2)把S=650代入x(72-2x)中函數(shù)解析式中，解方程，取在自變量范圍內(nèi)的值即可.

解：(1)設(shè)矩形ABCD的邊則邊8c=70-2X+2=(72-2x)m.

根據(jù)題意，得x(72-2%)=640,

化簡，得x2-36x+320=0,

解得xi=16,X2—20,

當(dāng)x=16時(shí)，72-2x=72-32=40；

當(dāng)x=20時(shí)，72-2x=72-40=32.

答：當(dāng)羊圈的長為40加，寬為16機(jī)或長為32相，寬為20/n時(shí)，