2022-2023學(xué)年湖南省湘西州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南省湘西州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知a,bWR,a+已=（b+為虛數(shù)單位）,則（）

A.Q=1,b=-3B.Q=-1,b=3

C.a=-1,b=-3D.a=19b=3

2.已知萬(wàn)范為不共線的非零向量，AB=a+5b'BC=-2a+8b.CD=3a-3b>貝U（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B、。三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

3.湘西州有甲草原：龍山縣八面山空中草原，乙草原：瀘溪縣濱江大草原，暑假期間兩草原

供游客休閑旅游，記事件E="只去甲草原"，事件F="至少去一個(gè)草原"，事件G="至

多去一個(gè)草原“，事件”="不去甲草原"，事件I="一個(gè)草原也不去”.下列命題正確的

是（）

A.E與G是互斥事件B.尸與/是互斥事件，且是對(duì)立事件

C.尸與G是互斥事件D.G與I是互斥事件

4.已知向量五=（3,4）,石=（1,0），m=N+tB，若方，而勺夾角與3,而勺夾角相等，貝肚=（）

A.-6B.-5C.5D.6

5.已知a,b是兩條直線，a,￡是兩個(gè)平面，則下列四個(gè)命題正確的有（）

（T）a//P，aua=a〃伙

②a〃/?,mua,nc/?=>m//n；

③a1b,a1a0b〃a；

④a1a,ajI.,b//BnaLb.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,AB為底面直徑，AAPB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底

面圓周上，且二面角P—4C-0為45。，則（）

A.該圓錐的體積為37rB.該圓錐的側(cè)面積為44?兀

C.AC=y/~2D.△P4C的面積為2

7.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果、可以

判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）

A.平均數(shù)為2,方差為3.1B.中位數(shù)為3,方差為1.6

C.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2D.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2

8.如圖，公園里有一塊邊長(zhǎng)為4的等邊三角形草坪（記為AABC）,

圖中0E把草坪分成面積相等的兩部分，。在4B上，E在AC上，如果

要沿DE鋪設(shè)灌溉水管，則水管的最短長(zhǎng)度為（）

A.B.<7C.3D.2/3

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知i是虛數(shù)單位，若z（l+i）=簽，則（）

復(fù)數(shù)z的虛部為-2

B.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.\z-2i\=25

D.復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程/+6x+13=0的一個(gè)根

10.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，對(duì)多項(xiàng)選擇題的要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)

的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分已知某道多項(xiàng)選擇題的正確答案是ABC,且

某同學(xué)不會(huì)做該題（該同學(xué)至少選一項(xiàng)且可能全選），下列結(jié)論正確的是（）

A.該同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率瑪

B.該同學(xué)隨機(jī)至少選擇二個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是白

該同學(xué)僅隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率當(dāng)

D.該同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是2

11.某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓

臺(tái)。1。2，在軸截面4BCD中，AB=AD=BC=2cm,且CD=

2AB,下列說(shuō)法正確的有（）

A.該圓臺(tái)軸截面4BCD面積

B.而與方的夾角60。

C.該圓臺(tái)的體積為弓1cm3

D.沿著該圓臺(tái)側(cè)面，從點(diǎn)C到力D中點(diǎn)的最短距離為5sn

12.折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B

的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形40B,其中乙408=120。，。4=30C=3,點(diǎn)E在弧CD

上.()

A.07.CD=-2

B.若屈=a元+a而，則a=l

C.若WOE=30。，則加=?能+亨成

D.麗?麗的最小值為-:

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.i+i2+i3+-+i2023=.。為虛數(shù)單位)

14.“鍵盤(pán)俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大

放厥詞的一種現(xiàn)象.某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤(pán)俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽

取的50人中，有15人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)

“鍵盤(pán)俠”持反對(duì)態(tài)度的有人.

15.已知函數(shù)/'(x)=cosa)x-l(w>0)在區(qū)間［0,2兀］有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍是

16.近期，貴州榕江“村超”火爆全網(wǎng)，引起足球發(fā)燒友、旅游愛(ài)好者、社會(huì)名流等的廣泛

關(guān)注.足球最早起源于我國(guó)古代“蹴鞠”，被列為國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋

侏太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗和臣子們蹴鞠的場(chǎng)景.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、

C、D,連接這四點(diǎn)構(gòu)成三棱錐A-BCD如圖所示，頂點(diǎn)4在底面的射影落在△BCD內(nèi)，它的

體積為竽，其中△BCD和△ABC都是邊長(zhǎng)為6的正三角形，則該“鞠”的表面積為.

A

C晝(

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)平面內(nèi)三點(diǎn)4(3,-4),8(2,-3),C(4,l).

(1)求|2荏+而

(2)設(shè)向量荏與正的夾角為0,求cos。.

18.(本小題12.0分)

在A/IBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acosC+I5csEA=匕+c.

⑴求4;

(2)若a=6,△力BC的面積為9/3，求△ABC的周長(zhǎng).

19.(本小題12.0分)

某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽要完成三道題：代數(shù)，幾何，組合各一道，競(jìng)賽記分方法如下：在

規(guī)定時(shí)間內(nèi)，答對(duì)代數(shù)題、幾何題，每題均可獲得30分，答對(duì)組合題，可獲得40分，每答錯(cuò)

一題，則扣除總分中的10分(假設(shè)答題只有對(duì)與錯(cuò)兩種結(jié)果).根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)結(jié)果，小明答對(duì)代

數(shù)、幾何、組合的概率分別為今|,a,假設(shè)解答這三題結(jié)果彼此獨(dú)立，已知小明初始分為。分，

設(shè)比賽結(jié)束后，小明的總分為X,求：

(1)已知小明在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，將三題都答對(duì)的概率為有求該學(xué)生恰能答對(duì)三題中的一題的概

率；

(2)已知a=%若總分X不低于50分才能獲獎(jiǎng)，求小明獲獎(jiǎng)的概率.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面力BCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面24。_1_平

面PCD,PA1CD,CD=2,AD=3.

(1)設(shè)G、“分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證：GH〃平面PAD；

(2)求證：P4_L平面PC。；

⑶求直線4。與平面R4C所成角的余弦值.

p

21.(本小題12.0分)

2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式在北京國(guó)家體育場(chǎng)(鳥(niǎo)巢)舉行，某調(diào)研機(jī)

構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦

了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m

人，按年齡分成5組，其中第一組［20,25),第二組［25,30),第三組［30,35),第四組［35,40),

第五組［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的平均年齡；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者.

(i)若有甲(年齡38),乙(年齡40)兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，

再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率：

3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和|,第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)

與方差分別為42和1,據(jù)此估計(jì)這m人中35?45歲所有人的年齡的方差.

22.(本小題12.0分)

若函數(shù)滿足/(x)=〃％+岑)且&+x)=/(2-x)(xeR),則稱函數(shù)/(x)為“M函數(shù)”.

(1)試判斷f(x)=singx是否為“M函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)函數(shù)為“M函數(shù)”，且當(dāng)xe冷捫時(shí)，f(x)=sinx,求y=/(x)的解析式，并寫(xiě)出在

［0,：］上的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)XG［一?嬰+m(keN)時(shí)，關(guān)于x的方程/(無(wú))=a(a為常數(shù))有解，記

該方程所有解的和為S(k),求S(3).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：a+3i=(b+i)i=-1+bi,a,b&R,

a=—1,b=3,

故選:B.

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的相等求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的相等，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：?.?荏=方+5忘BC=-2a+8b，

.??不存在人使同=4亙？，

故A,B,C三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

-.?JD=BC+CD=a+5b^

AB-BD<

??.A,B、D三點(diǎn)共線，

故選項(xiàng)B正確；

???BC=-2a+8b，CD=3a-3fe.

???不存在4,使而=4比，

故B,C,。三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

■■AC=AB+BC=-a+13b<CD=3a-3h>

不存在4,使前=；(而，

故A,D,C三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

故選:B.

利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量共線定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可.

本題考查了向量共線定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：對(duì)于4事件E,G有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于氏事件F與/不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1,是互斥事件，且為對(duì)立事

件，故B正確；

對(duì)于C,事件F與G有可能同時(shí)發(fā)生，即都包括去其中一個(gè)草原，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于0,事件G與/有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念，即可判斷.

本題考查互斥事件和對(duì)立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：???五=(3,4),K=(1,0).

?-c=a+tb-(3+t,4)，

"a,下的夾角與方，E的夾角相等，

ac_be

"麗=麗’

9+3C+16_3+t

即J32+42J12+02)

解得t=5,

故選：C.

化簡(jiǎn)H=B+t另=(3+t,4＞可得贏|=看言，從而求得?

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：對(duì)①，?.?/〃/?,aua,Q〃/?,.?.①正確；

對(duì)②，???a〃S，mua,幾(=6，?,,根〃九或m與九異面，.?.②錯(cuò)誤；

對(duì)③，??,QJLb,Q_La,???b〃a或bua,二③錯(cuò)誤；

對(duì)④，??,a_La,a〃￡,??.Q_L/?,又b〃￡,??.QJLb,.?.④正確.

故選：B.

根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系，逐一判斷即可得解.

本題考查空間中直線、平面的位置關(guān)系，考查空間想象力，邏輯推理，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解:根據(jù)題意，圓錐的頂點(diǎn)為P，且乙4PB=120。,P

PA=2,

所以乙4Po=60°,

則圓錐的高。P=L母線。4=OB=C，

對(duì)于4,圓錐的體積V=3S九=gx兀x(U)2x1=兀,

4錯(cuò)誤；

對(duì)于B,圓錐的側(cè)面積S=兀xx2=27~5兀，8錯(cuò)誤;

對(duì)于C,設(shè)。是4C的中點(diǎn)，連接OD,PD,

則AC1OD,AC1PD,

所以ZPD。是二面角P-4C一。的平面角，

則NPDO=45°,所以O(shè)P=0D=1,

故4D=CD=73-1=/1，則AC=24。=2<7，C錯(cuò)誤；

對(duì)于C,PD=VI2+I2=<2.所以5"封=2*2/至'，訝=2,。正確.

故選：D.

根據(jù)題意，由圓錐的結(jié)構(gòu)特征依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及二面角的定義和圓錐的體積、表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,若平均數(shù)為2,則方差S2>1(6-2)2=3.2>3.1,平均數(shù)為2,方差

為3.1,

所以一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為3,3,3,5,6時(shí)，滿足中位數(shù)為3,方差為：

S2=1[(3-4)2+(3-4)2+(3-4)24-(5-4)2+(6-4)2]=1.6,

此時(shí)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2,2,3,4,6時(shí)，

滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為2,可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)。，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1,1,2,5,6時(shí)，

滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為2,可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選:A.

根據(jù)題意，利用特例法可判斷ACD；結(jié)合平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，可判斷B正確，由此能求出

結(jié)果.

本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】4

【解析】解：??,S-DEESMBC，?.?"DTE-sinz7l=、x%8SC?sinN4.

解得：AD-AE=8.

在^ADE中用余弦定理得到：cos/l=加+他2謂=1.

2AD,AE2

整理得到：AD2+AE2=8+DE2>2VAD2-AE2=16,即DE?>8,當(dāng)且僅當(dāng)40=AE=2。

時(shí)取得等號(hào).

故QE的最小值為2。.

故選：A.

利用，ADE=^S-BC可以得到力。?4E=8,再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

本題主要考查基本不等式和余弦定理，屬于中檔題.

9【答案】AD

【解析】解：由題意可得，z=丹4—61=丁4—6i=丁2—3i=-3-2。

(1+0乙I1

復(fù)數(shù)Z的虛部為-2,故A正確；

z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-3,-2),在第三象限，故8錯(cuò)誤；

|z-2i|=|-3-4i|=5,故C錯(cuò)誤；

將z=-3-2i代入方程/+6x+13=0是成立的，故。正確.

故選：AD.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，模的運(yùn)算公式對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)化簡(jiǎn)即可判斷求解.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：該同學(xué)隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，其所有的基本事件為4,B,C,D,共4個(gè)；

隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，其所有的基本事件為AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6個(gè)；

隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，其所有的基本事件為ABC,ABD,ACD,BCD,共4個(gè)；

隨機(jī)選四個(gè)選項(xiàng)，其所有的基本事件為4BCD,共1個(gè).

于是根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得：

僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是故A錯(cuò)誤；

隨機(jī)至少選擇二個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是碧7=白，故8正確；

僅隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是3,故c正確；

隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是名筌7=4,故。錯(cuò)誤.

4+6+4+115

故選：BC.

對(duì)各項(xiàng)中的隨機(jī)事件，計(jì)算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出相

應(yīng)的概率后可得正確的選項(xiàng).

本題主要考查相互獨(dú)立事件，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABCD

【解析】解：對(duì)于4圓臺(tái)高為九=C，

.??圓臺(tái)軸截面ABCD面積為S=gx(2+4)xC=3＜3cm2,即圓臺(tái)軸截面4BCD面積3，3cm2,

故4正確；

對(duì)于B,由已知及題圖知，cos乙［且0＜乙4。。＜，

AADC=60°,而與由的夾角60。，故8正確；

222

對(duì)于C,圓臺(tái)的體積U=1x(l+VIx2+22)x⑸=容cm3,該圓臺(tái)的體積為殍cm3,

故C正確；

對(duì)于D,將圓臺(tái)一半側(cè)面展開(kāi)，如下圖中ABCD,且E為力D中點(diǎn)，

而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐體側(cè)面展開(kāi)為扇形COD,且0C=4,

.,.在RtZiCOE中，CE=V42+32=5cm.

即C到4。中點(diǎn)的最短距離為5cm,即沿著該圓臺(tái)側(cè)面，從點(diǎn)C到4。中點(diǎn)的最短距離為5cm,故。

正確.

故選：ABCD.

利用圓臺(tái)的軸截面的面積，側(cè)面展開(kāi)圖求解表面最短距離，圓臺(tái)的體積，異面直線所成角，判斷

選項(xiàng)的正誤即可.

本題考查圓臺(tái)的相關(guān)計(jì)算，幾何體的體積的求法，表面距離的求解，是中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

4選項(xiàng)先利用耐.麗=而?(前+而)，再按照數(shù)量積運(yùn)算即可：B選項(xiàng)由平行四邊形法則即可

(0C0E=0,

判斷；C選項(xiàng)通過(guò)一_口解方程組即可；。選項(xiàng)先表示出瓦？?前，再結(jié)合正弦函數(shù)的范圍

(0。?0E=亨，

求出最小值.

【解答】解:初?CD=0A-(CO+0D)=0A-CO+0A0D=3x1x(-1)+3x1x(-i)=

A錯(cuò)誤；

由赤="而+u近知,E為弧CO的中點(diǎn)，又乙40B=120°,由平行四邊形法則可知泰=0C+0D，

故iz=1,8正確.

由NDOE=30。知，元?而=0,而?布=1x1xcos30。=三，設(shè)灰=工靈+y前，

(0COE=0C-(xOC+yOD)=x-^y=0,

則____J「

[ODO￡=OD-(xOC+yOD)=~^+y=^,

(fl

解得[x久=一二故泰=?歷+方而，C正確.

12V333

EA-lB=(Ed+OA)-(EO+OB)^Id2+Id-OB+OAEO+OAOB

9

=1-3cos乙BOE—3cos(120°—乙BOE)—,

=-|coszBOE-^sinzBOE-1=-3sinQB0E+30°)>

當(dāng)且僅當(dāng)NBOE=60。時(shí)，等號(hào)成立，故麗.前的最小值為—苧，￡>正確.

故選：BCD.

13.【答案】-1

【解析】解：?.?產(chǎn)=3i2=-l,i3=-i,i4=l,即i的周期為4,

所以原式=505(i-1-i+1)+i-1-i=505x0-1=-1.

故答案為：—1.

根據(jù)i的周期化簡(jiǎn)求值即可.

本題考查復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】6720

【解析】解：在隨機(jī)抽取的50人中，有15人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，

則持反對(duì)態(tài)度的頻率為1-II=5，

所以可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤(pán)俠”持反對(duì)態(tài)度的有9600x^=6720.

故答案為：6720.

求出在隨機(jī)抽取的50人中持反對(duì)態(tài)度的頻率，進(jìn)而求出結(jié)果.

本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..

15.【答案】[3,4）

【解析】解：因?yàn)?<%<2兀，所以

令/（久）=COS3X-1=0,則COS3X=1有4個(gè)根，

令t=cox,則cost=1有4個(gè)根，其中te[0,237r],

結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖像性質(zhì)可得6兀<2（iyn<8兀，解得3<<4.

故答案為：[3,4）.

利用余弦函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，列出不等式求解即可.

本題考查了三角函數(shù)的周期應(yīng)用問(wèn)題，以及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】527r

【解析】解：如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接DE,AE,

設(shè)△BCD和△ABC的中心分別為H、F,過(guò)"、F分別作平面BCD與平面ABC的垂線交于點(diǎn)0,

即球心為。，設(shè)“鞠”的半徑為R,連接0E,

因?yàn)锽CJ.DE,BC1AE,所以BC_L平面4E0,

則匕-BCD=^B-AED+^C-AED=3^AED'BC,

即：=1x1AE.DE.sm^AED-BC，

又BC=6,AE=DE=3/3，

所以sin&ED=?，即乙IE。=60°,

易知OE為N4ED的角平分線，所以NOEH=30。，

^.Rt^OEH^,因?yàn)镋H=gED=/1,則OH=EH?tan30。=1,

在Rt△OCH中，CH=2V-3/?2=OH2+CH2=I2+(2/3)2=13,

所以該“鞠”的表面積為4兀/?2=4兀x13=527r.

故答案為:527r.

取BC的中點(diǎn)E,連接。E,AE,設(shè)△BCD和△ABC的中心分別為“、F,過(guò)”、尸分別作平面BCD與

平面A8C的垂線交于點(diǎn)0,即球心為。，再結(jié)合三棱錐的體積公式以及勾股定理求解即可.

本題主要考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)4(3,-4),5(2,-3),C(4,l),

則南=(-1,1)，AC=(1,5)，

則2南+前=(-1,7).

故|2荏+彳工|=J(-1)2+72=5<7;

(2)同=(-1,1),AC=(1,5).

則荏|=V1+1=V-2.|AC=V^6>而?正=-1+5=4，

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，即可求解;

(2)根據(jù)己知條件，結(jié)合平面向量的夾角公式，即可求解.

本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由acosC+I5csbiA=b+c及正弦定理得：

sinAcosC+y/~3sinAsinC=sinB+sinC

因?yàn)閟inB=sin(?r—A—C)=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以A/^sinAsinC-cosAsinC—sinC=0.

由于sinC力0,；.y/~3sinA—cosA—1=0,

所以sin(4-=I，

又。<A<兀，故4

(2)由題得△ABC的面積S=^bcsinA=9<3,故be=36①，

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,

又a=6,故從+c2=72(2),

由①②得：b+c=12,

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=18.

【解析】(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得CsinA—cos4-1=0，由輔助

角公式可得sinQ4=進(jìn)而可得71的值；

(2)由三角形面積公式及余弦定理可求得b+c=12,進(jìn)而可得44BC的周長(zhǎng).

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴小明三道題都答對(duì)概率為,x|xa=：,故a=g,

恰能解決三道題中的一道題的概率：|X5X|+5X|X|+?X|X5=H-

(2)若三道題均答對(duì)，則X=100,P(X=100)=|x|xi=i,

若組合題答對(duì)，代數(shù)、幾何恰有一道題答對(duì)，

則X=60,P(x=60)=20X7Xi1+i1X?Xi1=i1,

若代數(shù)幾何均答對(duì)，但組合未答對(duì)，

則X=50,P(X=50)=,xJx9=I，

4J，H

11117

【解析】(1)小明三道題都答對(duì)概率為%x|xa=%求出a=%由此能求出恰能解決三道題中的

一道題的概率；

(2)若三道題均答對(duì)，則X=100,若組合題答對(duì)，代數(shù)、幾何恰有一道題答對(duì)，則X=60,若代

數(shù)幾何均答對(duì)，但組合未答對(duì)，則X=50,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出總分X不低于50分

的概率.

本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：(1)連接BD,

C

易知4CnBD=H,BH=DH,

又由BG=PG,故GH"PD,

又因?yàn)镚HC平面PAD,PDu平面P4D,

所以GH〃平面PAD.

(2)取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,依題意，得DNLPC,

又因?yàn)槠矫鍼AC_L平面PCD,平面PACC平面PCD=PC,

所以DN1平面P4C,又PAu平面P4C,故ONJ.P4,

又因?yàn)镻41CD,CDCDN=D,

所以241平面PCD.

(3)連接4N,由(2)中DN1平面R4C,

可知ND4N為直線AD與平面P4C所成的角.

因?yàn)闉榈冗吶切危珻O=2且N為PC的中點(diǎn)，

所以0N=q,所以AN=，石，又DN1AN,所以4。=3.

在Rt△AND中,cos^DAN=%=苧，

所以直線AD與平面PAC所成角的余弦值為?.

【解析】(1)利用線線平乖可證GH〃平面PAD；

(2)利用已知可證ONJ.24,PA1CD,可證P41平面PCD；

(3)可得N/MN為直線4。與平面P4C所成的角.進(jìn)而求解即可.

本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)設(shè)這m人的平均年齡為，則

x=22.5x0.1+27.5x0.35+32.5x0.25+37.5x0.2+42.5x0.1=31.75(歲)；

(2)(i)由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為2：7：5：4：2,

第四組應(yīng)抽取20x際，弁=4人，記為4,B,C,甲，第五組抽取20x=九，，0=2人,記

為D,乙，

對(duì)應(yīng)的樣本空間為0=｛（48）,（AC）,（4甲）,（4乙），（4D）,（B,C）,（B,甲），（B,乙），

（C,甲）（C,乙），（C,D）,（甲，乙），（甲，。），（乙,D）｝,共15個(gè)樣本點(diǎn).

分設(shè)事件”=“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則”=｛（4甲），（4乙），（B,甲），（B,乙），（C,甲），（C,乙），（甲，乙），（甲，￡））,（乙，

。）｝，共有9個(gè)樣本點(diǎn),

93

所以。（"）=需，^32—.

155'

（"）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為《，五，方差分別為赍，sl，