2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí)講義 第20講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第20講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（精講）

題型目錄一覽

①正弦函數(shù)的圖像與性

質(zhì)

②余弦函數(shù)的圖像與性

質(zhì)

③正切函數(shù)的圖像與性

質(zhì)

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一'用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（下表中此Z）

____jrjJT

（1）在正弦函數(shù)y=sinx,xe[0,2刈的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,（萬，1）,（1，0）,（5，-1）,（2%,0）.

_JT3乃

⑵在余弦函數(shù)y=cosx,尤e[0,2i]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,（耳，0）,（萬，-1）,（7，0）,（2萬，1）.

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

_7Tr/TX3TT

圖象

2\(\；2

兀

定義域RR[x\X&R,Xk7T+—}

值域[-1-1][-b1]R

周期性27r2〃n

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

,.71,兀、

遞增區(qū)間[2k兀-—，2kju+—][-7T+2k7i,2ki](k兀,K7V)

22

遞減區(qū)間[2k7i+-,2k7i+—]\2kjr,7T+2左1]無

22

71仔,。）

對(duì)稱中心(ku,0)(kn+—,0)

7冗

對(duì)稱軸方程x=k"——x—kn無

2

二、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.對(duì)稱與周期

(1)正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是工；

2

⑵正(余)弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是工；

2

⑶正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離工；

4

2.函數(shù)具有奇、偶性的充要條件

(1)函數(shù)》=羔皿5：+?)(尤^均是奇函數(shù)曰)=4兀(462)；

JT

(2)函數(shù)y=Asin((wx+夕)(％￡R)是偶函數(shù),=左兀+1(左￡Z)；

(3)函數(shù)y=Acos(①x+g)(x￡R)是奇函數(shù)弓9=左兀+］(左￡2)；

(4)函數(shù)y=Acos(①x+夕)。金R)是偶函數(shù)，=kn(k￡Z).

二、題型分類精講

題型一正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

【典例1】方程卜inx|=g的根中，在［0,2］內(nèi)的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】方程N(yùn)nx|=g的解等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)乂TsinR與％=；圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以分別畫出兩函數(shù)圖像，由

圖即可得出結(jié)論.

【詳解】如圖所示，在區(qū)間［0,句內(nèi)I卜inx|二的兩個(gè)根為￡和吟又因?yàn)?＜當(dāng)，所以在區(qū)間［0,2］內(nèi)|卜in^二只

2Goo2

有一個(gè)根

0

【典例2】函數(shù)/（x）=sin尤-cos2x在區(qū)間［0,2可上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用二倍角余弦公式得Ax）=2sin2x+sinx-1,令其為0,解出Sinx值，再根據(jù)X的范圍，即可得到零點(diǎn).

【詳解】/（x）=sinx--2sin2x）=2sin2x+sinx-l=0,

解得sinx=-1或sinx=L

2

又％i［0,2加,

貝！Jx=當(dāng)或x=￡或無=等，

2oo

則函數(shù)/（元）=sinx-cos2x在區(qū)間［0,2兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：B.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.函數(shù)y=2+sinx,xe（O,4兀|的圖象與直線y=2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】畫出＞=2+sinx,xe（O,4可以及y=2的圖象，由此確定正確答案.

【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2+sinx,xe（O,4可和直線y=2的圖象（如圖所示），可得兩圖象的交

點(diǎn)共有4個(gè).

2.是"sina=siny0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既是充分條件，也是必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】先判斷充分性，再判斷非必要性，即得解.

【詳解】當(dāng)。=〃時(shí)，sina=sin/?,所以"a=乃”是“sina=sin￡”的充分條件；

7T9,777T97T

當(dāng)sina=sin6時(shí)，a=〃不一定成立，如sin《=sin子，但是1片子，所以“a=月”是“sina=sin分”的不必要條

件.

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：充分條件必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已

知條件靈活選擇方法求解.

3.函數(shù)y=3sinx+21-|^xW0）最大值為（）

A.2B.5C.8D.7

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接求解.

【詳解】xe--50時(shí)，sinxG[―1,0],

所以3sinX+2￡1,2],

所以函數(shù)y=3sinx+2（-方4x40）最大值為2.

故選:A.

4.函數(shù)〃%）=sinx+l的零點(diǎn)是（）

JT3冗

A.—+2kji^kGZ）B.—+2k7i^keZ）

C.'+祈（ZEZ）D.E（左GZ）

【答案】B

【分析】令/（%）=sinx+l=。，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】令/（x）=sinx+l=O,貝！|sinx=-l,

3冗

所以％=W+2E（左eZ）,

所以函數(shù)/'（x）=sinr+l的零點(diǎn)是三+2配傳eZ）.

故選:B.

5.設(shè)函數(shù)/（x）=sin|x|,則“尤）（）

97T77r

A.在區(qū)間—上是單調(diào)遞減的B.是周期為2萬的周期函數(shù)

36

■JT

C.在區(qū)間一萬,0上是單調(diào)遞增的D.對(duì)稱中心為（版■,（））,yteZ

【答案】A

【分析】先當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=sinx,又/(x)=shi同是偶函數(shù)，由此可判斷命題的真假.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，"x)=sinx,在上是單調(diào)遞減的，故A正確；

/(x)=sin同是偶函數(shù)，無周期性，故B錯(cuò)誤；

〃x)=sin國是偶函數(shù)，在《0單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

〃x)=sin同是偶函數(shù)，無對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤；

故選：A

二、多選題

6.函數(shù)/(x)=sinx+2|sinx|,xe[0,2萬)的圖象與直線y=A的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】ABCD

【分析】根據(jù)sinx..O和sinx<0對(duì)應(yīng)的x的范圍，去掉絕對(duì)值化簡函數(shù)解析式，再由解析式畫出函數(shù)的圖象，對(duì)上分

類討論即可判斷.

【詳解】解：由題意知，/(x)=sinx+21sinx|,xe[0,2^],

(、f3sinx,xe[0,7r]

[一sin%,N￡(%,2〃]'

在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(尤)的圖象如圖所示：

由其圖象知，當(dāng)直線"(1,3)時(shí)，〃x)=sinx+2|sinx|,xe[0,2句的圖象，與直線y=左有且僅有兩個(gè)不同

的交點(diǎn).

當(dāng)直線y=A,左=0或％=1時(shí)，/(x)=sin%+2|sinx|,xe[0,2句的圖象，與直線y=左有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)直線、=左，左=3時(shí)，/(x)=sinx+2|sinx|,x?0,2句的圖象，與直線y=上有且僅有一個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)直線y=A,左e(f0)(3,+8)時(shí)，/(x)=sinx+2|sinx|,尤e[0,2柯的圖象，與直線'=左無交點(diǎn).

故選：ABCD.

三、填空題

7.觀察正弦函數(shù)的圖像，可得不等sinxwg的解集為

【答案】卜2kli——<x<2kn+—,€Zr

【分析】畫出，=sinx的圖像，根據(jù)圖像確定正確答案.

【詳解】畫出y=sin光的圖像如下圖所示,

177171

由圖可知，不等sinxK7的解集為卜2E—■—<x<2ht+-,keZ

266

故答案為：<x\2kji——-<x<2fat+—Z

8.函數(shù)y=sin[x+Q,xe0,。的值域是.

【答案】

【分析】利用整體代換和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

IT7TIT/7T

【詳解】因?yàn)閤e0,-,所以x+、e,

所以gwsin（龍+

即函數(shù)y=sinl+^|的值域?yàn)?,1.

故答案為：1,1.

9.如果方程sinx=a在xe］，兀上有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

O

【答案】川

【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖像判斷即可；

結(jié)合三角函數(shù)圖像可知，當(dāng)1,1時(shí)，直線y=sinx,y=“有兩個(gè)交點(diǎn),

故答案為：川

題型二余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

【典例1】函數(shù)〃到=1+88%口《三,4兀1|的圖象與直線y=r為常數(shù)）的交點(diǎn)最多有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】作出函數(shù)./■（同=1+即卜與4可與函數(shù)三的圖象，可得出結(jié)論.

故選：D.

【典例2］不等式2cosx+有20在［-無,句上的解集為（）

2兀2兀2兀2兀

A.U,7IB.

［兀］_T_/T'T.

5兀5兀5兀5兀

C.—71,---U-----D.

L6J一石".「石'不一

【答案】D

【分析】結(jié)合余弦函數(shù)圖象分析運(yùn)算，即可得結(jié)果.

【詳解】V2COSX+A/3>0,貝!）cosx"也，

2

「5兀

注意到工且-兀，可，結(jié)合余弦函數(shù)圖象解得工￡--

L6

故選：D.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.函數(shù)y=|cosx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）

7171

A.一于2B.[0,7i]

「「3萬』

C.冗、一二~D.——,271

_2J2_

【答案】D

【分析】首先畫出y="osx|的圖像，根據(jù)圖像判斷各選項(xiàng)，從而得到答案.

【詳解】將y=COSX的圖像位于X軸下方的圖像關(guān)于X軸對(duì)稱翻折到X軸上方，X軸上方（或軸上）的圖像不變,

即得y=|cosx|的圖像

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查通過函數(shù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題型.

2.函數(shù)y=Jcosx-；的定義域?yàn)?/p>

7171

A.B.,K7iH—，左eZ

33_33_

_JIJI

C.2左左---,2k兀—,keZD.R

_33_

【答案】C

【解析】由COSx-~9結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，即可求解.

【詳解】函數(shù)y二Jcosx-g有意義,須cosxN；,

TTTT

解得Ikjr--<x<2k7i+—,k^Z,

jrTT

所以函數(shù)的定義域?yàn)?^--,2^+-，左eZ.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域，熟練掌握三角函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知函數(shù)y=2cosx的定義域?yàn)?值域?yàn)榭桑瑒t的值是

A.2B.3C.>/3+2D.26

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義域，求出值域，也即求得6的值，進(jìn)而求得6-a的值.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.對(duì)于定義域范圍不同的三角函數(shù)，其值域可借助圖像來求

解出來.

4.函數(shù)〃x）=2cosx+cos2x+2（x€R）的最大值是（）

A.；B.5C.6D.1

【答案】B

【分析】先由余弦的二倍角公式對(duì)函數(shù)化簡，統(tǒng)一成余弦，然后配方利用余弦函數(shù)的有界性可求得其最大值.

【詳解】“X)=2cosx+cos2x+2-2cosx+2cos2x-1+2=2cos2x+cosx+—+—=2(COSXH—jH----9當(dāng)COSX=1,

'2)2

即x=2析(左eZ)時(shí)，/(%)_=5.

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了余弦的二倍角公式，配方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.若函數(shù)y=cosx+|cosx|,xe[0,2n|的大致圖像是

【分析】先去絕對(duì)值，化為分段函數(shù)，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出答案

c兀雙iL3?

22

【詳解】y=cosx+kosx]

2cos%,怎灰<工或—<x271

22

y=co既在［0,$為減函數(shù)，在（笄，2列為增函數(shù)，并且函數(shù)值都大于等于0,

只有。符合,

故答案為。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象，以及余弦函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是化為分段函數(shù)，去絕對(duì)值，屬于基礎(chǔ)題.

6.在（一巴4）內(nèi)，使cosa>sina成立的儀的取值范圍為

【答案】A

【分析】畫出y=sinx,y=cosx在（-兀,兀）內(nèi)的圖像，根據(jù)圖像求出使cosa>sina成立的。的取值范圍.

【詳解】畫出y=sinx,y=cosx在（-兀,兀）內(nèi)的圖像如下圖所示，由圖可知，使cosa>sina成立的。的取值范圍是

37r7i

，故選A.

~4~,7

【點(diǎn)睛】本小題主要考查丫=5也》和丫=8$工的圖像與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

二、多選題

7.下列不等式中成立的是()

A.sin1<sin—B.cos—>cos2

33

.15TI.4兀

C.cos(-70)>sin18D.sin---->sin——

75

【答案】AC

(分析］根據(jù)正弦y=SinX在(ogj單調(diào)遞增可判斷A,根據(jù)y=COSx在［g,兀j單調(diào)遞減可判斷B,根據(jù)誘導(dǎo)公式以

及正余弦的單調(diào)性可判斷C,D.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)?<1<三苦，尸sinx在［。,田單調(diào)遞增，所以sinlvsin：,故A正確；

對(duì)B,因?yàn)椋?%在已，兀］單調(diào)遞減，所以cos4<cos2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,cos(-70)=cos70=sin20>sinl8,故C正確;

對(duì)于D,sinsinsin=sin>sin故D錯(cuò)誤；

故選：AC

三、填空題

8.若COSX=2m+l,且帆eR,則加的取值范圍是

【答案】

【分析】由余弦函數(shù)的值域有-即可求m的范圍.

【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)知：-142帆+141,可得-14M40.

故答案為：[-1,0]

9.方程cos-2d=0的解集為.

【答案】卜卜卡+導(dǎo)伍eZ)

【分析】本題可根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閏os[?-2]=0,

ll,.7T-兀T7CkjT7LkjL/.,

所以金-2了=3+%萬，BPx=----—,x=--—+—^kli

J乙_1N乙_LN乙

故方程cos-2x^0的解集為卜=_5+與，左￡Z),

故答案為：,％卜二一2十年，(左wZ).

10.在[0,2%)內(nèi)不等式2cosx+l<0的解集為.

【答案】

【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【詳解】?；2cosx+l<0,

cosX<—,

2

題型三正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

[典例1】設(shè)直線/的斜率為k,且-1V左<g,直線/的傾斜角a的取值范圍為()

兀3兀3兀

c.6,TD.。，撲T,H

【答案】D

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系得到-1Wtana<石，結(jié)合正切函數(shù)的圖象及1目0,兀)，數(shù)形結(jié)合得到直線1的

傾斜角a的取值范圍.

【詳解】由題意得：一1Ktana<g,

因?yàn)閍e[0,7t),且tan,=-l,tan：=6',

【典例2】函數(shù)y=Jl-tan%的定義域?yàn)?).

.71...71

A.E一■7,E,keZB.E,kn-\——,kGZ

44

7717Tl,71771]

C.左?！?kitH—,kGZD.kitH—,KUH—,keZ

2442)

【答案】C

【分析】利用正切函數(shù)圖像可以得到結(jié)果.

7T

【詳解】由題意可得：l-tanx>0,且％W—+E,左EZ,

2

即tanx<l,

171,71

XGK7l——,k7l+—,keZ.

I24

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.方程6sin%+cosx=0的解集是（）

A.{x|x=左匹左EZ}B.,%卜=2左?一左EZ,

C.，卜=女萬一卞左￡Z,D.卜卜=左萬+￡,左EZ,

【答案】C

【分析】把方程化為tanx=-3，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解方程的解，得到答案.

3

【詳解】由題意，方程gsinx+cosx=0,可化為tanx=-,

3

TTTT

解得x=左萬一：,k&Z,即方程的解集為口|尤=左）一"，ZeZ）.

66

故選：C.

2.”$[0%＜（20$_￥”是"131?＜1''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

JT

【詳解】充分性：當(dāng)工=-5時(shí)，5111%=-1,＜；05]=。符合"5加＜85%”，但是tanx不存在，即“sinxvcosx”不能推出

“tanxvl”，故充分性不滿足；

必要性：當(dāng)％=也時(shí)，tanx=-l符合tanxvl,此時(shí)sinx=9^,cos%=—1^不滿足“sinxvcosx"，即“tanx＜l"不能

422

推出“sinxvcosx”，故充分性不滿足；

所以“sinx＜cosx”是“tanx＜1”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

3.在（0,〃）內(nèi)，使tanx〉-G成立的x的取值范圍為（）

B.

D.

【答案】B

【分析】畫出丁=均m（。＜%＜兀）和直線y=-6的圖象，由圖象可得不等式的解集.

畫出丁=切加（0〈工〈兀）和直線丁=一6的圖象，

由圖象可得mxi,在（0㈤上解集為（0,3（*

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用正切函數(shù)的圖象解不等式，關(guān)鍵是掌握正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

4.夕=2而+?（左?2）是13!1（?=1311萬的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.既非充分也非必要條件D.充要條件

【答案】C

【分析】利用特值法，結(jié)合充分必要條件的定義即可

【詳解】由于乎滿足tana=tanQ，但推不出a=2航+力化eZ）,故必要性不滿足;

由于c=弓,￡=：滿足a=2E+￡/eZ）,但正切值不存在，所以充分性不滿足；

所以a=2桁+/?（左eZ）是tana=tan力的既非充分也非必要條件

故選：C

5.若直線x="無(0<?<1)與函數(shù)y=tanx的圖象無公共點(diǎn)，則不等式tanxN2a的解集為(

A.\x\kji+—<x<kii+—,keZyB.\x<x<lai+—9keZ>

II62JI|42J

C.+—<x<fai+—,A:GZ>D.+—<x<fai+—,A;GZ>

II32JI|44J

【答案】B

IT]

【分析】根據(jù)題意可得即=方，得。=],從而轉(zhuǎn)化為解不等式tanxNl,利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€苫=即與函數(shù)〉=1皿彳的圖象無公共點(diǎn)，且。

所以即=J'T,所以0=51,

故tanx22a可化為tanxNl,

rrrr

所以解得——\-k7i<x<—+ki,keZ

42

所以不等式tanxN2o的解集為1尤：+Qr4x<g+左左,,

故選：B.

6.對(duì)于四個(gè)函數(shù)、=卜加|,y=|cosR,y=sin|jc|,y=tan|x|，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.y=|siru|不是奇函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對(duì)稱中心

B.y=|c。對(duì)是偶函數(shù)，最小正周期是萬，有無數(shù)多條對(duì)稱軸

C.y=sin|x|不是奇函數(shù)，沒有周期，只有一條對(duì)稱軸

D.y=tan|x|是偶函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對(duì)稱中心

【答案】D

【分析】利用圖象逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

由圖可知，函數(shù)、=回!》|不是奇函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對(duì)稱中心，A對(duì);