無窮小的比較無窮小的階

關(guān)于無窮小的比較無窮小的階一、無窮小的比較例如,觀察下列極限當(dāng)時(shí),都是無窮小.不可比.型極限不同,反映了無窮小趨向于零的速度的“快慢”程度不同.第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天定義:(1)如果

則稱是比高階的無窮小．設(shè)是同一過程中的兩個(gè)無窮小,且記作(2)如果,則稱是比低階的無窮??；(3)如果,則稱與是同階的無窮小；特殊地,如果

則稱與是等價(jià)的無窮??；記作(4)如果,無窮??；則稱是的階的第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例如，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小．即所以當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小．因?yàn)榧炊援?dāng)時(shí)，是二階無窮小．第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天證明因?yàn)槔?證明：當(dāng)時(shí)，為的三階無窮小．所以為的三階無窮?。?頁,共26頁，2024年2月25日，星期天二、等價(jià)無窮小代換定理(等價(jià)無窮小代換定理)證存在．則是同一極限過程的無窮小；第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天幾個(gè)常見的等價(jià)無窮小:上述等價(jià)無窮小中的可以是函數(shù)形式,當(dāng)時(shí),但在所考慮的極限過程中,此函數(shù)的極限應(yīng)為零.第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例2解例3

求極限解因?yàn)樗杂星螽?dāng)時(shí),第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例4解若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積,不能濫用等價(jià)無窮小代換.切記:只可對函數(shù)的乘積因子作無窮小等價(jià)代換,注意：則可對其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無窮小代換,而不會改變原式的極限．對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解解錯(cuò)例5求當(dāng)時(shí),原式原式第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例6計(jì)算解因?yàn)?所以于是原式第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解

當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無窮小,則例7(0702)第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例8(040210)計(jì)算極限解由與等價(jià)得:原式第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天三、小結(jié)1、無窮小的比較反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2、等價(jià)無窮小的代換:求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價(jià)無窮小;無窮小的階.第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)(030104)解第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)解而第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天所以第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天任何兩個(gè)無窮小都可以比較嗎？思考題第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天思考題解答都是無窮小量但不存在且不為無窮大不能．故當(dāng)函數(shù)不能比較.第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天一、

填空題：1、2、3、4、練習(xí)題第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天5第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天二、求下列極限(1)(2)(3)(4)第23頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共26頁，2