上海市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試題

上海市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.若直線。平行于平面a內(nèi)的直線6,且aza,則a與a的位置關(guān)系是.

2.已知tana=3,貝i」cos2a=.

3.己知z=2+i,則|2—iz|=.

4.過ABC所在平面a外一點(diǎn)p,作尸垂足為O,連接R4,PB,PC,若

PA=PB=PC,則點(diǎn)。是"C的心.

5.正方體ABCD-AB￡R的棱長為〃，則到平面BC,A,的距離為.

6.已知口=啊=2,.與的夾角為?，則°+6在"上的數(shù)量投影為.

7.已知平面a經(jīng)過原點(diǎn)。，且法向量為“=（2,1,2）,點(diǎn)P（1,2,3）,則點(diǎn)尸到平面a的距

離為.

8.已知圓錐的底面半徑為百，母線長為2,過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面

積的最大值為.

9.如圖，圓錐OP的底面直徑和高均是1,過OP上一點(diǎn)O'作平行于底面的截面，以該

截面為底面挖去一個圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值為.

P

10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AIBIGDI中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D|E

上，點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值為

11.二面角C一/-6是60。，其內(nèi)一點(diǎn)尸到d夕的距離分別為1cm和2cm,則點(diǎn)P到棱/

的距離為.

12.在四面體P-45c中，ABC是邊長為2的等邊三角形，B4_L平面ABC,且24=1,

動點(diǎn)M,N分別在線段以(含端點(diǎn))上和.PBC所在平面中運(yùn)動，滿足MN=1.記ABC

的外心為。，則ON的最大值是.

二、單選題

13.空間中有三條直線〃，b,c,貝片。，b,。兩兩相交”是“a,b,c共面”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.已知則函數(shù)y=a*+8的圖像必定不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

15.已知平面a_L平面夕，a(3=1,直線。在平面a內(nèi)，直線6在平面夕內(nèi)，且“，b

與/均不垂直，則()

A.。與b可能垂直，但不可能平行B.。與b可能垂直也可能平行

C.”與b不可能垂直，但可能平行D.。與6不可能垂直，也不可能平行

16.已知矩形ABC。，M是邊上一點(diǎn),沿翻折使得平面ASM_L平面

BCDM,記二面角A-8C—O的大小為a,二面角A-OM-C的大小為夕，貝IJ()

A.a<(3B.a,BC.a+p<^D.a*

三、解答題

17.已知定義在R上的函數(shù)，*)=答9為偶函數(shù)，且/(O)=L

⑴求了(x)的解析式；

(2)判斷并用單調(diào)性定義證明f(x)在［0,+8)的單調(diào)性.

試卷第2頁，共4頁

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面正方形4BC力的邊長為2,24_L底面ABC。,

E為BC的中點(diǎn)，PC與平面以。所成的角為arctan也.

⑴求刑的長度；

(2)求異面直線AE與所成角的大小.

19.某廣場內(nèi)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體

得到的，如圖所示，若被截正方體的棱長是60cm.

(1)求石凳的體積；

(2)為了美觀工人準(zhǔn)備將石凳的表面進(jìn)行粉刷，已知每平方米造價50元，請問粉刷一個

石凳需要多少錢？(精確到0.1元)

20.己知如圖，四邊形PDCE為矩形，ABC。為梯形，平面平面ABC。，

(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)。(除去端點(diǎn))，使得平面04。與平面P8C所成銳二面角

的大小為?？若存在，求出震的值；若不存在，請說明理由.

21.已知完全封閉且內(nèi)部中空的圓柱底面的半徑為R,母線長為/.

(1)當(dāng)R=l,/=2時，在圓柱內(nèi)放一個半徑為1的實(shí)心球，求圓柱內(nèi)空余部分的體積;

(結(jié)果用精確值表示)

(2)如圖，當(dāng)R=l,/=12時，平面a與圓柱的底面所成銳二面角為45。，且平面a只與

圓柱的側(cè)面相交，設(shè)平面a與圓柱的側(cè)面相交的軌跡為曲線C,半徑為1的兩個球分別

在圓柱內(nèi)平面a上下兩側(cè)且分別與平面a相切于點(diǎn)心，若點(diǎn)尸為曲線C上任意一點(diǎn),

求證：尸月+為定值；

(3)在(1)的條件下，在圓柱內(nèi)部空余的地方放入和實(shí)心球、側(cè)面及相應(yīng)底面均相切的

半徑為「的同樣大小的小球〃個，求〃的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.alia

【分析】由線面平行的判定定理可得結(jié)論.

【詳解】如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

故答案為：alia.

2.)

5

【詳解】解：由題意可知：cos2a=2cos2a-l=2x——-------1=--.

tan-cz+15

3.V13

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及幾何意義計算求解即可.

【詳解】因?yàn)閦=2+i，

所以2_iz=2-i(2+i)=3_2i,

所以|2_iz|=|3_2i|=，2+(_2)2=布.

故答案為：回.

4.夕卜

【分析】由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而由PA=PB=PC求出。4=O8=OC,得到答案.

【詳解】因?yàn)镻OLa,OA,OB,OCcza,所以PO,OA,POLOB,POLOC,

故OA=〃尸-療,OB=JB尸-。尸,OC=Jc尸-。尸，

因?yàn)镻A=P8=PC,所以。4=OB=OC,

故。是二ASC的外心.

故答案為：外

答案第1頁，共15頁

【分析】根據(jù)等體積法匕一A/=%-Ag即可得到距離.

【詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)知與片為三棱錐8-A8G的高，S=1a2,

AB=BG=AG=扃,所以SAs=gx2a2x#=g/

設(shè)用到平面8GA的距離為心

根據(jù)七一4用。1=%說，即g-=gS"BG,d

BP—x—a2x?=-x—tz2xd,解得〃=走"，

32323

【分析】利用平面向量的幾何意義可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可得4功=忖小|8$(=2,

(〃+/7)?〃2

所以，4+6在a上的數(shù)量投影為k+小。5,+。,4)=a-\-a-b6o

H

故答案為：3.

【分析】利用向量數(shù)量積的幾何意義，求出點(diǎn)P到平面的距離即可.

【詳解】平面a經(jīng)過原點(diǎn)。，且法向量為〃=(2,1,2),OP=(1,2,3),

\OP-n\

則點(diǎn)尸到平面a的距離為Lp—u10

HT

答案第2頁，共15頁

故答案為：J.

8.2

【分析】根據(jù)三角形的面積公式求得正確結(jié)論.

【詳解】如圖所示，ABC是圓錐的軸截面.

所以/OAC=',NBAC=」,

33

所以任意截面的面積為Lx2x2xsinNBAO=2xsinNBAD,

2

當(dāng)NBA。4時，截面面積最大為2心2.

故答案為：2.

【分析】設(shè)OO=x,用x的函數(shù)表達(dá)式表示出圓柱的側(cè)面積，再利用基本不等式即可求出

最大值.

【詳解】圓錐軸截面如圖所示,

設(shè)圓柱的底面半徑為r,OO'=x,由0N//08可知，匕=￡，即丁二丁,

PO()8—

所以r=g(l-x),

答案第3頁，共15頁

.、2

x+1-x\_n

故被挖去的圓柱的側(cè)面積為5=27l/^=7LT(1-x)<7C

2；一"

當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號，即。。心時’被挖去的圓柱的側(cè)面積最大值為5

故答案為：—

4

10.還

5

【詳解】點(diǎn)P到直線CJ的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在

平面ABCD上的射影為P',顯然點(diǎn)P到直線CC］的距離的最小值為P'C的長度的最小值,

_2x1以氏

當(dāng)P，C，DE時，PC的長度最小，此時P，C=J2?*「手

11.^L/-V21

33

【分析】過戶分別作設(shè)點(diǎn)P到棱/的垂足為C,可得P,A8,C在以PC為

直徑的圓上，利用余弦定理求出A8,再由正弦定理即可求出.

【詳解】如圖，過尸分別作尸則PA=1,PB=2,

設(shè)點(diǎn)P到棱/的垂足為C,則可得平面PAC3,則/，AC,/，8C,

所以NACB=60。，則NAP8=120。，

在，中由余弦定理可得A"=AP2+BP2-2AP8Pcosl20°=l+4-2xlx2x(-g)=7,

所以4B=J7,

由題意可得P,AB,C在以PC為直徑的圓上，

AB_V7_2>/21

所以由正弦定理可得右。一sinZAPB一二萬一丁.

2

故答案為：粵.

答案第4頁，共15頁

a

A

B

12.苧涉

【分析】取BC的中點(diǎn)E,連接PE,AE，等邊三角形的中心。在AE上，過點(diǎn)。作OGJLPE

于G,過點(diǎn)M作于/,由幾何關(guān)系可得N在PBC所在平面中運(yùn)動，所以N的軌

跡是以/為圓心，IN為半徑的圓，據(jù)此求得。解的最大值，即可確定。N的最大值.

【詳解】取BC的中點(diǎn)E,連接PE,AE,等邊三角形的中心。在AE上,

過點(diǎn)。作OG_LPE于G,過點(diǎn)M作MZ_LPE于/,

:‘AfiC是等邊三角形，所以隹，3c,

平面ABC,BCu平面ABC,

/.PA±BC，又APAE-A,AP,AEu平面,

BC1平面Q4￡,

又8Cu平面PBC,二平面P8C1平面幺E,平面PBCc平面RAE=PE,

'：MIVPE,A//u平面RAE,

，MI_L平面PBC,

同理OG_L平面PBC,

答案第5頁，共15頁

?/ABC是邊長為2的等邊三角形，則=

VPA=\,故PE=2,

二/PE4=30°,/EPA=60°,

則OG=—Xy/3x—=,GE=-Xy[3x^-=—,

326322

?.?動點(diǎn)M,N分別在線段P4上和PBC所在平面中運(yùn)動，滿足MN=1,

的軌跡是心/為圓心，/N為半徑的圓，

其中Pl=-PM,MI=—PMJN=y/MN2-MI2=,II--PM2,

22V4

當(dāng)/N最大時，MZ必最小，

又,.?OG_L平面P3C,所以O(shè)N?=OG2+GN2=GN2+

31

可知GNWG1+IN=PG—PI+IN=----PM+

22

當(dāng)PM=O,即M、/均為點(diǎn)尸時，GN取到最大值GNmax=：,

19即QN的最大值為巨.

此時OM的最大值為

如閨T3

故答案為：叵.

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是確定N的軌跡，N應(yīng)在以M為頂點(diǎn)，底面在平面PBC,

并且以母線長為1的圓錐的底面圓上，再利用ON2=OG2+GN2=GM+（*）2,將QN的最

大值轉(zhuǎn)化為GN的最大值，將問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)G到圓上動點(diǎn)距離的最大值.

13.D

【分析】在正方體中，舉例即可.

【詳解】如圖，在正方體A8CO-ABCR中,

A4PAB.A。三條直線兩兩垂直，但AVAB、A。不共面;

答案第6頁，共15頁

AB.AD.BC,都在平面ABC。中，但AZ）、BC不相交.

所以空間中有三條直線“，b,c,則“a,h,c兩兩相交，，是“a,h,。共面”的既非充分

也非必要條件.

故選：D.

14.A

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象結(jié)合圖象的平移可得正確的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)楣蕐=a'的圖象經(jīng)過第一象限和第二象限，

且當(dāng)x越來越大時，圖象與x軸無限接近.

因?yàn)?<-1,故>=優(yōu)的圖象向下平移超過一個單位，故y=/+b的圖象不過第一象限.

故選:A.

15.C

【分析】利用空間中線線間的位置關(guān)系求解.

【詳解】平面a_L平面夕，a/3=1,直線”在平面a內(nèi)，直線b在平面尸內(nèi)，且a,b與I

均不垂直，

直線a在平面夕內(nèi)的射影為直線/,若。_La,則有6_L/,與已知矛盾，。與b不可能垂直,

當(dāng)W〃且從〃時，由平行公理得即4與6可能平行.

故選：C

16.D

【分析】過點(diǎn)A在平面ABM內(nèi)作A"，3/W,垂足為點(diǎn)H,過點(diǎn)H作EF//CD分別交直線BC、

DM于點(diǎn)E、F,連接AE、AF,設(shè)ZAMB=y,則/為銳角，利用二面角的定義

可得出N4EH=a,公FH=。，計算得出tanc=￡孚，tan^=—,利用正切函數(shù)的

sirrycos/

單調(diào)性結(jié)合兩角和的正切公式可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】過點(diǎn)A在平面A8M內(nèi)作垂足為點(diǎn)、H,

過點(diǎn)，作EF〃。分別交直線8C、DM于點(diǎn)E、F,連接AE、AF,

設(shè)ZAMB=y,則/為銳角，

答案第7頁，共15頁

因?yàn)槠矫鍹M_L平面BCDM,平面43Mc平面BCDM=BM,AH±BM,AHc平面ABM,

所以，AH_L平面8CZW,

8。匚平面3。0"，..4“_18(7,因?yàn)镃￡)_L3C,則

HEA"=",..8C_L平面A〃E,AEu平面二小_18(：,

A/-IAf-I

故二面角A—3C—。的平面角為NA￡//=a,且tana=—,同理tan〃=—,

HEFH

在RtABAM中，ZBAM=-,

2

又因?yàn)锳HLBM,則N8AH=]-NA8M=ZAMB=/,

ArmiwA"4cosV

/.AH=tzcos/,BH=asmy,MH=------=............—,

tanysiny

DF//BC,則/HBE=/HMF=y,

所以，EH=BHsin/=tzsin2y,FH=M//siny=?cos2y,

AHacosycos/八AHacosy1

tana=-----=-------=———,tan[3=-----=--------=------,

HEasinysin/FHacosycosy

無法比較s/y和cos)的大小關(guān)系，故無法比較tana、tan夕的大小關(guān)系，即a、4的大小

無法確定,

TTTT

因?yàn)?<a<5，0</?<—,則Ova+尸〈冗,

tana+tan/tanatan￡_cosy

因?yàn)閠an(a+/7)=<0,

1-tanatan(3」_____]sin27-l^77

tanatanp

jr

所以，a^/3>—.

故選：D.

,7-⑴8)=心

⑵/(x)在［0,+8)單調(diào)遞減，證明見解析

答案第8頁，共15頁

【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義和/（（））=1即可求解;

（2）/（X）在［0,+8）單調(diào)遞減，利用函數(shù)單調(diào)性定義，設(shè)\/04占<々，作差，整理變形即

可證明.

【詳解】（1）由題意，x）=〃x）,.?.曰￥=竺4,

V/（O）=l,：.b=\,.,./（x）=—i-y.

1+十

（2）〃力在［0,+。）單調(diào)遞減，證明如下

1_（工2+%）（々一士）

設(shè)WOW玉</1+X；（1+X；）（1+X；），

?/0<Xj<x2,/.x2+xt>0,x2-xt>0,1+x；>0,1+>0,

即〃石）>〃動，在［0，+8）單調(diào)遞減.

18.（1）2

（2）arccosVio

【分析】（1）由線線垂直進(jìn)而可得CDJ?平面R4O,進(jìn)而是/CP￡>是PC與平面PAD所成的

角，因此tanNCPO=C^=2=?^,求出尸0=2應(yīng)，由此能求出A4.

PDPD2

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AE與所成角的大小.

【詳解】（1）在四棱錐P-43c3中，底面正方形A8C3的邊長為2,EA_L底面A8CZ）,

COu底面ABC。，..CD1PA,又CDJ.AD,

又抬CA￡>=A,PA,A￡>u平面B4D

\CD八平面「AQ,

；.NCPD是直線PC與平面PAD所成的角，

PC與平面P4）所成的角為arctan也.

2

tanZCPD=—,解得PD=2血,

PDPD2

PA=>/PD2-AD2=7（272）2-22=2.

（2）以A為原點(diǎn)，以4B，AD，AP為正方向分別為x軸，V軸，z軸，建立空間直角坐

答案第9頁，共15頁

標(biāo)系，

A(0,0,0),E(2,1,0),P(0,0,2),D(0,2,0),

AE=(2,1,0),PD=(0,2,-2),

設(shè)異面直線AE與PO所成角為4

\AEPD\2V10

則cos0=

|AE||P￡>|一石?人—10

???異面直線AE與尸。所成角的大小。=21'8。5典.

19.(1)180000cm3

(2)85.2元

【分析】(1)計算出正方體的體積減去8個小正三棱錐的體積，得到答案；

(2)計算出石凳的表面積，從而求出粉刷一個石凳的錢數(shù).

【詳解】(1)正方體的體積為6()3=216000cm3,

石凳的體積為正方體的體積減去8個正三棱錐的體積，其中一個小正三棱錐的三條側(cè)棱邊長

為30cm,

故一個小正三棱錐的體積為|X|X3O2X3O=4500cm3,

故石凳的體積為216000-4500x8=1800005?.

(2)石凳的表面由6個正方形和8個正三角形組成，其中正方形和正三角形的邊長均為

300cm，

貝|J石凳的表面積為6x(30廚+；x300x300sin60。x8=(10800+3600@cn?,

則粉刷一個石凳需要1°8°°+360()6*50=54+18百=85.2元.

10000

20.(1)證明見解析;

答案第10頁，共15頁

(2)T

PQ_2

（3）存在,

~PC~3

【分析】（1）連接MV,根據(jù)直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明；

（2）使用空間向量求解線面角的正弦值；

（3）使用空間向量法利用已知條件，求解得出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可求解.

四邊形POCE為矩形，PC與DE交于點(diǎn)N,

r.N為PC的中點(diǎn)，

又因?yàn)槔秊?4的中點(diǎn)，.?.MN/MC,

而MNu平面M￡>E,AC仁平面MOE,

AC〃平面MDE；

（2）如下圖，分別以D4,DC,DP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題意,則有41,0,0),5(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,近),

答案第11頁，共15頁

所以PA=(1,0,-夜)，PB=。，1,-V2),PC=(0,2,-近),

假設(shè)平面P8C的一個法向量為機(jī)=(x,z),

m-PB=x+y--Jlz=0

則-「，取x=l,得加=(1,1,V2),

m?PC=2y-\/2z=0

設(shè)直線PA與平面PBC所成角的平面角為e,

則s'回而向=

直線PA與平面PBC所成角的正弦值為旦.

6

(3)假設(shè)存在點(diǎn)Q*,y,z),滿足題意，

設(shè)此時券=2,則PQ=2PC(O</1<1),

即(x,y,Z-&)=〃0,2,-&),解得Q(o,2A,夜-亞㈤,

則DQ=(0,2A,>/2->/22),DA=(1,0,0),

假設(shè)平面ZMQ的一個法向量為"=(〃，b,c),

“n-。D匕Q=2=Ah。+(y/2->/2A)c=0'取』I'得公"9C1'咎五九'

則?

又平面PBC的一個法向量為％=Q,1,夜),

平面QA。與平面P8c所成銳二面角的大小為3TT,

???根據(jù)題意，則有8$?=卜。$〈〃?，〃)|=扁》