2023十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 向量（精解精析）

2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編向量（精解精析）

一、選擇題

1.（2020年高考數(shù)學課標山卷理科）已知向量a,b滿足|a|=5,|/?|=6,。/=一6,則

cos（a,a+b）=（）

31191719

A.---B.---C.——D.—

35353535

【答案】D

解析：pz|=5,|&|=6,〃.匕=-6，???4,（。+〃）=卜|+a-b=52-6=19.

卜+〃|=J（a+Z?）=+2a?b+b~-125-2x6+36=7，

〃?（〃+〃）1919

因此，cos<a,a+b>=-^-,---=———=一.

r加卜+r目5x735

故選：D.

【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及

向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.

2.（2019年高考數(shù)學課標全國II卷理科）己知A3=（2,3）,AC=（3"）,忸c|=1,則ABBC=

（）

A.-3B.—2C.2D.3

【答案】c

【解析】VAB=（2,3）,AC=（3,f）,BC=AC-A3=（1,53），:.

麻卜肝+（一3『=1,解得￡=3,

即初=0,0）,則A8-8C=（2,3>（l,0）=2xl+3x0=2.

【點評】本題考杳平面向量數(shù)量積的坐標運算，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取公

式法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.本題考點為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技

能，難度不大.學生易在處理向量的法則運算和坐標運算處出錯，借助向量的模的公式得

到向量的坐標，然后計算向量數(shù)量積.

3.（2019年高考數(shù)學課標全國I卷理科）已知非零向量a,Z?滿足同=2忖，且（a叫

則a與b的夾角為()

7i7127r54

A.—B?-C.—D.—

6336

【答案】B

解析：(a-Z?)_L6,(a-b)力=a?。一片=0,二a?)=》-=M,所以

所以卜力）=（.

4.（2019年高考數(shù)學課標全國I卷理科）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度

與肚臍至足底的長度之比為近二

（正二1ao.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美

2

人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是縣口.若某人滿足上述兩個黃金

2

分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

解析：如圖，-=-=0.618,a=0.618/J,c=0.618J,

db

c<26,則d=—^<42.07,a=c+d<68.07,/?=<110.15,

0.6180.618

所以身高/?=a+/?<178.22,

又b〉105,所以a=0.618b>64.89,身高〃=a+b>64.89+105=169.89，

故一€(169.89,178.22),故選B.

5.(2018年高考數(shù)學課標II卷(理))已知向量a,5滿足|a|=l,a-h=—\,則a?(2a-〃)=

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

解析：a<2。-5）=2|a『一a.》=2+1=3,故選B.

6.（2018年高考數(shù)學課標卷I（理））在AABC中,AO為BC邊上的中線，E為的中點,

貝!IEB-（）

31133113

A.-AB——ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

【答案】A

解析：在AABC中，AD為BC邊上的中線，E為的中點，

11/\31

EB=AB—AE=AB一一AD=AB一一（AB+AC）=-AB一一AC，故選A.

22、>44

7.（2017年高考數(shù)學課標HI卷理科）在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則

的最大值為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】法一：以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如下

圖

則，，，，連結(jié)，過點作于點

在中，有

即

所以圓的方程為

可設(shè)

由可得

所以，所以

其中，

所以的最大值為，故選A.

法二：通過點作于點，由，，可求得

又由，可求得

由等和線定理可知，當點的切線（即）與平行時，取得最大值

又點到的距離與點到直線的距離相等，均為

而此時點到直線的距離為

所以，所以的最大值為，故選A.

另一種表達：如圖，由“等和線”相關(guān)知識知，當點在如圖所示位置時，最大，且此時若，

則有，由三角形全等可得，知，所以選A.

法三：如圖，建立平面直角坐標系

設(shè)

根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是

,若滿足

即，，所以，設(shè)，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值

是，即的最大值是，故選A.

法四：由題意，畫出右圖.

設(shè)與切于點，連接.以為原點，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標系

則點坐標為.切于點.

.,.是中斜邊上的高.

即的半徑為?在上....點的軌跡方程為.

設(shè)點坐標，可以設(shè)出點坐標滿足的參數(shù)方程如下：

而，，.

??,?

兩式相加得：

（其中，）

當且僅當，時，取得最大值3.

【考點】平面向量的坐標運算：平面向量基本定理

【點評】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向

量的加、減或數(shù)乘運算.

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

8.（2017年高考數(shù)學課標H卷理科）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小

值是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【命題意圖】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平面向量的線性運算、數(shù)量積，意在考查考生

轉(zhuǎn)化與化歸思想和運算求解能力

【解析】解法一：建系法

H歹連接OP，04=(0,G),OB=(-1,0),OC=(1,0；

PC+PB=2PO,APOPA=(-x,-y)-(-x,6-y

，石、2a

/.PO?PA=x2+y2-=x2+y--------

\2/4

o

B0C/.POPA>—,???PA^PC+PB^=2POPA>-

?,?最小值為一己3

2

解法二：均值法

???

????

由上圖可知：；兩邊平方可得

?f??

最小值為

解法三：配湊法

..?最小值為

【知識拓展】三角形與向量結(jié)合的題屬于高考經(jīng)典題，一般在壓軸題出現(xiàn)，解決此類問題的通

法就是建系法，比較直接，易想，但有時計算量偏大.

【考點】平面向量的坐標運算，函數(shù)的最值

【點評】平而向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量

的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最位或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進

行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值

域、不等式我解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.

9.（2016高考數(shù)學課標in卷理科）已知向量區(qū)4=（g,孚），BC=（q,g）,則NABC=

（）

A.30°B.45°c.60°D.120°

【答案】A

,X"+立X』

［解析］由題意，得cosNABC=「"產(chǎn)=1—1__2_2=且，所以ZABC=30°,

|BA|-|BC|1X12

故選A.

1（）.（2016高考數(shù)學課標H卷理科）已知向量a=（1,冽）,6=（3,-2）,且（a+6）_L/?,則加=

()

A.一8B.-6C.6D.8

【答案】D

【解析】由+可得：（a+b）S=0,所以￡山+片=0，又a=(1,M"=(3,-2)

所以3-26+(3?+(—2)2)=°,所以加工8,故選D.

11.（2015高考數(shù)學新課標1理科）設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點=38,則)

1414

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

【答案】A

11I4

解析：由題知AO=AC+CO=AC+—8C=AC+-（AC—A3）==--AB+-AC,故

3333

選A.

考點：平面向量的線性運算

12.（2014高考數(shù)學課標2理科）設(shè)向量a,b滿足la+b|=,|a-b|=,則ab=（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

rrrrr2r2rr

析：因為|a+〃|=（a+方f=a+b+2a%=10,

rrrr,r2r2rr

\a-b\={a—by=a+b-2a-b=6,

兩式相加得：?+/=8,所以=1,故選A.

考點：（1）平面向量的模；（2）平面向量的數(shù)量積

難度：B

備注：?？碱}

二、填空題

13.（2021年高考全國甲卷理科）已知向量a=（3,l）,0=（l,0）,c=a+Zb.若。_1,，則％=

…10

【答案】一二.

3

解析：a=（3,1）力=（1,0）,:.'=。+妨=（3+幺1）,

aa?c；=3（3+Z）+lxl=0,解得k=-1，

故答案為：——?.

3

【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平而向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

力=（王，%），〃=（々，％）垂直的充分必要條件是其數(shù)量積與尤2+%丁2=°?

14.（2021年高考全國乙卷理科）已知向量a=（1,3）,。=（3,4）,若（4一4。）_1_匕，則2=

3

【答案】|

解析：因為a—勸=（1,3）—；1（3,4）=（1—343—4/1）,所以由（。一/?7?）-1人可得,

3（l-32）+4（3-4A）=0,解得2=3.

3

故答案為：—.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設(shè)。=（5,乂）/=（工2，%），

6Z±/?<=>cz-Z?=0<=>x]x2+y}y2=0,注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分.

15.（2020年高考數(shù)學課標I卷理科）設(shè)為單位向量，且|4+力|=1,則|〃-6|二

【答案】x/3

【解析】因為a,b為單位向量，所以口=1=1

所以,+目=+b）=+2。力+忖=j2+2a-0=1

解得：2a-h=-l

所以,一目=’（“_『）_2a為+忖=A/3

故答案為：6

【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.（2020年高考數(shù)學課標II卷理科）已知單位向量：，X的夾角為45。，左與之垂直，則

k=.

【答案】叵

2

TT\/2

解析：由題意可得：a-b=lxlxcos45=—，

2

由向量垂直的充分必要條件可得：（￡-“2=0,

即：kxa—ab=k--^-—0，解得：k--

22

故答案為：旦.

2

【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運算法則，向量垂直的充分必要條件等知

識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

17.（2019年高考數(shù)學課標HI卷理科）已知a,b為單位向量，且。若c=2a-哥,則

cos〈a,c〉=

【答案】

3

【解析】IN為c=2a--J5h>a-b-0'所以a.c=2a?--s/5a-b=2，

a-c_2_2

|c『=4|a/-4逐。力+5|切2=9,所以|d=3,所以cos〈a,c〉=

|a|-|c|"bG-3'

【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng).使

用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

18.（2018年高考數(shù)學課標HI卷（理））已知向量a=（l,2）,。=（2,-2）,c=（l,4）,若

c//（2a+6）,貝ij4=.

【答案】-

2

解析：依題意可得2a+/?=（2,4）+（2,—2）=（4,2）,又工=0㈤,c//（2a+b）

所以4x4—2x1=0,解得義=工.

2

19.（2017年高考數(shù)學新課標I卷理科）已知向量,的夾角為,，，則.

【答案】

【解析】法一：

所以.

法二（秒殺解法）：利用如下圖形,可以判斷出的模長是以為邊長的菱形對角線的長度，則為.

法三:坐標法

依題意，可設(shè),，所以

所以.

【考點】平面向量的運算

【點評】平面向量中涉及到有關(guān)模長的問題,用到的通法是將模長進行平方,利用向量數(shù)量

積的知識進行解答,很快就能得出答案;另外，向量是一個工具型的知識,具備代數(shù)和幾何特

征,在做這類問題時可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，會加快解題速度.

20.（2016高考數(shù)學課標I卷理科）設(shè)向量4=（加,1）,6=（1,2）,且k+則

m=_________

【答案】m=—2

【解析】由已知得：a+b=（m+l,3）

.電+q?=,]+愀Jo（m+l）2+32=/n2+l2+l2+22,解得m=一2.

21.（2015高考數(shù)學新課標2