2023屆陜西省西安市東儀中學(xué)高考最后一次沖刺模擬考試數(shù)學(xué)試題

2023屆陜西省西安市東儀中學(xué)高考最后一次沖刺模擬考試數(shù)學(xué)試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知非零向量”，匕滿足|"=切，貝叫a+力|=|2。一司”是“a_Lb”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充要條件D.既不充分也不必要條件解：

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為（）

A.3V2B.2小C.2娓D.2近

3.若|OA|=1,|03|=VLOAOB=0>點(diǎn)C在48上，且ZAOC=30"，設(shè)OC=〃zOA+aOB（九〃e硝，

則%的值為（）

n

A.-B.3C.—D.

33

4.某個(gè)小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查，得到本月的

用水量（單位：m"的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15m3的住戶的戶數(shù)為（）

5.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S,,若8%。19+。2016=0,則3的值為（）

22

6.已知雙曲線土一二=1(b>0)的漸近線方程為小土y=0,則6=()

4b2'

A.2GB.V3C.3D.46

2

7.設(shè)橢圓E：吞+￡=1(。>/,>())的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為凡B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線5f交

直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是()

2111

A.-B.-C?一D.-

3234

8.設(shè)復(fù)數(shù):滿足|z-3|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M(a,A),則知不可能為()

A.(2,73)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

9.閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是()

［開始)

A.1.1B.1C.2.9D.2.8

io.函數(shù)/(%)=(1^7-1〉。$犬圖象的大致形狀是(

y

A.

c.rDvk

11.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（％,y.）（其中，=1,2,L,300）,求得的回歸方程是9=晟+G,則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線9=晟+。上

B.若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線$=反+2上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1

C.對(duì)所有的解釋變量為（i=1,2,L,300）,bxt+a的值一定與￡有誤差

D.若回歸直線P=Ax+4的斜率方＞0,則變量x與y正相關(guān)

12.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)

中國(guó)四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計(jì)劃共有（）

A.120種B.240種C.480種D.600種

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.邊長(zhǎng)為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實(shí)線圍成的部分，將所留部分折成一個(gè)正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得

最大值時(shí)，其底面棱長(zhǎng)為.

14.連續(xù)擲兩次骰子，分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓f+y2=]9內(nèi)的概率為.

15.某次足球比賽中，A,B,C,。四支球隊(duì)進(jìn)入了半決賽.半決賽中，A對(duì)陣C,3對(duì)陣。，獲勝的兩隊(duì)進(jìn)入決

賽爭(zhēng)奪冠軍，失利的兩隊(duì)爭(zhēng)奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.

ABCD

A獲勝概率一0.4030.8

B獲勝概率0.6—0.70.5

C獲勝概率0.70.3—0.3

。獲勝概率0.20.50.7—

則A隊(duì)獲得冠軍的概率為.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。：孫=百上任意一點(diǎn)P到直線/:x+By=0的距離的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列二二二?和等比數(shù)列二二滿足：二：;二；：=±二二3二」二:?+二，+二g=3二:T二二；=二：

(/)求數(shù)列二」和二」的通項(xiàng)公式；

(〃)求數(shù)列一的前項(xiàng)和'

〈-：-：--

18.(12分)以直角坐標(biāo)系無(wú)0y的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸.已知曲線G的極坐標(biāo)方程為

p=4cose+8sin。，p是G上一動(dòng)點(diǎn)，OP=2OQ,點(diǎn)。的軌跡為

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；

x=tcosaitii

(2)若點(diǎn)M(0,l),直線/的參數(shù)方程,。為參數(shù))，直線/與曲線g的交點(diǎn)為4B,當(dāng)+取

最小值時(shí)，求直線/的普通方程.

19.(12分)已知矩形紙片A5C。中，AB=6,AO=12,將矩形紙片的右下角沿線段MN折疊，使矩形的頂點(diǎn)5落

在矩形的邊AO上，記該點(diǎn)為E,且折痕MN的兩端點(diǎn)M,N分別在邊。上.設(shè)NMNB=，,"N=/,AEMN的

面積為S.

(1)將/表示成，的函數(shù)，并確定，的取值范圍；

(2)求/的最小值及此時(shí)sin6的值；

(3)問(wèn)當(dāng)，為何值時(shí)，AEMN的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值.

20.（12分）已知點(diǎn)A、B分別在K軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，|AB|=3,=2AM-

（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線/與曲線C交于「、。兩點(diǎn)，E（O,1）,求|￡；/）『+1EQ『的取值范圍.

21.（12分）已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S,,,且滿足2S”=〃一〃2（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

(n=2k-l)

（%eN*），數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和T.若T^a（口

(2)設(shè)仇=2n2n------+6對(duì)

(n=2k)

.(1-。")(1-。”+2)2〃+2

"cN*恒成立，求實(shí)數(shù)。，。的值.

22.（10分）已知AABC是等腰直角三角形,NACB=7上T,AC=2.。，石分別為4。,48的中點(diǎn),沿?！陮??！暾燮?

2

得到如圖所示的四棱錐A-5COE.

（I）求證：平面平面ABC.

（n）當(dāng)三棱錐c-48E的體積取最大值時(shí),求平面4co與平面A.BE所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系|a+2/?H2a-切。。萬(wàn)=（）0。，6,可得選項(xiàng).

【詳解】

Ia+|=12a-b\<^>|a+261=|2a-Z?|a~+4a-b+=4a~-4a-t>+i>,

.?.等價(jià)于a4=Ooa_L〃，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱錐S—ABC,并且平面SAC,平面ABC,AC±BC,過(guò)S作S0LAC,連

接8。，AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱長(zhǎng)比較下結(jié)論.

【詳解】

如圖所示：

由三視圖得：該幾何體是一個(gè)三棱錐S—ABC,且平面SAC,平面A5C,ACVBC,

過(guò)S作SZ)_LAC,連接8D,則49=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以勿=4DC2+BC2=V20>SB=USD?+BD?=276>SA=^SD2+AD2=2血，

SC=yJSD2+AC2=2V5，

該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為2面.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

3、B

【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.

【詳解】

解：NAOC=30°

cos<OC,OA>-—

2

OCOA

MH=T

(mOA+nOB^-OAj

+胤2

mlOAl+nOB-OA

OAI+2mnOA-OB4-rrWM2

|(?A|=1,|OB|=A/3,OA-OB=Q

.m_V3

\lnr+3n22

nr=9/

又。在AB上

m>Q,n>0

.-.-=3

n

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.

4、C

【解析】

從頻率分布直方圖可知，用水量超過(guò)15m3的住戶的頻率為(005+0.01)x5=0.3,即分層抽樣的50戶中有0.3x50=15

戶住戶的用水量超過(guò)15立方米

所以小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15立方米的住戶戶數(shù)為￡X200=60,故選C

5、C

【解析】

求得等比數(shù)列｛q｝的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得率的值.

33

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為夕，；8%“9+出016=°，???。3=-=一/，二4=—:

“2016b2

因此，興=器=1+/=(

—qo

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6,A

【解析】

22L.

根據(jù)雙曲線方程二-1=1（匕＞0）,確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線方程&±y=0得到2=百求解.

4b1a

【詳解】

r22

因?yàn)殡p曲線二一與v1">0),

4b2

所以。=2,又因?yàn)闈u近線方程為Gx±y=O,

所以

所以》=2A/3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

\OF\1

連接QW,O河為A/RC的中位線，從而AQfM且廿/=大，進(jìn)而一c-,由此能求出橢圓的離心

\FA\2a-2

率.

【詳解】

如圖，連接OM,

/J

橢圓E：=1（4＞。＞0）的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為凡

B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)8在第二象限,

直線B尸交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)

???為AABC的中位線,

?.\OFMAAFB,且驚!=

C1

/.---=-,

a—c2

解得橢圓E的離心率e=￡=」.

a3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

依題意，設(shè)z=a+4,由|z-3=2,得（4-3）2+/=4,再一一驗(yàn)證.

【詳解】

^z=a+bi,

因?yàn)閨z-3|=2,

所以(a—3)2+〃=4,

經(jīng)驗(yàn)證M（4,1）不滿足,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過(guò)程，寫出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

【詳解】

初始值〃=0,5=1

,1\_

第一次循環(huán)：〃=1,S==1x—=5

22

12

第二次循環(huán)：〃=2,S：=-X—

23-3

13

第三次循環(huán)：力=3,s==—x—=

34~4

14

第四次循環(huán)：〃=4,S：=-X—

45~5

15

第五次循環(huán)：〃=5,s==—x—=

56~6

16

第六次循環(huán)：〃=6,s;=—x—：=—

67

17

第七次循環(huán)：〃=7,5==-x—：=-

181

S-X-

第九次循環(huán)：〃=8,8-9-91

191

第十次循環(huán)：〃=9,S=-x—=—<OA.

所以輸出S=9x*=0.9.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，可排除A、C,再判斷函數(shù)“X)在區(qū)間(0,上函數(shù)值與0的大小，即可得出答案.

【詳解】

解：=|—^—-1|cosx=cosx,

ll+e")U+e1

xx

r/fl—c、/xc'—11—e.7

所以/(-x)=-~—cos[-^)=---cosx=-~~7cosx=-/(x),

、XICx/CIXIt

所以函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，可排除A、C；

又當(dāng)〃力＜0,可排除D；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.

11、D

【解析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.

【詳解】

回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上，故A錯(cuò)誤；

所有樣本點(diǎn)都在回歸直線￡=邑;+4上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為±1,故B錯(cuò)誤;

若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線$=?。?4上，則%+&的值與y,相等，故c錯(cuò)誤;

相關(guān)系數(shù)r與5符號(hào)相同，若回歸直線$=應(yīng)+4的斜率方＞0,則r＞0,樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x

與y正相關(guān)，故D正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

12、B

【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

【詳解】

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有：=[o種分組方法;

將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：父=24種分配方法；

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：10x24=240種

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合中的分組分配問(wèn)題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問(wèn)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4

13、一

5

【解析】

根據(jù)題意，建立棱錐體積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.

【詳解】

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2x,則斜高為l-x,即此四棱錐的高為-2x[0<x<，

所以此四棱錐體積為V=」Md?-2x=±一2d,

33

令〃(力=/一2x5(0<x<g),

令//(%)=4九3—10x4=2x3(2—5x)=0,

2

易知函數(shù)/z(x)在尤=二時(shí)取得最大值.

4

故此時(shí)底面棱長(zhǎng)2x=y.

4

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查棱錐體積的求解，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問(wèn)題，屬綜合中檔題.

11

14、一

36

【解析】

連續(xù)擲兩次骰子共有6x6=36種結(jié)果，列出滿足條件的結(jié)果有11種，利用古典概型即得解

【詳解】

由題意知，連續(xù)擲兩次骰子共有6x6=36種結(jié)果，

而滿足條件的結(jié)果為：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)

共有11種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式,

可得所求概率

36

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15>0.18

【解析】

根據(jù)表中信息，可得A勝C的概率；分類討論B或D進(jìn)入決賽，再計(jì)算A勝B或A勝C的概率即可求解.

【詳解】

由表中信息可知，A勝C的概率為0.3；

若B進(jìn)入決賽，B勝D的概率為0.5,則A勝B的概率為0.5x04=0.2；

若D進(jìn)入決賽，D勝B的概率為0.5,則A勝D的概率為0.5x0.8=0.4；

由相應(yīng)的概率公式知，則A獲得冠軍的概率為P=0.3X（0.5X0.4+0.5X0.8）=0.18.

故答案為：0.18

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立事件的概率應(yīng)用，互斥事件的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.

16、73

【解析】

解法一：曲線。上任取一點(diǎn)「（玉）,走］,利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線/的距離的最小值；

解法二：曲線C函數(shù)解析式為y=Y3,由了=-正求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出切點(diǎn)到直線/的距離即可所求答案.

x3

【詳解】

解法一（基本不等式）：在曲線C上任取一點(diǎn)產(chǎn)

3

,X。4---

該點(diǎn)到直線/的距離為4不

a=---------

2

3

當(dāng)且僅當(dāng)|x°|=國(guó)時(shí)，即當(dāng)/=±百時(shí)，等號(hào)成立,

因此，曲線C上任意一點(diǎn)尸到直線/距離的最小值為方；

解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線。的函數(shù)解析式為y=也，則了=一中

XX

設(shè)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)PX。,坐）的切線與直線/平行，則一告=_曰，解得/=±6，

當(dāng)Xo=G時(shí)，尸（石,1）到直線/的距離1=乎=6；

當(dāng)天=一時(shí)，2卜百1）到直線/的距離d=F=J5.

所以曲線C:xy=J5上任意一點(diǎn)到直線/:x+=0的距離的最小值為6.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來(lái)找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離,

也可以設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等

題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（/）二：=:二:，二二=產(chǎn)」；（〃）7妥

【解析】

⑺直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計(jì)算得到答案.

（〃）=—==:，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.

一二一二?.J?一,〃

【詳解】

⑺-；=-：=>_：-」__；=一二,=一；-3°，故｛j|/+=1一4

解得三二:，故二二=；匚一」，丸=「<

（iry^—=---=早=串―i—

'二二二二一-d-，,二二一;：

=7+7（7T-；--T—>故二二=t+」一￡7）=二：?

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.

18、(1)Q=2cose+4sin。，(x-1)2+(j；-2)2=5；(2)x+y-l=O.

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)P,Q極坐標(biāo)分別為(A，e),3e),由OP=2OQ可得夕=g/?o=2cose+4sin/整理即可得到極坐標(biāo)方

程，進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A8對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為22,則|明啡I幽=心|，將直線/的參數(shù)方程代入。2的直角坐標(biāo)方程中，再

利用韋達(dá)定理可得人+馬=2(cosa+sina),r/2=-3,則|=(|+&|=J-弓|="也+L-4能，求得

|M4|+|M4取最小值時(shí)a符合的條件,進(jìn)而求得直線/的普通方程.

【詳解】

(1)設(shè)點(diǎn)P,。極坐標(biāo)分別為3),夕)，3>),

因?yàn)镺P=2O。,則夕=g/?o=2cose+4sin6,

所以曲線G的極坐標(biāo)方程為。=2cos8+4sin8,

兩邊同乘。，得p2-2pcos6+4spind,

所以g的直角坐標(biāo)方程為Y+丁=2尤+4y,即(x—1y+(y—2/=5.

-

—fcosa

(2)設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為fM，貝！同,|M5|=M，將直線/的參數(shù)方程J2i+tsina參數(shù))’代

入G的直角坐標(biāo)方程(X—1)2+(y—2)2=5中，整理得尸一2(cose+sina上一3=0.

由韋達(dá)定理得彳+芍=2(cosa+sina),tyt2=-3,

所以|M4|+1=聞+,|=,-21=7(A+^2)2-4^2=J4(cosa+sina)，12=〃sin2a+16226，當(dāng)且僅

當(dāng)sin2a=—1時(shí)，等號(hào)成立，貝！Jtana=-1,

所以當(dāng)|A例+|M即取得最小值時(shí)，直線/的普通方程為x+y-1=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓的位置關(guān)系.

19、(1)(2)sin6=Y3,/的最小值為也.(3)6=工時(shí)，面積S取最小值為8百

sin6>cos-6>U24)326

【解析】

(1)NENM=NMNB=0,NEMA=26,利用三角函數(shù)定義分別表示NB,MB,ME,AM,且4/+MB=6,即可得到

3

BN=——-——<12

sin。cos。

3

/關(guān)于。的解析式；BM=^-<6，即可得到。的范圍;

cos6

71

Q<0<-

2

(2)由(1)，若求/的最小值即求sinOcos?。的最大值,即可求sir?Geos,6的最大值，設(shè)為r(6)=sin?Seos’6,令

x=cos2氏則/⑹=(1一x)f,即可設(shè)g(x)=(1-,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得g(x)的最大值，進(jìn)而

求解;

1791漏則—811

(3)由題,5=5廣sin6cose=—X---X----；-------7-，設(shè)

4sin~^cos60

t=COS20^<0<^\,。(。=(1-r)/3，利用導(dǎo)函數(shù)求得/?(r)的最大值，即可求得S的最小值.

【詳解】

解：(1)AENM=AMNB=3,ZEMA=20,

故NB=/cos6,MB=ME=/sin0,AM=MEcos20=1sin6cos23.

因?yàn)?I1+MB=6,所以/sin6?cos2e+/sine=6,,

63

所以/

sine(cos26+1)sin^cos20'

3

BN=——-——<12

sin6cos6

37T7T

又身VW12,BMW6JM〈BM=^-<6，所以

cos-0124

O<0<-

2

3

所以/sin^cos^lH-^-7

jrjr

(2)記=sin6cos2a—<0<

v7124

則f2(0)=sin26cos40,

--

設(shè)％=29~4，則尸(6)=(1一%)元2,

2

記g(x)=(1-五，貝Ug'(x)=2X-3X9

21

令g'(X)=O,則X=

一12-22+A/3

當(dāng)xw2,3時(shí)，g")>°；當(dāng)xw§，——時(shí),g4x)<0,

所以g(x)在上單調(diào)遞增，在看馬學(xué)上單調(diào)遞減，

乙DD'I

故當(dāng)X=cos26=2時(shí)/取最小值，此時(shí)sin。="，/的最小值為2叵.

332

1,9

(3)AEM7V的面積S=—/-sinecos6=-x

22

4sin-^cos66^1124J24

設(shè)恤)=(1T)/,則h'(t)=3產(chǎn)—4/，令/⑺=0/=1w［；，，

所以當(dāng)1,|時(shí)/⑺>0；當(dāng)te子時(shí),〃'⑺<0,

所以〃(1)在p|上單調(diào)遞增，在j檸8上單調(diào)遞減，

7T

故當(dāng)f=33=COS2。，即e=—時(shí)，面積S取最小值為873

46

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力.

20(1)—+_y2=1(2)(4,-7—

4'I25」

【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出EP,EQ,得到EPLEQ,

所以|EP『+|EQ『=|PQ『，代入韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】

（1）設(shè)A（月,0）,B（0,%）,則考+y：=9,

uuuuu?Jx=2（x0—x）L=-x

[,一%=2（。7）[%=3y

（3Y

又由于二X+（3y）2=9，

\27

化簡(jiǎn)得M的軌跡C的方程為—+/=1.

4

3

（2）設(shè)直線PQ的方程為了二依一1,

/\2464

與C的方程聯(lián)立，消去）'得（1+4/）/一彳依一蕓=0,

/>0,設(shè)P（x，yJ,Q（x2,y2）,

24k-64

則\+X------,X.-X=---------T

25+20公-225+100產(chǎn)

由已知EP=（X［，X-1）,￡。=（%2，%-1），則

EPEQ=xtx2+（XT）（%-1）=玉龍2+|培一

=（1+上一）玉*2--后（X1+Xj）+的

25

-648,24k64

=（1+22卜__?X

25+100A:25-5---+----2--0---公--7---2--5--

一64-64/-192/+64+256公

25+100。

=0,

故直線￡P(guān)_LE。.

\EP\2+\EQ\2=\PQ『=（1+卻藥+蠟-4中j

2,A

\-6464（1+%2）（25二+4）

―4Ax-------

2）（號(hào)）'25+100公25（1+4Z:2）2

64（4+29公+2524）

25（1+4公J

令1+4/=/,則

2

f一1

644+29X3+25X

4[74[-27+66r+25z2]

|PQ『=一

25『25戶

41764

=——x

25

由于"1+4左221,0<-<1,

4"等.

所以，|EP『+|EQ|2的取值范圍為14,磬.

【點(diǎn)睛】

此題考查軌跡問(wèn)題，橢圓和直