2023屆西藏林芝第一中學(xué)高三4月第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2023屆西藏林芝第一中學(xué)高三4月第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.過拋物線V=2py（，>0）的焦點且傾斜角為a的直線交拋物線于兩點4B.\AF\=2\BF\,且A在第一象限,

則cos2a=（）

A6R3r7n2G

5595

2.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題：“今有鱉膈（加?！ò啵?，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積

幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為（）

7

45

A.90萬平方尺B.180萬平方尺

C.360〃平方尺D.135廂萬平方尺

3.已知三棱錐O-ABC的體積為2,A6C是邊長為2的等邊三角形，且三棱錐O-ABC的外接球的球心。恰好

是CD中點，則球。的表面積為（)

52440萬254

A.---B.---C.——D.24〃

333

4.已知函數(shù)=則不等式的解集是（）

A.1一B.C.（-<x>,0）D.

5.已知函數(shù)/（x）=2cosx-sin|+根（加eR）的部分圖象如圖所示.則/=（）

6.已知耳，鳥是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的-一個公共點，且/耳P工=才，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分

別為4,02,則e,,e2的關(guān)系為（）

314,4212，

—+—=B.y十寸一=4

4%

D.e：+3e/=4

7.若0<a<b<l,則b"，log/,bgi”的大小關(guān)系為（）

a

baab

Aa>b>log/,a>log,^Bb>c1>log!Z?>log/

log〃a>ah>ba>log,/?logW>ba>ab>logjZ?

8.在AABC中，“sinA>sin5”是“tanA>tan5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充要條件D.既不充分也不必要條件

9.設(shè)一個正三棱柱ABC-。斯，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬

到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為《0,則兒

為（）

1丫1

A.1.14

-+—

4⑶23J2

,0

c.D.i.w+i

⑶22⑶2

10.已知集合4={-2,-1,0,1},B={x|fMG”},若AC,則。的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

r2e￥

11.函數(shù)/（x）=1丁的圖像大致為（）

|X|

g（a）=f（b）=g（c）,則k的最大值是（）

A.3B.2C.4D.5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，％=1嗎=36,則生=.

14.設(shè)S“為等比數(shù)列｛4｝的前八項和，若4=1,且3R,2s2，S3成等差數(shù)列，則a“=.

15.直線xsina+y+2=0的傾斜角的取值范圍是.

16.不等式GT<1的解集為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點C,其短半軸長為1,一個焦點坐標(biāo)為（1,0）,點A在橢圓。上，點3在直

線曠=夜上的點，且0ALO6.

（1）證明：直線AB與圓/+>2=1相切；

（2）求AQB面積的最小值.

18.（12分）已知/（X）=0x2-2x（04x41）,求/'（尤）的最小值.

19.（12分）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是夕=4cos8.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為x軸的正半軸，建立平面

正

x=m-\-----1

?

直角坐標(biāo)系，直線1的參數(shù)方程是：｛la是參數(shù)）.

叵,

r

（1）若直線1與曲線C相交于A、B兩點，且，試求實數(shù)m值.

（2）設(shè)為曲線。上任意一點，求x+2y的取值范圍.

20.（12分）在ABC中，ZB=-,cosC=—?

43

(1)求cosA的值；

(2)點。為邊BC上的動點(不與。點重合)，設(shè)A0=>LOC,求2的取值范圍.

21.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預(yù)計該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格))'(單位:萬元)是每日產(chǎn)量工(單

位:噸)的函數(shù)：=不~~-Inx^x>1).

(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為3噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))；

(2)記每日生產(chǎn)平均成本2=加,求證：機<16;

X

2〃

(3)若財團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列?！?而口(單位:億元)遞減，連續(xù)注入6()天，求證:這6()天的總投入資金大于

加11億元.

x—3+4/

22.(10分)在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為「一'c_,0為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，工軸的正半

y=-2+3t

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為"+22cos。-8=0.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點夕是直線/的一點，過點P作曲線。的切線，切點為。，求歸。|的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

作AA_L/,1/；BELAA,,由題意sina=——，由二倍角公式即得解.

AB

【詳解】

由題意，仆°，多，準(zhǔn)線/:>=—多

作A41_U,BB］工I；BELAA,,

設(shè)|網(wǎng)=網(wǎng)=￡,

故|蝴=|A4j=2f,|AE|=f,

.A.E1.27

sin。==-ncos2a=1—2sin-a=—.

AB39

故選：C

【點睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

2、A

【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐，將三棱錐補充成一個長方體，此長方體的外接球就是該三棱錐的外

接球，由球的表面積公式計算可得選項.

【詳解】

由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的三棱錐ABC,。為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此

三棱錐所在的長方體的外接球，所以。為PC的中點，設(shè)球半徑為R,則

代=222(222，所以外接球的表面積萬萬；萬,

j_1pc)=1(AB+BC+PA)=14+5+7)=—S=4a=4x=90

、2,4422

【點睛】

本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半

徑，屬于中檔題.

3、A

【解析】

根據(jù)。是CD中點這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.

【詳解】

解：設(shè)。點到平面ABC的距離為〃，因為。是CO中點，

所以。到平面ABC的距離為“，

2

三棱錐D-A8C的體積ABc/=；?；x2x2xsin60°/=2,解得/?=2?6,

作OO'_L平面ABC,垂足O'為AHC的外心，所以CO'=2叵，且。。=*=6,

32

所以在R/CO。中，"=JCO〉+O02=后,此為球的半徑，

..1352萬

Sc=4TTRd2-=4萬—=----.

33

故選：A.

D

【點睛】

本題考查球的表面積，考查點到平面的距離，屬于中檔題.

4、B

【解析】

由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】

V2-11]

函數(shù)八幻=^~可得rconi+f,

XXX

xe(0,+8)時，r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

,「>0,e2x-'>0.

故不等式f(e'-x)>的解集等價于不等式Jr>e2M的解集.

1—x>2x—1.

,2

??尤<一?

3

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.

5、C

【解析】

由圖象可知f千=-1，可解得m=-g，利用三角恒等變換化簡解析式可得/(x)=sin2x+^■卜令/(x)=0,即可

\J22

求得占.

【詳解】

In=-1,即2cos言?sin^+m=-l,

依題意，f

3

2cosx-f—sinx+-cosx'

解得m=-g；因為/(x)=2cosx-sin71￡1

XH--

6222)2

—sin2^+-cos2x=sinf2x+-

6sinxcosx+cNx」71

2226

jrTT

所以2x0+々=2版'+2,當(dāng)％=1時，x0=—

626

故選:c.

【點睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量，考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用，難度

一般.

6、A

【解析】

]|P6|+|P段=2q

設(shè)橢圓的半長軸長為4,雙曲線的半長軸長為生,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:[附匹|=2%’解得

\PE\=a,+%A

然后在△耳夕用中，由余弦定理得:

||P引=q—4

-a2y

“1+”2r+(q—2(q+4)?(4—4).cos~—，化簡求解.

3

【詳解】

設(shè)橢圓的長半軸長為為，雙曲線的長半軸長為生，

1|P耳|+|P[=2q

由橢圓和雙曲線的定義得：局孤:“：，

\PE\=a,+a7,.2乃

叫局二―>設(shè)電=丁

a2a-2兀

在△片2月中，由余弦定理得：4c2=（q+a2y+（4一2）-2（馬+4）.（i,COS-----9

3

化簡得3a：+丹2=4c2,

31彳

即F+F=4.

e\e2

故選：A

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.

7、D

【解析】

因為0<。<力<1,所以1>a">0，

因為k）g/>logW>l,0<。<1,所以

aQ

綜上logW>〃>&">log化故選口.

a

8、D

【解析】

27r

通過列舉法可求解，如兩角分別為?7T,多時

63

【詳解】

2471

當(dāng)4=—,8=一時，sinA>sin3,但tanAvtanB,故充分條件推不出；

36

jr27r

當(dāng)A=一,8=—時，tanA>tanB,但sinA<sin3,故必要條件推不出；

63

所以“sinA>sin3”是“tanA>tan3”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

9、D

【解析】

由題意，設(shè)第〃次爬行后仍然在上底面的概率為4.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率

21

為］②若上一步在下面，則第〃一1步不在上面的概率是如果爬上來，其概率是兩種事件

21

又是互斥的，可得4根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.

【詳解】

由題意，設(shè)第〃次爬行后仍然在上底面的概率為P?.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為§月_1(〃22)；

②若上一步在下面，則第n-\步不在上面的概率是1-^,(/?>2).如果爬上來，其概率是g(l-^,),(/7>2),

兩種事件又是互斥的,+g(Ti),即?匕

.??數(shù)列1月一;)是以;為公比的等比數(shù)列，而6=g，所以+；，

故選：D.

【點睛】

本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題.

10、B

【解析】

解出x2<分別代入選項中a的值進(jìn)行驗證.

【詳解】

解：了2?。2,..「aWxWa.當(dāng)“=1時,8={-1,0,1},此時A=8不成立.

當(dāng)。=2時,8={-2,—1,0,1,2},此時AaB成立，符合題意.

故選:B.

【點睛】

本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.

11、A

【解析】

根據(jù)/(x)>()排除C,D,利用極限思想進(jìn)行排除即可.

【詳解】

解：函數(shù)的定義域為{xlxwO},/(幻>0恒成立，排除C,D,

x^ex

當(dāng)x>0時，〃")=可=m”,當(dāng)x-(),f(x)->0,排除3,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為電史>4，對于X>1恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)〃(x)=x?叱"，然后求出〃(x)的范圍，進(jìn)

x-iXX-1

一步得到攵的最大值.

【詳解】

k]nY+1

/(x)=—(ZwN+),g(x)=——,對任意的c>l,存在實數(shù)。為滿足0<Q<Z?<C,使得g(a)=/S)=g(c),

Xx-1

]nr+1k

???易得g(c)=/(b)>f(c),即—^―>-恒成立，

c-1c

lnx+1k一，

------>-,對于x>l恒成立，

x-1X

lnx+1,,、x—2-\nx

設(shè)A(x)=x------,則hz(x)=—----3—,

x-1(xT)一

令q(x)=x-2-Inx,.,./(x)=l>0在x>l恒成立，

q⑶=3—2—ln3<0,q(4)=4-2—ln4>0,

故存在%e(3,4),使得“($)=(),即/一2=lnx(),

當(dāng)xe(l,x())時，q(x)<0,力(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(%,+8)時，q(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增.

,,、一、xIn+x

???="(x。)=nn，將/—2=InX。代入得:

.I/\/（“0—2）+x（）

/一1

?.,ZeN+，且攵<%彳口曲=玉），

：.k<3

故選：A

【點睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、±6

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項公式，首先求得然后求得的.

【詳解】

設(shè)｛0“｝的公比為4,由。］=1,%=36,得q2=36,q=±6,故。2=±6.

故答案為：±6

【點睛】

本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.

14、

【解析】

試題分析：?：塔,2S:>5：成等差數(shù)列，.WNe+apuM-。產(chǎn)生+q=%=3a：=q=3,

又,:等比數(shù)列【。：，，叫,=*T=W聞.

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).

【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列

基本量；?的方程即可求解，考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.

「兀［「3萬）

15、［。，］。［彳叼

【解析】

因為sin”e[-l,1],

所以一sina￡[—1,1],

所以已知直線的斜率范圍為［-1,1］,由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是。,WU十，兀

.「八兀］「3》)

答案：0,-u—,7t

L4jL4)

16、”,2)

【解析】

通過平方，將無理不等式化為有理不等式求解即可。

【詳解】

由A/7^T<1得解得lWx<2,

所以解集是u,2)。

【點睛】

本題主要考查無理不等式的解法。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)1.

【解析】

2

(1)由題意可得橢圓。的方程為三+9=1,由點3在直線y=夜上，且。4_L06知。4的斜率必定存在，分類討論

當(dāng)OA的斜率為0時和斜率不為0時的情況列出相應(yīng)式子，即可得出直線A3與圓f+產(chǎn)=1相切；

(2)由⑴知，AQ8的面積為S=］。4卜|?；?.1

【詳解】

解：(1)由題意，橢圓C的焦點在X軸上，且b=C=l,所以4=播.

所以橢圓。的方程為1+y2=1.

由點3在直線y=正上，且。4_L06知。4的斜率必定存在，

當(dāng)。4的斜率為()時，|。4|=8，|0邳=血，

于是|AB|=2,。到4?的距離為1,直線與圓f+y2=i相切.

2

當(dāng)。4的斜率不為0時，設(shè)。4的方程為y=丘，與、+丁=1聯(lián)立得(1+2-b2=2,

22k12+2&2

所以X；

\+lk21+2F1+2公

而。？_LQ4,故。3的方程為x=-6，而8在丫=&上，放x=-&，

,11,

從而附=2+2心于是所+南盟

此時，。到AB的距離為1,直線AB與圓光?+y2=i相切.

綜上，直線AB與圓f+y2=i相切.

(2)由(1)知，498的面積為

1+（1+2公）

5=軻卜|。6|=2+2公

2J1+2-2,+2/（2

上式中，當(dāng)且僅當(dāng)左=()等號成立,

所以AO3面積的最小值為1.

【點睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意

識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

a-2,a<\

18、“4」1,

---,a>1

a

【解析】

討論a=0和a的情況，然后再分對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系，最后求出最小值

【詳解】

當(dāng)a=0時，f(x)=-2x,它在［0,1］上是減函數(shù)

故函數(shù)的最小值為/(1)=一2

當(dāng)a。0時，函數(shù)/(x)=a?一2%的圖象思維對稱軸方程為x=：

當(dāng)。之1時，ge(0，l］，函數(shù)的最小值為=一:

當(dāng)0<a<l時，->1,函數(shù)的最小值為/(1)=。-2

當(dāng)a<0時，-<1,函數(shù)的最小值為/(l)=a-2

a-2,a<1

綜上，fix).='1

.a

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題。

19、(1)”：=1或“：=3；(2)[2-275,2+275].

【解析】

(D將曲線C的極坐標(biāo)方程。=iccsF化為直角坐標(biāo)方程，在直角坐標(biāo)條件下求出曲線。的圓心坐標(biāo)和半徑，將直

線的參數(shù)方程化為普通方程，由勾股定理列出等式可求，的值；(2)將圓C化為參數(shù)方程形式，代入.由三角公

式化簡可求其取值范圍.

【詳解】

(1)曲線C的極坐標(biāo)方程是。=4cos6化為直角坐標(biāo)方程為：

'W小.=網(wǎng)直線/的直角坐標(biāo)方程為：?二一…

圓心到直線1的距離(弦心距)d=(t空J(rèn)=4

圓心(2,0)到直線J=x-冽的距離為：艮二”2二衛(wèi)=|m-2kl

02

“：=1或小=3

?.x=2+2cos6,人“〃

(2)曲線。的方程可化為晨-2)2+丁2=4,其參數(shù)方程為：｛0?A(。為參數(shù))

y=2sin8

〃(x,y)為曲線C上任意一點，x+2y=2+2^sin(6+a)

.??x+2)，的取值范圍是[2-2逐,2+26]

孫⑴汽巫⑵

【解析】

(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得sinC,再由cosA=cos卜一?-C求解即可;

ADDC，則九=禁=sinC

(2)在AOC中，由正弦定理可得3sinND4C'再由

sinCsinADACsinZDAC

0<ADAC<ABAC求解即可.

【詳解】

解：(1)在ABC中,cosC=^，所以sinC=Jl-cos2。2

3

[7t][71兀|,7171,71

所以cosA-cos7t------C=-cos——\-C=sin-sinC-cos—cosC

I4Jl44J444

也6.舊2V2-V10

--X-2---X--=-------

23236

(2)由(1)可知cosA=拽二^<0,所以A>g,

62

ADDCADsinC2

在ADC中，因為，所以/l=

sinCsinADACDC-sinZDAC-3sinZDAC'

因為0<NZMCWNBAC,所以sinZDACG(0,1],

所以/le|,+ool.

【點睛】

本題考查已知三角函數(shù)值求值，考查正弦定理的應(yīng)用.

21、(1)12-31n3；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

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(1)求得函數(shù)丫=黃rr(x〉l)的導(dǎo)函數(shù)，由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為3噸時的邊際成本.

(2)將所