第35講 三角函數(shù)的應(yīng)用（學(xué)生版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第13講三角函數(shù)的應(yīng)用

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握三角函數(shù)的圖象與解析式之間的

對應(yīng)問題的處理方法.

2.能結(jié)合實際生產(chǎn)與生活中與三角函數(shù)

之間的密切關(guān)系，用三角函數(shù)這一數(shù)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握常見的三角函數(shù)應(yīng)用問題

學(xué)模式解決與之相關(guān)的問題.

的處理方法，了解并掌握數(shù)學(xué)建模的方法與步驟，能處

3.能處理三角函數(shù)相關(guān)學(xué)科之間的問

理與三角函數(shù)相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題、物理問題及與之相關(guān)

題，用三角函數(shù)這一重要工具解決與

的其它學(xué)科與生產(chǎn)、生活有密切聯(lián)系的問題.

數(shù)學(xué)、物理學(xué)及其它學(xué)科與之相關(guān)聯(lián)

的問題.

4.掌握數(shù)學(xué)建模的重要方法與步驟，并

能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題.

漱:知識精講

*'知識點

1.三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)

律、預(yù)測等方面發(fā)揮著十分重要的作用.

教材中的例2對太陽光照以及潮汐問題的研究為我們展示了怎樣運用模型化的思想建立三角函數(shù)模型的方

法和過程.

2.三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟

三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)

值，進(jìn)而使實際問題得到解決.

步驟可記為：審讀題意一建立三角函數(shù)式一根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值一解決實際問題.

這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的

三角函數(shù)解析式.

3.三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用

我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點圖”，通過觀察散點圖并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的

函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題.

TTTT

【即學(xué)即練1】把函數(shù)產(chǎn)sin（x+§）的圖象上所有點向右平移1個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的g（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的解析式是產(chǎn)sin（s+0）（加>0,附〈兀），則（）

1兀兀

A.co=—,（p=——B.CD=29（/）=一

233

2兀

C.（o=2f0=0D.CD=2,9=—

7T

（即學(xué)即練2】電流強度/（單位:安）隨時間單位:秒）變化的函數(shù)/=Asin（初+0）（4>0,3>0,0</<］）

的圖象如圖所示，則當(dāng)右一匚秒時，電流強度是（）

100

A.一5安

C.5百安D.10安

JT

【即學(xué)即練3］如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（—X+9）+k.據(jù)此函

6

數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）

“水深/m

0618變U寸間/h

A.5B.6

C.8D.10

【即學(xué)即練4】如圖所示，質(zhì)點尸在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為尸0（及，-V2）,角

速度為1,那么點P到x軸的距離d關(guān)于時間，的函數(shù)圖象大致為（）

D

【即學(xué)即練5】某彈簧振子做簡諧振動，其位移函數(shù)為y=sin（創(chuàng)+：］（。＞0）,其中f表示振動的時間，y表

示振動的位移，當(dāng)/40,2|時，該振子剛好經(jīng)過平衡位置（平衡位置即位移為0的位置）5次，則在該過程

中該振子有（）次離平衡位置的距離最遠(yuǎn).

A.3B.2C.5D.5或6

【即學(xué)即練6】我們學(xué)過用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同

的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這

種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角。的面度數(shù)為（，則角。的余弦值為

（）A.-3B.--C.1D.正

2222

u能力拓展

考法01

1.函數(shù)解析式與圖象的對應(yīng)問題

(1)已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，可結(jié)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)排除干擾項即可得到正確的選項.

(2)函數(shù)圖象與解析式的對應(yīng)問題是高考考查的熱點，解決此類問題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的

函數(shù)性質(zhì)來解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性、單調(diào)性、值域，此外零點也可以作為判斷的依據(jù).

【典例1].己知函數(shù)/(x)=3sin(2x+e),xeR.

(1)用“五點法''作出＞=/(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；

(2)請說明函數(shù)y=/(x)的圖像可以由正弦函數(shù)，=$皿、的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到.

【即學(xué)即練7]函數(shù)y=ln(cosx)的圖象是()

CD

考法02

函數(shù)解析式的應(yīng)用

（1）已知實際問題的函數(shù)解析式解決相關(guān)問題，題目一般很容易，只需將具體的值代入計算即可.

（2）三角函數(shù)模型中函數(shù)解析式的應(yīng)用主要是對相關(guān)量物理意義的考查.

【典例2］.如圖，某海港一天從0~12h的水位高度y（單位：m）隨時間f（單位：h）的變化近似滿足函

數(shù)丁=Asin(a+e)+6(A>0<y>0,0<9<;r).

（1）求該函數(shù)的解析式；

（2）若該海港在水位高度不低于6m時為輪船最佳進(jìn)港時間，那么該海港在0~12h,輪船最佳進(jìn)港時間總

共多少小時？

【即學(xué)即練9］如圖，某地一天從6~14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)尸Asin（5+p）+伙4>0,。>0,

0<0<兀），則該函數(shù)的表達(dá)式為.

考法03

三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

【典例3］下圖是某簡諧運動的圖像.試根據(jù)圖像回答下列問題:

(1)寫出這個簡諧運動的振幅、周期與頻率

(2)從。點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復(fù)運動？如果從A點算起呢？

(3)寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達(dá)式.

【典例4］彈簧掛著的小球做上下振動，它在時間心)內(nèi)離開平衡位置(靜止時的位置)的距離/z(cm)由下面的

函數(shù)關(guān)系式表示：〃=3sin(2f+」).

4

(1)求小球開始振動的位置；

(2)求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的位置；

(3)經(jīng)過多長時間小球往返振動一次？

(4)每秒內(nèi)小球能往返振動多少次？

【典例5】單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s(單位：cm)和時間《單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s

71

—6sin(2rtr+—).

(1)作出函數(shù)的圖象.

(2)當(dāng)單擺開始擺動"=0)時，離開平衡位置的距離是多少？

(3)當(dāng)單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是多少？

(4)單擺來回擺動一次需多長時間？

考法04

三角函數(shù)在平面幾何中的應(yīng)用

【典例6】如圖，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點落在矩形的左邊上，那么折痕長度/取決于角

。的大小.探求/,。之間的關(guān)系式，并導(dǎo)出用。表示/的函數(shù)表達(dá)式.

【典例7】南開園自然環(huán)境清幽，棲居著多種鳥類，熱愛動物的南鶯同學(xué)獨愛其中形貌雅致的藍(lán)膀香鵲，于

是她計劃與生物興趣小組的同學(xué)一起在翔字樓前廣場一角架設(shè)一臺可轉(zhuǎn)動鏡頭的相機，希望可以捕捉到這

種可愛鳥兒的飄逸瞬間，南同學(xué)設(shè)計了以下草圖，為簡化模型，假設(shè)廣場形狀為正方形，邊長為1,已知相

機架設(shè)于A點處，其可捕捉到圖象的角度為45,即NPAQ=45,其中P,。分別在邊BC,C。上，記

ZBAP=0（OW45）.

(1)南鶯同學(xué)的數(shù)學(xué)老師很欣賞她的計劃，并根據(jù)她的設(shè)計草圖編制了此刻你正在思考的這道期中考試試

題，設(shè)AC與PQ相交于點R,當(dāng)。=30時，請你求出：

(i)線段。。的長為多少？

(ii)線段AR的長為多少？

(2)為節(jié)省能源，南鶯同學(xué)計劃在廣場上人員較多的時段關(guān)閉相機鏡頭的自動轉(zhuǎn)動功能，為使相機能夠捕

捉到的面積(即四邊形APCQ的面積，記為S)最大，。應(yīng)取何值？S的最大值為多少？

考法05

三角函數(shù)模型的應(yīng)用

三角函數(shù)應(yīng)用模型的三種模式：

一、給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實際問題；

二、給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題；

三、搜集一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化

規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來解決問題.

【典例8】已知某海濱浴場的海浪高度是時間f(h)的函數(shù)，記作y=o下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù).

*h)03691215182124

y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

經(jīng)長期觀測，)，=/(。的曲線可近似地看成是函數(shù)產(chǎn)ACOSM+A

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù))，=兒0$皿+人的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式；

(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8

時到晚上20時之間，有多長時間可供沖浪者進(jìn)行運動？

【典例9】心臟跳動時，血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的

讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p⑺=115+25sin160m,

其中為血壓(mmHg),f為時間(min),試回答下列問題：

(1)求函數(shù)p(f)的周期；

(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；

(3)畫出函數(shù)0⑺的草圖；

(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù).

7T

【典例10]如圖，在扇形OP。中，半徑OP=1,圓心角NPOQ=],C是扇形弧上的動點，矩形ABC。內(nèi)

接于扇形.記NPOC=e,求當(dāng)角a取何值時，矩形A8CQ的面積最大？并求出這個最大面積.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.簡諧運動y=4sin15x-gj的相位與初相分別是（）

A.5x----,—B.5%—3,4

33

7171

C.5x-3,——D.4,一

33

2.在兩個彈簧上各掛一個質(zhì)量分別為M和M2的小球，它們做上下自由振動.已知它們在時間r（s）時離

開平衡位置的位移sl（cm）和S2（cm）分別由下列兩式確定：

si=5sin（2r+V],S2=5cos（2r-?）.

24

則在時間/=玄時，SI與S2的大小關(guān)系是（）

A.51>52B.51<52

C.S|=S2D.不能確定

3.月均溫全稱月平均氣溫，氣象學(xué)術(shù)語，指一月所有日氣溫的平均氣溫.某城市一年中12個月的月均溫V（單

jr

位：C）與月份X（單位：月）的關(guān)系可近似地用函數(shù)丫=Asin-（^-3）+a（x=1,2,3,112）來表示，

O_

已知6月份的月均溫為29C,12月份的月均溫為17C，則10月份的月均溫為（）

A.20CB.20.5CC.21CD.21.5C

4.在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時間相距12h,低潮時水深為9m,高潮時水深為15m.每天潮漲潮

落時，該港口水的深度y（m）關(guān)于時間f（h）的函數(shù)圖象可以近似地看成函數(shù)y=Asin（祝+p）+A（A>0,co

>0）的圖象，其中叱也24,且f=3時漲潮到一次高潮，則該函數(shù)的解析式可以是（）

A.y=3sinT5T，+12B.y=-3sin715，+12

66

ITTT

C.y=3sin—/+12D.y=3cos-?+12

5.在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm,

周期為3s,且物體向右運動到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計時.則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）

和時間，（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

11-JT

6.若函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移多個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x),則下列說法正確的是

0

()

A.g(x)的圖象關(guān)于寸稱B.g(x)在[0,句上有2個零點

C.g(x)在區(qū)間信期)上單調(diào)遞減g(x)在1(0上的值域為一冬。

D.

7.某藝術(shù)展覽館在開館時間段(9：00—16：00)的參觀人數(shù)(單位：千)隨時間，(單位：時)的變化近

似滿足函數(shù)關(guān)系f(r)=Asin+5(A>0,94Y16),且下午兩點整參觀人數(shù)為7千,則開館中參觀

人數(shù)的最大值為()

A.1萬B.9千C.8千D.7千

8.如圖所示為2018年某市某天中6h至14h的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)產(chǎn)Asin&x+p)+

dA>0,3>0,]<9<;rJ的半個周期的圖象，則該天8h的溫度大約為(

)

r/h

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

9..已知函數(shù)/(x)=sin[2x+3J,則下列判斷錯誤的是()

A.“X)的最小值為TB.點信。)是的圖象的一個對稱中心

C./(x)的最小正周期為"D.在卜上單調(diào)遞增

10.已知/(x)=asin2x+0cos2x的最大值為了(5=4,將f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得

到的函數(shù)解析式為()

A.y=4sinl2x+yB.y=4sinlx+y

171

C.y=4sin—x+—D.V=4sin4x+—

23I3

11.有一塊矩形花圃A8CD如圖所示，其中AB=10m,BC=6cm,現(xiàn)引進(jìn)了新品種需將其擴大成矩形區(qū)域

EFGH,點、A,B,C,。均落在矩形￡FG”的邊上（不包括頂點），則擴大后的花圃的最大面積為（）

B.128m2

C.144/n2D.196病

12.電流強度/（安）隨時間f（秒）變化的函數(shù)/=Asin（胡+9）（A>0M>0,0<S<|^的圖像如圖所示,

則當(dāng)"上秒時，電流強度是（）

A.10安B.5安

c.5G安D.-5安

題組B能力提升練

TT

1.設(shè)函數(shù)/（X）=COS（5+：）在［-私兀］的圖像大致如下圖，則段）的最小正周期為（）

6

10兀In

A.一B.

9

4兀3兀

C.—D.

3

2,若2sin(a-/

=3sina-V7,貝Ijtan2a=()

2GD.考

A.-4A/3B.4A/3C.

~T~

3..函數(shù)f*）=Asin（④r+e）（A>0⑷的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是

A.函數(shù)/（x）的圖象可由y=Asinox的圖象向左平移［個單位得到

O

■7T

B.函數(shù)JU）的圖象關(guān)于直線x=§對稱

7171

C.函數(shù)/（X）在區(qū)間上是單調(diào)遞增的

D.函數(shù)/（*）圖象的對稱中心為博植,0卜eZ）

4.（多選題）如圖所示的是一質(zhì)點做簡諧運動的圖象，則下列結(jié)論正確的是（)

A.該質(zhì)點的運動周期為0.7s

B.該質(zhì)點的振幅為5

C.該質(zhì)點在0.1s和0.5s時運動速度為零

D.該質(zhì)點的運動周期為0.8s

5.（多選）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然

的象征.如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點4卜6,-3卜七發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)；且

旋轉(zhuǎn)一周用時60s.經(jīng)過右后，水斗旋轉(zhuǎn)到尸點，設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y）,其縱坐標(biāo)滿足

y=f（f）=Rsin（d+0（fNO,0>O，M<^）.則下列結(jié)論正確的是（）

B.當(dāng)止［35,55］時，點P到x軸的距離的最大值為6

C.當(dāng)fe［10,25］時，函數(shù)），=/（。是減函數(shù)

D.當(dāng)f=20時，PA=6出

6.如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin（s+夕）+8（0<夕<兀），則下列

說法正確的是（）

A.該函數(shù)的周期是16

B.該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線x=14

TT3乃

C.該函數(shù)的解析式是y=10sin(qX+丁)+20(6人14)

D.這一天的函數(shù)關(guān)系式也適用于第二天

7.(多選題)將函數(shù)"x)=2sin(2x+?)的圖象向右平移:個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=g(x),

則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=(對稱

B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(-*0)對稱

C.函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減

D.函數(shù)g(x)在[0,2句上恰有4個極值點

8.(多選題)已知函數(shù),f(x)=2cos2(2x+5+Gsin(4x+3則下列判斷正確的是()

A./(x)的周期為萬

B."X)為偶函數(shù)

C.的圖象關(guān)于直線x=f對稱

D.Dx)的值域為域1,3]

EJ(x)的圖象關(guān)于點樣可對稱

9.下表中給出了在24小時內(nèi)人的體溫的變化(從夜間零點開始計時).

時間(X)024681012

溫度(y)36.836.736.636.736.837.037.2

時間(X)141618202224

溫度(y)37.337.437.337.237.036.8

選用一個三角函數(shù)模型來近似地描述這些數(shù)據(jù)，則該模型為

10.如圖，學(xué)校有一塊矩形綠地，且48=2()111,3。=40111,現(xiàn)準(zhǔn)備在矩形空地中規(guī)劃一個三角形區(qū)域410開

TT

挖池塘，其中MN分別在邊BC。上，若NMAN*則，9面積的最小值為一

C培優(yōu)拔尖練

1.已知函數(shù)y=2sin2(x-2)+1.

8

(1)求函數(shù)的最小正周期：

(2)求函數(shù)的遞增區(qū)間.

2.如圖，它表示電流/=Asin3x+e)(A>0M>0),在一個周期內(nèi)的圖象.

(1)試根據(jù)圖象寫出1=Asin(0x+s“|d<、J的解析式；

3

(2)在任意一段訴秒的時間內(nèi)，電流/既能取得最大值A(chǔ),又能取得最小值-A嗎？

3.心臟跳動時，血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就

是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80，，而場為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(f)=115+25sinl60M其中p⑺

為血壓(mmHg),，為時間(min),試回答下列問題：

(1)求函數(shù)0⑺的周期；

(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；

(3)畫出函數(shù)以。的草圖；

(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù).

4.如圖，一只螞蟻繞一個豎直放置的圓逆時針勻速爬行，己知圓的半徑為8,小圓的圓心。距離地面的高

度為10m,螞蟻每12加”爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點兒處.

(1)將螞蟻距離地面的高度〃(m)表示為時間f(min)的函數(shù)；

(2)在