人教A數學必修二教案4.2.3 直線與圓的方程的應用

4、2、3直線與圓的方程的應用(一)

【教學目標】

利用直線與圓的位置關系及圓與圓的位置關系解決一些實際問題

【教學重難點】

教學重點：直線的知識以及圓的知識

教學難點：用坐標法解決平面幾何.

【教學過程】

一'復習準備：

(1)直線方程有幾種形式？分別為什么？

(2)圓的方程有幾種形式?分別是哪些？

(3)求圓的方程時，什么條件下，用標準方程?什么條件下用一般方程？

(4)直線與圓的方程在生產.生活實踐中有廣泛的應用.想想身邊有哪些呢?

⑸如何用直線和圓的方程判斷它們之間.的位置關系？

(6)如何根據圓的方程，判斷它們之間的位置關系？

二、講授新課：

提出問題、自主探究

例1、如圖是一橋圓拱的示意圖，根據提供信息完成以.下計算：圓拱跨度AB=84米，拱

高A6P6=15米，在建造時每隔7米需用一個支柱支撐，求：支柱A3P3的長度(精確到0.01米).

方法一：在RrAA/。中R2=422+(R-15)2可求出半徑R,而在冊AACO中

P3c2=R2-212,

A’P,=舄。一人。，從而可求得人38長度。

能否用學過的圓方程的有關知識來嘗試求解？

方法二：先求圓的方程，再把求&々長度看成△的縱坐標。

首先應建立坐標系。

如何建系？四種不同的建系方案：

-2-

分組解答，同學自選一種建系方案，同桌之間可以互相協(xié)作，相互探討。

歸納總結、鞏固步驟

總結解決應用問題的步驟：

⑴審題--分清條件和結論，將實際問題數學化；

（2）建模--將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯(lián)系的數學知識，建立數

學模型；

（3）解模--求解數學問題，得出數學結論；

（4）還原--根據實際意義檢驗結論，還原為實際問題.

流程圖：

實際問題學問題結論t^=＞實際問題結論

（審題）（建模）（解模）（還原）

變式訓練：某圓拱橋的水面跨度16米，拱高4米。有一貨船，裝滿貨過橋，頂部寬4米,

水面以上高3米,請問此船能否通過？當卸完貨返航時，船水面以上高3.9米，此時能否通過？

深入討論、提煉思想

在上面問題求解過程中，我們通過“建系”，利用直線和圓的方程來完成平面幾何.中的計

算。這一“新方法”在初等兒何的證明中也非常有用，如證明.“平行四邊形四條邊的平方和

等于兩條對角線的平方和”，再看下例：

例2、己知內接于圓P的四邊形ABCD的對角線互相垂直，不

。￡，4。于七，探求線段PE與8C的數量關系。

⑴附坐卬

-3-

思路：把四邊形特殊化，看成正方形，那么圓心與正方形的中心重合，此時忸目:^忸。.

對于一般情形，這個結論正確嗎？作如下猜想：“已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂

直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊邊長一半”，能否用學過的平面幾何知識加以證

明？

證明：(平面幾何法)連接AP并延長交圓P于點F,連接DF,CF,

VZ3=Z4.?.在Rt/ADF和Rt/AHB中/1=N2

?/Z5=Z1+Z7,N6=N2+Z7N5=Z6①

又：/ACF=900且ZCHD=90°Z.CF〃BD②

由①②可得四邊形CFDB為等腰梯形|CB|=|FD|又：|FD|=2|PE||BC|=2|PE|

用“建系”這一新工具嘗試

證明：(解析幾何法)以AC,BD交點為坐標，原點，所在直線為坐標軸建立平面直角坐標

系，設&a,0),5(0,6),C(c,0),D(d,O).

用勾股定理，歸￡|=,其中E為AO中點；

先求出圓心P的坐標及直線AD的方程，然后用點到直線距離公式求PE的長；先求出圓

心P與點E的坐標，再用兩點間距離公式求PE的長。

設圓方程為(x-m『+(y-n)2=r2,考慮到圓與x軸交于A、C兩點，令y=0,得關于x的一元

a+c

二次方程x2-2mx+(m2+n2-/)=0,然后利用韋達定理可得圓心的橫坐標〃2=——，同理可得圓

2

心的縱坐標〃=2^。V

應用圓的方程求圓心坐標，正是圓方程的具體應用。/

過圓心作兩坐標軸的垂線，利用垂徑定理來解決，很快可以求出\NP-A/

,a+cb+d、\\yE/

圓心的P坐標(^-，^―)o

DT^-------J

變式練習：設。為BC的中點，則QH〃尸E,,如何用代數方法

證明這一結論呢？

還能有什么其他發(fā)現(xiàn)？

則一組對/

(1)若圓內接四邊形的兩條對角線互相垂直，

邊的平方和等于另一組對邊的平方和；

則兩條對\1p、//

(2)若圓內接四邊形的兩條對角線互相垂直,\\X

-4-

D

角線之積等于兩組對邊之積的和；

(3)若圓內接四邊形的兩條對角線互相垂直，則經過對角線交點作其中一邊的垂線，一

定平分這一條邊的對邊。

課堂小結：

(1)直線與圓的方程在實際問題和平面幾何中的一些應用：

(2)解決實際問題的具體步驟一一審題、建模、解模、還原；

(3)解決幾何問題的新方法---解析法，主要數學思想是通過代數方法研究幾何問題，

達到數形結合的一種完美境界。用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”：

第一步：建立適當的坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉

化為代數問題；

第二步：通過代數運算，解決代數問題；

第三步：把代數運算結果"翻譯"成幾何結論；

【板書設計】

一、指數函數

1.定義

2.圖像

3.性質

二、例題

例1

變式1

例2

變式2

【作業(yè)布置】

習題4.2B組的2、3、4題

4.2.3直線與圓的方程的應用導學案(一)

課前預習學案

一、預習目標：利用直線與圓的位置關系及圓與圓的位置關系解決一些實際問題

二、預習內容：

-5-

(1)直線方程有幾種形式？.分別為什么？

(2)圓的方程有幾種形式?分別是哪些？

(3)求圓的方程時，什么條件下，用標準方程?什么條件下用一般方程？

(4)直線與圓的方程在生產.生活實踐中有廣泛的應用.想想身邊有哪些呢?

(5)如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？

(6)如何根據圓的方程，判斷它們之間的位置關系？

三、提出疑惑

課內探究學案

一、學習目標：利用直線與圓的位置關系及圓與圓的位置關系解決一些實際問題

學習重難點：直線的知識以及圓的知識

二、講授新課:

例L、如圖是一橋圓拱的示意圖，根據提供信息完成以下計算：圓拱跨度AB=84米，拱

高A6P6=15米，在建造時每隔7米需用一個支柱支撐，求：支柱A3P3的長度(精確到0.01米).

變式訓練：某圓拱橋的水面跨度16米，拱高4米。有一貨船，.裝滿貨過橋，頂部寬4米,

水面以上高3米，請問此船能否通過？當卸完貨返航時，船水面以上高3.9米，此時能否通過？

-6-

例2、已知內接于圓P的四邊形ABCD的對角線互相垂直，探求線段PE

與BC的數量關系。

⑴陷=2明.

思路：把四邊形特殊化，看成正方形，那么圓心與正方形的中心重合，此時|P￡|=；|Bq.

對于一般情形，這個結論正確嗎？作如下猜想：“已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂

直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊邊長一半”，能否用學過的平面幾何知識加以證

明？

變式練習：設。為的中點，則如何用代數方法證明這一結論呢？

還能有什么其他發(fā)現(xiàn)?

當堂檢測：

1.在空間直角坐標系中，畫出下列各點：A(0,0,3),B(1,2,3),C(2,0,4),

D(—1,2,—2)..

2.已知：長方體ABCD-A'B'C'D'的邊長AB=12,AD=8,AAZ=7,以這個長方體

的頂點B為坐標原點，射線AB,BC,BB'分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角

坐標系，求這個長方體各個頂點的坐標.

3.寫出坐標平面yOz上N.yOz平分線上的點的坐標滿足的條件.

課后練習與提高

1.圓/+,2一28一2,+1=0上的點到直線1-丁=2的距"離最大值是()

A2B1+V2C1H----D1+2V2

2

2.將直線2x—y+/l=0,沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓

f+/+2x—4)=0相切