重慶市萬(wàn)州區(qū)萬(wàn)州第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

重慶市萬(wàn)州第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)下期3月月考試題學(xué)校：____姓名：____班級(jí)：____考號(hào)：____一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分．1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.，是單位向量，則C.若，則D.任一非零向量都可以平行移動(dòng)【答案】C【解析】【分析】利用向量的有關(guān)概念即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由單位向量的定義知，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，兩個(gè)向量不能比較大小，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)榉橇阆蛄渴亲杂上蛄?，可以自由平行移?dòng)，故D項(xiàng)正確．故選：C．2.設(shè)非零向量，若，則的取值范圍為（）A.[0，1] B.[0，2]C.[0，3] D.[1，2]【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單位向量、向量加法等知識(shí)確定正確答案.【詳解】因?yàn)槭侨齻€(gè)單位向量，因此，當(dāng)三個(gè)向量同向時(shí)，取得最大值為；當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛沙山菚r(shí)，它們的和為，也即的最小值為，所以的取值范圍為.故選：C3.若向量與的夾角為，，則等于（）A.2 B.4 C.6 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，從而求得.【詳解】因?yàn)?，，解得（?fù)根舍去）.故選：C4.已知單位向量的夾角為，則（）A.9 B. C.10 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量模的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，故.故選：B.5.已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量夾角為銳角得到關(guān)于的不等式組，進(jìn)而求得的取值范圍，再結(jié)合為假命題取的取值范圍的補(bǔ)集即可得解.【詳解】當(dāng)向量向量與的夾角為銳角時(shí)，有且與方向不相同，即，解得且，因?yàn)槭羌倜}，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.6.已知三點(diǎn)A，B，C共線，不共線且A在線段BC上（不含BC端點(diǎn)），若，則的最小值為（）A.不存在最小值 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件，由三點(diǎn)共線充要條件可知，所以，由“乘1”法結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)锳在線段BC上（不含BC端點(diǎn)），所以由向量共線定理設(shè)，所以，由題意有，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：D.7.在中，點(diǎn)在邊上，且．點(diǎn)滿足．若，，則（）A. B. C.12 D.11【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算將用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，則，故故選：A.8.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖，若正八邊形的邊長(zhǎng)為，是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的位置進(jìn)行分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)與重合時(shí)，；當(dāng)在線段（除）、線段、線段，線段，線段（除）點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，所以，當(dāng)與重合時(shí)，，所以，以為原點(diǎn)，、分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知，，則，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，當(dāng)在線段（除）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以，當(dāng)在線段（除）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以.綜上所述，的最小值為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9.在中，下列式于與的值相等的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，設(shè)，則，故滿足條件為AC選項(xiàng).故選：AC.10.【多選題】已知，則（）A.若，則B.若，則C.的最小值為2D.若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】利用向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，向量模和夾角的坐標(biāo)表示，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證各選項(xiàng)中的結(jié)論.【詳解】已知，若，則，解得，A選項(xiàng)正確；若，則，解得，B選項(xiàng)正確；，，當(dāng)時(shí)，有最小值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，向量與向量的夾角為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB11.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)余弦定理判斷A；根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可判斷B；利用反證法，假設(shè)，結(jié)合余弦定理和不等式的性質(zhì)，即可判斷C；舉反例，即可判斷D.【詳解】A.由，可以得出，所以，故A正確；B.由，得，得，故B錯(cuò)誤；C.假設(shè)，則，，，，即，與矛盾，,故C正確；D.取，滿足，此時(shí),故D錯(cuò)誤．故選：AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．12.已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)形式得到方程，解出即可.【詳解】因?yàn)?，所?又，所以，解得.故答案為：.13.如圖，在四邊形中，.若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】6【解析】【分析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，再由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再求二次函數(shù)的最大值即可．【詳解】以為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，則，，，當(dāng)時(shí)，有最大值6．故答案為：6.14.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則=______；若，則面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】①.②.【解析】【分析】先由正弦定理化邊為角整理得到，兩邊平方即得的值；再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式求得的值，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，從而得到面積的最大值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)椋瑒t有，所以，得，即，故；因，，故，可得，由，解得，得，由余弦定理得，，所以，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得，，即面積的最大值為.故答案為：；.四、解答題：本大題共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.已知，.（1）設(shè)，求；（2）求向量在上的投影的數(shù)量.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的幾何意義，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由向量，，可得，且，所以.【小問(wèn)2詳解】解：由向量，，可得，且，所以向量在上的投影的數(shù)量為.16.已知向量是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若是單位向量，且，求與的夾角.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由，且，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由，求得，利用向量的夾角公式，求得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，因?yàn)?，且，可得，解得或，所以?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，且為單位向量，可得，，又因?yàn)?，可得，所以，則，因?yàn)椋?17.已知中，,，是線段上一點(diǎn)，且，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）若，求（用的式子表示）；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量運(yùn)算法則得到，從而得到，求出答案；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由三點(diǎn)共線，可得，從而求出，，從而求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由得，解得，又已知，∴，故；【小問(wèn)2詳解】以C為原點(diǎn)，CB為軸，CA為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，可得，由三點(diǎn)共線，可得，即，代入整理得，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍為18.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用內(nèi)角和定理與和角的正弦公式化簡(jiǎn)得到，即可求得角A；（2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式計(jì)算即得；（3）由三角形面積公式求出，利用余弦定理變形轉(zhuǎn)化求出，即得周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】．由正弦定理可得，因，所以，可得，為三角形內(nèi)角，，解得，，．【小問(wèn)2詳解】由已知，，所以，，，.【小問(wèn)3詳解】，，由余弦定理得，即，解得，的周長(zhǎng)為．19.蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國(guó)四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細(xì)膩的針?lè)ㄐ纬闪俗陨淼莫?dú)特的韻味，豐富程度居四大名繡之首．1915年，蜀繡在國(guó)際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國(guó)際金獎(jiǎng)，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點(diǎn)D為邊BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，．（1）若，求三角形手巾的面積；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)幫設(shè)計(jì)師計(jì)算BD的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求得的長(zhǎng)，即可得的長(zhǎng)，由三角形面積公式即可求得答案.（2）設(shè)