2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)空間角與距離

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)空間角與距離

考點梳理考情回顧高考預(yù)測空間角2023新高考Ⅰ卷第18題2023新高考Ⅱ卷第20題2022新高考Ⅰ卷第19題2022新高考Ⅱ卷第20題2021新高考Ⅱ卷第19題重點考查空間角與距離的計

算及探究，以解答題的形式

呈現(xiàn).空間距離2022新高考Ⅰ卷第19題

（1）

求證：

BD

⊥

PA

；

（2）

求

PD

與平面

PAB

所成角的正弦值.

1.異面直線所成的角：利用方向向量、空間向量的坐標(biāo)運算求解，或平

移后在三角形中求解.2.線面角：利用定義找出平面角求解或利用方向向量和法向量求解.3.二面角：利用定義找出平面角求解或利用法向量求解.4.點到平面的距離的計算：利用定義找出垂線段求解或利用等積法求解

或利用空間向量求解.

熱點

空間角與距離[典例設(shè)計]

（1）

求點

A

到平面

A

1

BC

的距離；（2）

設(shè)

D

為

A

1

C

的中點，

AA

1＝

AB

，平面

A

1

BC

⊥平面

ABB

1

A

1，求

二面角

A

－

BD

－

C

的正弦值.[思維導(dǎo)圖]（2）

如圖，連接

AB

1交

A

1

B

于點

E

.

因為

AA

1＝

AB

，所以矩形

ABB

1

A

1

為正方形.所以

AB

1⊥

A

1

B

.

因為平面

A

1

BC

⊥平面

ABB

1

A

1，平面

A

1

BC

∩平面

ABB

1

A

1＝

A

1

B

，

AB

1?平面

ABB

1

A

1，所以

AB

1⊥平面

A

1

BC

.

因為

BC

?平面

A

1

BC

，所以

AB

1⊥

BC

.

由直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1知，

BB

1⊥平面

ABC

.

又

AB

?平面

ABC

，

BC

?平面

ABC

，所以

BB

1⊥

AB

，

BB

1⊥

BC

.

因為

AB

1∩

BB

1＝

B

1，

AB

1?平面

ABB

1

A

1，

BB

1?平面

ABB

1

A

1，所以

BC

⊥平面

ABB

1

A

1.因為

AB

?平面

ABB

1

A

1，所以

BC

⊥

AB

.

總結(jié)提煉

（1）

點到平面的距離，常先聯(lián)系線面垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)定

理得到線面垂直，作出垂線段求解或利用等體積法求解.（2）

①

綜合法求二面角：作角，證明，計算.二面角的作法常利用定

義法和三垂線定理.②

空間向量法求二面角：建系，寫出點的坐標(biāo)，求法向量，計算.[對點訓(xùn)練]1.（2022·廣東模擬）如圖，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，△

ABC

是邊長

為2的正三角形，

D

是

BC

的中點，

AA

1＝2，∠

C

1

CB

＝60°，平面

BB

1

C

1

C

⊥平面

ABC

.

（1）

求證：

C

1

D

⊥

AB

；解：（1）

證明：如圖，連接

BC

1.由三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1可知，

CC

1＝

AA

1＝2.因為△

ABC

是邊

長為2的正三角形，所以

BC

＝2.所以

BC

＝

CC

1.又

因為∠

C

1

CB

＝60°，所以△

BCC

1為等邊三角形.

因為

D

是

BC

的中點，所以

C

1

D

⊥

BC

.

因為平面

BB

1

C

1

C

⊥平面

ABC

，平面

BB

1

C

1

C

∩平面

ABC

＝

BC

，

C

1

D

?平面

BB

1

C

1

C

，所以

C

1

D

⊥平面

ABC

.

因為

AB

?平面

ABC

，所以

C

1

D

⊥

AB

.

（2）

求平面

A

1

AC

1與平面

AC

1

D

夾角的正弦值.

[典例設(shè)計]例2如圖，在直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

＝

2，

AB

1⊥

BC

1，

BC

1與

B

1

C

相交于點

M

.

求：（1）

AA

1的長度；（2）

點

M

到平面

ABB

1

A

1的距離.[思維導(dǎo)圖]

CA

，

CB

，

CC

1兩兩垂直→以

C

為原點，建立空間直角坐標(biāo)系運用空間向量的坐標(biāo)運算求解→

總結(jié)提煉

距離的求解方法（1）

利用面面垂直作出垂線段.（2）

利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.（3）

利用空間向量計算.[對點訓(xùn)練]2.（2023·全國甲卷）如圖，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

A

1

C

⊥底面

ABC

，∠

ACB

＝90°，

AA

1＝2，點

A

1到平面

BCC

1

B

1的距離為1.（1）

求證：

AC

＝

A

1

C

；解：（1）

證明：因為

A

1

C

⊥平面

ABC

，

AC

?平面

ABC

，

BC

?平面

ABC

，所以

A

1

C

⊥

AC

，

A

1

C

⊥

BC

.

因為

A

1

C

1∥

AC

，所以

A

1

C

⊥

A

1

C

1.又因為∠

ACB

＝

90°，所以

BC

⊥

AC

.

因為

A

1

C

?平面

ACC

1

A

1，

AC

?

平面

ACC

1

A

1，

A

1

C

∩

AC

＝

C

，所以

BC

⊥平面

ACC

1

A

1.因為

BC

?平面

BCC

1

B

1，所以平面

ACC

1

A

1⊥平面

BCC

1

B

1.如圖，過點

A

1作

A

1

O

⊥

CC

1于點

O

.

（2）

若直線

AA

1與

BB

1之間的距離為2，求

AB

1與平面

BCC

1

B

1所成角

的正弦值.

[典例設(shè)計]例3

（2023·溫州模擬）如圖，在四棱錐

P

－

ABCD

中，

AB

∥

CD

，∠

ABC

＝90°，△

ADP

是等邊三角形，

AB

＝

AP

＝2，

BP

＝

3，

AD

⊥

BP

.

求：（1）

BC

的長度；（2）

直線

BC

與平面

ADP

所成的角的正弦值.[思維導(dǎo)圖]取

AD

的中點

F

，連接

PF

，

BF

，

BD

→

PF

⊥

AD

→

AD

⊥平面

PFB

AD

⊥平面

PFB

→平面

PFB

⊥平面

APD

→

求解→

AD

⊥

BF

→等邊三角形

ABD

→求解作

BG

⊥

PF

交

PF

的延長線于點

G

→BG

⊥平面

APD

→延長

BC

，

AD

交于點

H

，連接

GH

→∠

BHG

即為直線

BC

與平面

ADP

所成的角→

總結(jié)提煉

（1）

立體幾何中的角度與距離問題，常與面面垂直有關(guān)，由面面垂直

得出線面垂直，作出相應(yīng)的角度與距離，要根據(jù)具體圖形合理作角、

距離.（2）

空間向量法解決問題時，關(guān)注圖形的對稱性，注意建系的合理

性，以便準(zhǔn)確計算.

（2）

求二面角

A

－

PM

－

O

的余弦值.解：（2）

如圖，過點

E

作

EQ

⊥

PM

于點

Q

，連接

AQ

.

因為

PO

⊥平面

ABCD

，

PO

?平面

POM

，所以平面

POM

⊥平面

ABCD

.

因為平面

POM

∩平面

ABCD

＝

OM

，

AE

⊥

OM

，

AE

?平面

ABCD

，所以

AE

⊥平面

POM

.

因為

EQ

?平面