2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題

考點(diǎn)梳理考情回顧高考預(yù)測(cè)零點(diǎn)的存在性

的判斷與證明2021新高考Ⅱ

卷第22題1.零點(diǎn)的存在性的判斷與證明：重點(diǎn)考

查利用零點(diǎn)存在性定理，判斷與證明零

點(diǎn)的存在以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范

圍.2.隱零點(diǎn)，零點(diǎn)偏移問(wèn)題：重點(diǎn)考查零

點(diǎn)問(wèn)題中的“設(shè)而不求”方法.隱零點(diǎn)、零點(diǎn)

偏移問(wèn)題2021新高考Ⅰ

卷第22題

（2021·新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)

f

（

x

）＝（

x

－1）e

x

－

ax

2＋

b

.（1）

討論函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)性；

（2）

從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求證：函數(shù)

f

（

x

）只有一個(gè)零點(diǎn).

1.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與

x

軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化

為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.具體思路如下：（1）

利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值.對(duì)一般函數(shù)，可以直接

求導(dǎo)并討論函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值；對(duì)較為復(fù)雜的函數(shù)，可以先構(gòu)

造幾個(gè)函數(shù)，并分別借助導(dǎo)數(shù)討論這幾個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值.（2）

討論零點(diǎn)的相關(guān)問(wèn)題.由（1）可以建立函數(shù)之間的相互關(guān)系，進(jìn)

而確定函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況；也可以根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)或方程的

根的情況建立關(guān)于相關(guān)參數(shù)的不等式（組）或方程（組）.2.當(dāng)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)無(wú)法直接求解出來(lái)時(shí)，我們稱之為“隱零點(diǎn)”，即能確

定其存在，但又無(wú)法用顯性的代數(shù)進(jìn)行表達(dá).這類問(wèn)題的解題思路是對(duì)

函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，利用整體代換思想，再結(jié)合題目條件解決問(wèn)題.

熱點(diǎn)

利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題[典例設(shè)計(jì)]例1已知函數(shù)

f

（

x

）＝e1－

x

＋cos

x

，

x

∈（0，2π）.設(shè)f'（

x

）為

f

（

x

）的導(dǎo)數(shù).求證：f'（

x

）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).[思維導(dǎo)圖]令f'（

x

）＝

g

（

x

），求

g

（

x

）的導(dǎo)數(shù)→從g'（

x

）中令

h

（

x

）＝1－e

x

－1cos

x

，并求導(dǎo)→探求、證明

h

（

x

）的隱零點(diǎn)→證明g'（

x

）的變號(hào)

零點(diǎn)，即為f'（

x

）的極值點(diǎn)

總結(jié)提煉

（1）

三步求解函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問(wèn)題：第一步，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與

x

軸

（或直線

y

＝

k

）在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題.第二步，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值（最值）、

端點(diǎn)值等性質(zhì).第三步，結(jié)合圖象求解.總結(jié)提煉

（2）

需要求函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間

I

上的零點(diǎn)，但所述情形都難以求出其

準(zhǔn)確值時(shí)，可以先證明函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間

I

上存在唯一的零點(diǎn)（例

如，函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間

I

上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間

I

的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)

值異號(hào)時(shí)就可證明存在唯一的零點(diǎn)），這時(shí)可設(shè)出其零點(diǎn)是

x

0.因?yàn)?/p>

x

0

不易求出（當(dāng)然，有時(shí)是可以求出但無(wú)需求出），所以把零點(diǎn)

x

0叫做

隱零點(diǎn)；若

x

0容易求出，就叫做顯零點(diǎn)，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行.實(shí)際

上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1.已知

x

＝2是函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

－

ax

2的極值點(diǎn).（1）

求

a

的值；

[思維導(dǎo)圖]逆向問(wèn)題正向解→對(duì)函數(shù)

g

（

x

）求導(dǎo)，討論

a

的范圍研究極值→繼續(xù)構(gòu)

造新函數(shù)φ（

x

）并求導(dǎo)討論極值情況→根據(jù)φ（

x

）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

求參數(shù)范圍

總結(jié)提煉

已知零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍：①

結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的

極值點(diǎn)；②

依據(jù)零點(diǎn)確定極值的范圍；③

對(duì)于參數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)

準(zhǔn)進(jìn)行討論.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]2.已知函數(shù)

f

（

x

）＝ln

x

－

kx

（

k

∈R），

g

（

x

）＝

x

（e

x

－2）.若

g

（

x

）－

f

（

x

）≥1恒成立，求

k

的取值范圍.

[典例設(shè)計(jì)]

（1）

求實(shí)數(shù)

a

的值；（2）

設(shè)直線

y

＝

b

與兩條曲線

y

＝

f

（

x

）和

y

＝

g

（

x

）共有四個(gè)不同

的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為

x

1，

x

2，

x

3，

x

4（

x

1＜

x

2＜

x

3＜

x

4），求

證：

x

1

x

4＝

x

2

x

3.[思維導(dǎo)圖]構(gòu)造函數(shù)

F

（

x

）＝

f

（

x

）－

b

，

G

（

x

）＝

g

（

x

）－

b

→對(duì)

F

（

x

），

G

（

x

）求導(dǎo)，探求零點(diǎn)個(gè)數(shù)→令

F

（

x

）＝

G

（

x

），構(gòu)造函數(shù)，探求

方程的解→構(gòu)造函數(shù)，探求

F

（

x

）與

G

（

x

）零點(diǎn)所在區(qū)間→得

x

1，

x2，

x

3，

x

4的關(guān)系

解：（1）

a

＝1.

總結(jié)提煉

零點(diǎn)關(guān)系的證明，一般先證明兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，尋找兩個(gè)函

數(shù)的公共零點(diǎn)以及零點(diǎn)的范圍，然后利用指對(duì)數(shù)同構(gòu)尋找零點(diǎn)之間的

關(guān)系消元代換.

（2）

求證：存在直線

y

＝

b

與兩條曲線

y

＝

f

（

x

）和

y

＝

g

（

x