2015年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2015年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一.選擇題1．（3分）如圖，直線(xiàn)l1∥l2∥l3，兩直線(xiàn)AC和DF與l1，l2，l3分別相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．下列各式中，不一定成立的是（）A． B． C． D．2．（3分）用一個(gè)2倍放大鏡照一個(gè)△ABC，下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．△ABC放大后，面積是原來(lái)的2倍 B．△ABC放大后，各邊長(zhǎng)是原來(lái)的2倍 C．△ABC放大后，周長(zhǎng)是原來(lái)的2倍 D．△ABC放大后，面積是原來(lái)的4倍3．（3分）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，那么下列結(jié)論正確的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．cotB＝4．（3分）如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜05．（3分）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（4）正五邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（3分）下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．0?＝ B．如果（為非零向量），那么∥ C．設(shè)為單位向量，那么||＝1 D．如果，那么或二.填空題7．（3分）已知x：y＝5：2，那么（x+y）：y＝．8．（3分）計(jì)算：＝．9．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝．10．（3分）已知線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為2厘米，點(diǎn)P是線(xiàn)段MN的黃金分割點(diǎn)，那么較長(zhǎng)的線(xiàn)段MP的長(zhǎng)是厘米．11．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．12．（3分）如果將拋物線(xiàn)y＝﹣2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，那么所得新拋物線(xiàn)的表達(dá)式是．13．（3分）正八邊形的中心角等于度．14．（3分）用一根長(zhǎng)50厘米的鐵絲，把它彎成一個(gè)矩形框，設(shè)矩形框的一邊長(zhǎng)為x厘米，面積為y平方厘米，寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式：．15．（3分）離旗桿20米處的地方用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫棣?，如果測(cè)角儀高為1.5米，那么旗桿的高為米（用含α的三角函數(shù)表示）．16．（3分）如圖，已知⊙O的半徑為5，⊙O的一條弦AB長(zhǎng)為8，那么以3為半徑的同心圓與弦AB位置關(guān)系是．17．（3分）我們定義：如果一個(gè)圖形上的點(diǎn)A′、B′、…、P′和另一個(gè)圖形上的點(diǎn)A、B、…、P分別對(duì)應(yīng)，并且滿(mǎn)足：（1）直線(xiàn)AA′、BB′、…、PP′都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O；（2）＝＝…＝＝k，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，點(diǎn)O叫做位似中心，k叫做位似比．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OB＝BB′，如果點(diǎn)A（，3），那么點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．18．（3分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，tanB＝2，AD⊥BC于點(diǎn)D，G是△ABC的重心，將△ABC繞著重心G旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C1，并且點(diǎn)B1在直線(xiàn)AD上，聯(lián)結(jié)CC1，那么tanCC1B1的值等于．三.解答題19．計(jì)算：．20．如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，且＝．（1）求的值．（2）如果，請(qǐng)用表示．21．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，求二次函數(shù)解析式并寫(xiě)出圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)．22．如圖，某新建公園有一個(gè)圓形人工湖，湖中心O處有一座噴泉，小明為測(cè)量湖的半徑，在湖邊選擇A、B兩個(gè)點(diǎn)，在A(yíng)處測(cè)得∠OAB＝45°，在A(yíng)B延長(zhǎng)線(xiàn)上的C處測(cè)得∠OCA＝30°，已知BC＝50米，求人工湖的半徑．（結(jié)果保留根號(hào)）23．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分別是垂足．（1）求證：AC2＝AF?AD；（2）聯(lián)結(jié)EF，求證：AE?DB＝AD?EF．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣m，0）和點(diǎn)B（0，2m）（m＞0），點(diǎn)C在x軸上（不與點(diǎn)A重合）（1）當(dāng)△BOC與△AOB相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)（用m表示）（2）當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，求m的值，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）P是（2）的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，∠APC＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及∠ACP的度數(shù)．25．如圖，等邊△ABC，AB＝4，點(diǎn)P是射線(xiàn)AC上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，作BP的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段BC于點(diǎn)D，交射線(xiàn)BA于點(diǎn)Q，分別聯(lián)結(jié)PD，PQ．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，①求∠DPQ的度數(shù)，并求證：△DCP∽△PAQ；②設(shè)CP＝x，AQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面積．

2015年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.選擇題1．（3分）如圖，直線(xiàn)l1∥l2∥l3，兩直線(xiàn)AC和DF與l1，l2，l3分別相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．下列各式中，不一定成立的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】S4：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例．【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)（三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例），逐項(xiàng)分析推出正確的比例式，運(yùn)用排除法即可找到正確的選項(xiàng)．【解答】解：如圖，∵直線(xiàn)l1∥l2∥l3，∴，，，∴A、B、D選項(xiàng)中的等式成立，C選項(xiàng)中的等式不一定成立．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)，關(guān)鍵在于認(rèn)真的逐項(xiàng)分析找到成比例的線(xiàn)段．2．（3分）用一個(gè)2倍放大鏡照一個(gè)△ABC，下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．△ABC放大后，面積是原來(lái)的2倍 B．△ABC放大后，各邊長(zhǎng)是原來(lái)的2倍 C．△ABC放大后，周長(zhǎng)是原來(lái)的2倍 D．△ABC放大后，面積是原來(lái)的4倍【考點(diǎn)】S5：相似圖形．【分析】用2倍的放大鏡放大一個(gè)△ABC，得到一個(gè)與原三角形相似的三角形；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，周長(zhǎng)比等于相似比．可知：放大后三角形的面積是原來(lái)的4倍，邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)是原來(lái)的2倍，而內(nèi)角的度數(shù)不會(huì)改變．【解答】解：∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的內(nèi)角度數(shù)不變，面積為原來(lái)的4倍，周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)均為原來(lái)的2倍．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解．（1）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比．3．（3分）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，那么下列結(jié)論正確的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．cotB＝【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出即可．【解答】解：如圖所示：∵∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，∴AC＝，∴sinA＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；tanA＝＝，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；cosB＝，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；cotB＝，正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確記憶相關(guān)比例關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（3分）如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0【考點(diǎn)】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】首先根據(jù)開(kāi)口方向確定a的符號(hào)，再依據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的正負(fù)和a的符號(hào)即可判斷b的符號(hào)，然后根據(jù)與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可判斷c的正負(fù)，由此得出答案即可．【解答】解：∵圖象開(kāi)口方向向上，∴a＞0；∵圖象的對(duì)稱(chēng)軸在x軸的正半軸上，∴﹣＞0，∵a＞0，∴b＜0；∵圖象與Y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c＜0；∴a＞0，b＜0，c＜0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)圖象正確確定各個(gè)系數(shù)的符號(hào)是解決此題的關(guān)鍵，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想．5．（3分）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（4）正五邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】O1：命題與定理．【分析】利用確定圓的條件、垂徑定理、等弧的定義及正五邊形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：（1）不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，錯(cuò)誤；（3）相等的圓心角所對(duì)的弧相等，錯(cuò)誤；（4）正五邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、垂徑定理、等弧的定義及正五邊形的性質(zhì)，難度不大．6．（3分）下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．0?＝ B．如果（為非零向量），那么∥ C．設(shè)為單位向量，那么||＝1 D．如果，那么或【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義的知識(shí)求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、0?＝，故正確；B、如果（為非零向量），那么∥；故正確；C、設(shè)為單位向量，那么||＝1，故正確；D、如果，沒(méi)法判斷與的關(guān)系；故錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度不大，注意熟記定義是解此題的關(guān)鍵．二.填空題7．（3分）已知x：y＝5：2，那么（x+y）：y＝7：2．【考點(diǎn)】S1：比例的性質(zhì)．【分析】根據(jù)合比性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由合比性質(zhì)，得（x+y）：y＝7：2，故答案為：7：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了合比性質(zhì)：＝?＝．8．（3分）計(jì)算：＝﹣+5．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加減運(yùn)算法則求解即可求得，注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．【解答】解：＝2﹣3+5＝﹣+5．故答案為：﹣+5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的運(yùn)算．此題難度不大，注意掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝．【考點(diǎn)】S4：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例．【分析】由平行可得到＝，代入可求得EC，再利用線(xiàn)段的和可求得AC．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得EC＝，∴AC＝AE+EC＝2+＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，掌握平行線(xiàn)分線(xiàn)段所得線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．10．（3分）已知線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為2厘米，點(diǎn)P是線(xiàn)段MN的黃金分割點(diǎn)，那么較長(zhǎng)的線(xiàn)段MP的長(zhǎng)是（﹣1）厘米．【考點(diǎn)】S3：黃金分割．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】直接根據(jù)黃金分割的定義求解．【解答】解：∵點(diǎn)P是線(xiàn)段MN的黃金分割點(diǎn)，∴較長(zhǎng)的線(xiàn)段MP的長(zhǎng)＝MN＝×2＝（﹣1）cm．故答案為（﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線(xiàn)段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．11．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣3）．【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，所以二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）．故答案為（0，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式．12．（3分）如果將拋物線(xiàn)y＝﹣2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，那么所得新拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y＝﹣2（x+3）2+1．【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專(zhuān)題】46：幾何變換．【分析】由于拋物線(xiàn)平移前后二次項(xiàng)系數(shù)不變，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫(xiě)出新拋物線(xiàn)解析式．【解答】解：拋物線(xiàn)y＝﹣2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，所得新拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝﹣2（x+3）2+1．故答案為y＝﹣2（x+3）2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線(xiàn)平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線(xiàn)解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．13．（3分）正八邊形的中心角等于45度．【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓．【分析】根據(jù)中心角是正多邊形相鄰的兩個(gè)半徑的夾角來(lái)解答．【解答】解：正八邊形的中心角等于360°÷8＝45°；故答案為45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是牢記中心角的定義及求法．14．（3分）用一根長(zhǎng)50厘米的鐵絲，把它彎成一個(gè)矩形框，設(shè)矩形框的一邊長(zhǎng)為x厘米，面積為y平方厘米，寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式：y＝﹣x2+25x．【考點(diǎn)】HD：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式．【分析】易得矩形另一邊長(zhǎng)為周長(zhǎng)的一半減去已知邊長(zhǎng)，那么矩形的面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)的積．【解答】解：由題意得：矩形的另一邊長(zhǎng)＝50÷2﹣x＝25﹣x，則y＝x（25﹣x）＝﹣x2+25x．故答案為y＝﹣x2+25x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列二次函數(shù)關(guān)系式；掌握矩形的邊長(zhǎng)與所給周長(zhǎng)與另一邊長(zhǎng)的關(guān)系是解決本題的突破點(diǎn)．15．（3分）離旗桿20米處的地方用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫棣粒绻麥y(cè)角儀高為1.5米，那么旗桿的高為（1.5+20tanα）米（用含α的三角函數(shù)表示）．【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了已知角的鄰邊求對(duì)邊，用正切值計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：旗桿比儀器高20tanα，測(cè)角儀高為1.5米，故旗桿的高為（1.5+20tanα）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．16．（3分）如圖，已知⊙O的半徑為5，⊙O的一條弦AB長(zhǎng)為8，那么以3為半徑的同心圓與弦AB位置關(guān)系是相切．【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理；MJ：圓與圓的位置關(guān)系．【分析】過(guò)O作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC，再根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：過(guò)O作OC⊥AB于C，連接OA，則∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCA中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理得：OC＝＝＝3，∵3＝3，∴以3為半徑的同心圓與弦AB位置關(guān)系是相切．故答案為：相切．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，垂徑定理，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OC的長(zhǎng)，注意：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有：相離，相切，相交．17．（3分）我們定義：如果一個(gè)圖形上的點(diǎn)A′、B′、…、P′和另一個(gè)圖形上的點(diǎn)A、B、…、P分別對(duì)應(yīng)，并且滿(mǎn)足：（1）直線(xiàn)AA′、BB′、…、PP′都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O；（2）＝＝…＝＝k，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，點(diǎn)O叫做位似中心，k叫做位似比．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OB＝BB′，如果點(diǎn)A（，3），那么點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（5，6）．【考點(diǎn)】D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；SC：位似變換．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)得BC∥B′C′，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到＝＝，則△A′B′C′與△ABC的位似比為2，然后根據(jù)如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k進(jìn)行求解．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴BC∥B′C′，∴＝＝，∴△A′B′C′與△ABC的相似比為2，而點(diǎn)A（，3），∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（×2，3×2），即A′（5，6）．故答案為（5，6）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．18．（3分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，tanB＝2，AD⊥BC于點(diǎn)D，G是△ABC的重心，將△ABC繞著重心G旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C1，并且點(diǎn)B1在直線(xiàn)AD上，聯(lián)結(jié)CC1，那么tanCC1B1的值等于或．【考點(diǎn)】K5：三角形的重心；R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】分類(lèi)討論：當(dāng)△ABC繞著重心G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，如圖1，設(shè)GD＝x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD＝CD，再根據(jù)重心的性質(zhì)得AG＝2GD＝2x，則AD＝AG+DG＝3x，在Rt△ABD中，利用正切定義得到BD＝AD＝x，則CD＝x，接著根據(jù)勾股定理計(jì)算出CG＝x，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BGD＝∠DGD1，GD＝GD1＝x，C1D1＝CD＝x，由于而GD⊥BC，所以GD1⊥B1C1，點(diǎn)D1在CG上，于是可得CD1＝CG﹣GD1＝x，則在Rt△CC1D1中，利用正切的定義得到tan∠CC1D1＝＝；當(dāng)△ABC繞著重心G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，如圖2，設(shè)DG＝x，與前面一樣，可求得GD1＝GD＝x，C1D1＝CD＝x，則CD1＝x，在Rt△CC1D1中，利用正切定理得到tan∠CC1D1＝＝．【解答】解：當(dāng)△ABC繞著重心G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，如圖1，設(shè)GD＝x，∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD＝CD，∴重心G在A(yíng)D上，∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GD＝2x，∴AD＝AG+DG＝3x，在Rt△ABD中，∵tanB＝＝2，∴BD＝AD＝x，∴CD＝x，在Rt△CDG中，CG＝＝x，∵△ABC繞著重心G旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C1，并且點(diǎn)B1在直線(xiàn)AD上，∴∠BGD＝∠DGD1，GD＝GD1＝x，C1D1＝CD＝x，而GD⊥BC，∴GD1⊥B1C1，點(diǎn)D1在CG上，∴CD1＝CG﹣GD1＝x﹣x＝x，在Rt△CC1D1中，tan∠CC1D1＝＝＝；當(dāng)△ABC繞著重心G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，如圖2，設(shè)DG＝x，與前面一樣，可求得GD1＝GD＝x，C1D1＝CD＝x，則CD1＝x+x＝x，在Rt△CC1D1中，tan∠CC1D1＝＝＝，綜上所述，tanCC1B1的值等于或．故答案為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)．重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解直角三角形．三.解答題19．計(jì)算：．【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【解答】解：原式＝4×﹣×+×＝1+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．20．如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，且＝．（1）求的值．（2）如果，請(qǐng)用表示．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】（1）由AB∥CD，可得△AOB∽△DOC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得的值．（2）由（1）可得＝﹣＝﹣．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝，∴＝；（2）由（1）知，AD＝AO，∴＝﹣＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，求二次函數(shù)解析式并寫(xiě)出圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)．【考點(diǎn)】H7：二次函數(shù)的最值；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，設(shè)出二次函數(shù)解析式，把A與C坐標(biāo)代入求出a與k的值，確定出二次函數(shù)解析式，找出函數(shù)圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣2）2+k，把A（1，0），C（0，6）代入得：，解得：，則二次函數(shù)解析式為y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6，二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．22．如圖，某新建公園有一個(gè)圓形人工湖，湖中心O處有一座噴泉，小明為測(cè)量湖的半徑，在湖邊選擇A、B兩個(gè)點(diǎn)，在A(yíng)處測(cè)得∠OAB＝45°，在A(yíng)B延長(zhǎng)線(xiàn)上的C處測(cè)得∠OCA＝30°，已知BC＝50米，求人工湖的半徑．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】M3：垂徑定理的應(yīng)用．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，由垂徑定理可知AD＝BD，根據(jù)∠OAB＝45°可知AD＝OD，設(shè)AD＝x，則OD＝x，OA＝x，CD＝x+BC＝（x+50）米，再根據(jù)∠OCA＝30°即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，則AD＝BD，∵∠OAB＝45°，∴AD＝OD，∴設(shè)AD＝x，則OD＝x，OA＝x，CD＝x+BC＝x+50）．∵∠OCA＝30°，∴＝tan30°，即＝，解得x＝25+25，∴OA＝x＝×（25+25）＝（25+25）（米）．答：人工湖的半徑為（25+25）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．23．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分別是垂足．（1）求證：AC2＝AF?AD；（2）聯(lián)結(jié)EF，求證：AE?DB＝AD?EF．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）證明△ACD∽△AFC，得到，即可解決問(wèn)題．（2）證明A、E、F、C四點(diǎn)共圓，得到∠AFE＝∠ACE，這是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明∠AFE＝∠B，結(jié)合∠FAE＝∠BAD，得到△AEF∽△ADB，列出比例式即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，∵∠ACB＝90°，CF⊥AD，∴∠ACD＝∠AFC，而∠CAD＝∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2＝AF?AD．（2）如圖，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴A、E、F、C四點(diǎn)共圓，∴∠AFE＝∠ACE；而∠ACE+∠CAE＝∠CAE+∠B，∴∠ACE＝∠B，∠AFE＝∠B；∵∠FAE＝∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD＝BD：EF，∴AE?DB＝AD?EF．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定及其性質(zhì)來(lái)分析、判斷、推理或解答．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣m，0）和點(diǎn)B（0，2m）（m＞0），點(diǎn)C在x軸上（不與點(diǎn)A重合）（1）當(dāng)△BOC與△AOB相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)（用m表示）（2）當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，求m的值，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）P是（2）的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，∠APC＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及∠ACP的度數(shù)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）分類(lèi)討論：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值可得p點(diǎn)坐標(biāo)，分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)據(jù)，可得∠COP的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形得到性質(zhì)，可得答案；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，1）時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)據(jù)，可得∠AOP的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0）或（4m，0）．或（﹣4m，0）；（2）當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，，解得．二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）；（3）作PH⊥AC于H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a2+4），∵∠AHP＝∠PHC＝90°，∠APH＝∠PCH＝90°﹣∠CPH，∴△APH∽△PCH，∴＝，即PH2＝AH?CH，（﹣a2+4）2＝（a+2）（2﹣a）．解得a＝，或a＝﹣，即P（，1）或（﹣，1），如圖：當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，1）時(shí)，OP1＝2＝OC，sin∠P1OE＝＝∴∠COP＝30°，∴∠ACP＝＝75°當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，1）時(shí)，sin∠P2OF＝＝，∠P2OF＝30°．由三角形外角的性質(zhì)，得∠P2OF＝2∠ACP，即∠ACP＝15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵；（2）利用全等三角形的性質(zhì)，解三元一次方程組；（3）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵，正弦函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．25．如圖，等邊△ABC，AB＝4，點(diǎn)P是射線(xiàn)AC上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，作BP的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段BC于點(diǎn)D，交射線(xiàn)BA于點(diǎn)Q，分別聯(lián)結(jié)PD，PQ．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，①求∠DPQ的度數(shù)，并求證：△DCP∽△PAQ；②設(shè)CP＝x，AQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面積．【考點(diǎn)】K8：三角形的外角性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KG：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)；SO：相似形綜合題．【專(zhuān)題】15：綜合題．【分析】（1）①根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得BD＝PD，BQ＝PQ，即可證到△BD