武漢市武昌區(qū)2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期月考試題與參考答案

武漢市武昌區(qū)2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期月考試題與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合是和的公倍數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】分析可得，利用交集的定義可求得集合.【詳解】由題意可知，由，可得，由得，因此，.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.4 B. C.16 D.17【答案】D【分析】解方程求，再求即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由余弦和差公式及齊次式化弦為切即可求.【詳解】.故選：D4.紅薯于1593年被商人陳振龍引入中國，也叫甘薯、番薯等.紅薯耐旱耐脊、產(chǎn)量豐富，曾于數(shù)次大饑荒年間成為不少人的“救命糧食”，現(xiàn)因其生食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛的美食甜點.小澤和弟弟在網(wǎng)紅一條街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準(zhǔn)備分著吃，如圖，該紅薯可近似看作三部分：左邊部分是半徑為的半球；中間部分是底面半徑為、高為的圓柱；右邊部分是底面半徑為、高為的圓錐，若小澤準(zhǔn)備從中間部分的甲、乙、丙、丁四個位置選擇一處將紅薯掰成兩塊，且使得兩塊的體積最接近，則小澤選擇的位置是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【分析】算出分別從甲乙丙丁處分兩塊的體積之差，比較大小即可.【詳解】若從甲處分為兩塊，則左側(cè)體積為，右側(cè)體積為，兩者體積差為，若從乙處分為兩塊，則左側(cè)體積為，右側(cè)體積為，兩者體積差為，若從丙處分為兩塊，則左側(cè)體積為，右側(cè)體積為，兩者體積差為，若從丁處分為兩塊，則左側(cè)體積為，右側(cè)體積為，兩者體積差為，故從乙處掰成兩塊，體積最接近，故選：B.5.在中，，，，若點滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量轉(zhuǎn)化為基地進行表示即可求解.【詳解】.故選：C.6.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先通過變形將問題轉(zhuǎn)化為比較，，的大小，再通過觀察三個式子的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此進行比較得解.【詳解】因為，，，所以只需要比較，，的大小即可，令，則，因為，所以，則，所以在上單調(diào)遞增，故，則，即，所以；令，則，因為，所以，，所以在上單調(diào)遞增，故，即，即，所以；綜上：.故選：A.7.已知隨機事件，，滿足，，，則下列說法錯誤的是（）A.不可能事件與事件互斥B.必然事件與事件相互獨立C.D.若，則【答案】D【分析】根據(jù)事件的概念，以及實踐之間的關(guān)系，和條件概率的運算求解.【詳解】因為不可能事件與事件不會同時發(fā)生，所以互斥，A正確；因為,所以，所以必然事件與事件相互獨立，B正確；因為，且不會同時發(fā)生，所以，C正確；例如，拋擲一枚骰子1次的試驗，設(shè)事件為出現(xiàn)點數(shù)小于等于4，事件為出現(xiàn)點數(shù)小于等于2，則，但，D錯誤，故選:D.8.已知A是橢圓：的上頂點，點，是上異于A的兩點，是以A為直角頂點的等腰直角三角形.若滿足條件的有且僅有1個，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意聯(lián)立方程求點的橫坐標(biāo)，由結(jié)合弦長公式整理可得關(guān)于的方程有且僅有一個解，分類討論運算求解.【詳解】由題意可得：，∵直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線，聯(lián)立方程，消去y得：，解得或（舍去），即點B的橫坐標(biāo)為，同理可得：點C的橫坐標(biāo)為，由題意可得：，即，整理得：，由題意結(jié)合橢圓的對稱性可得：關(guān)于的方程有且僅有一個解，則有：當(dāng)是方程的根，即，則，若，則有且僅有一個解，即符合題意；當(dāng)不是方程的根，則在內(nèi)無零點，∵，則的對稱軸，∴，解得；綜上所述：，故橢圓離心率.故選：B.二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的有（）A.是遞減數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABC【分析】對于A，利用作差法判斷即可；對于BCD，利用與的關(guān)系求得，從而對選項逐一分析檢驗即可.【詳解】對于A，因為，所以，故，則，所以是遞減數(shù)列，故A正確；對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，滿足，所以，故當(dāng)時，，所以是等比數(shù)列，故B正確；對于C，由選項B知，故C正確；對于D，因為，，所以，故D錯誤.故選：ABC.10.在正方體中，點在線段上，且，動點在線段上（含端點），則下列說法正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.若直線平面，則C.不存在點使平面平面D.存在點使直線與平面所成角為【答案】AB【分析】選項A連接，設(shè)正方體的棱長為，說明平面，可說明點到平面的高度為定值，為定值，利用等體積法即可說明，選項B建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可，選項C，當(dāng)處于處時即可判斷，選項D借助選項B中的相關(guān)結(jié)論，假設(shè)存在點使直線與平面所成角為，根據(jù)假設(shè)條件，表示出線面角，列出等式，推出結(jié)論即可.【詳解】選項A，連接，如圖所示：設(shè)正方體的棱長為，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，即平面所以直線上的所有點到平面的距離都相等都等于正方體的棱長為定值，所以點到平面的高度為，由為定值，所以為定值，故A正確，以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，設(shè)正方體的棱長為1，因為點在線段上，且，所以在線段的中點，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，由，設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，所以直線平面，所以，即，解得，，故B選項正確，當(dāng)處于點時，平面即為平面，而在正方體中平面平面，故存在點，使得平面平面，故C錯誤，由B選項知，由平面,所以為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，由線面角的性質(zhì)有：，假設(shè)存在點使直線與平面所成角為，則，即，因為，無實數(shù)解，所以不存在點使直線與平面所成角為，故D選項不正確，故選：AB.11.已知點是曲線：上動點，點是直線上的動點.點是坐標(biāo)原點，則下列說法正確的有（）A.原點在曲線上B.曲線圍成的圖形的面積為C.過至多可以作出4條直線與曲線相切D.滿足到直線的距離為的點有3個【答案】ACD【分析】分類討論后，根據(jù)對稱性畫出函數(shù)圖像，從而可以進一步求解.【詳解】對于A：將原點坐標(biāo)代入，正確，故A選項正確；對于B：當(dāng)時，曲線：，即，即，第一象限內(nèi)曲線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為，所以總面積為：.故選項B錯誤；由函數(shù)圖像知過至多可以作出4條直線與曲線相切，故選項C正確；原點到直線的距離為：滿足到直線的距離為的點有共3個，故選項D正確.故選：ACD.12.聲音中包含著正弦函數(shù)，周期函數(shù)產(chǎn)生了美妙的音樂.若我們聽到的聲音的函數(shù)是，則（）A.的最小正周期是B.是的最小值C.是的零點D.在存在極值【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的最小正周期，可判斷A選項；利用特值法可判斷B選項；計算出的值，可判斷C選項；利用函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，且，因此，函數(shù)的最小正周期是，A對；對于B選項，因為，又因為，故不是的最小值，B錯；對于C選項，對任意的，，故是的零點，C對；對于D選項，，則，當(dāng)時，，則，令可得，所以，，可得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，因此，在存在極值，D對.故選：ACD.三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若平面上有7條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點，則共有______個交點（用數(shù)字作答）.【答案】21【分析】每兩條直線確定一個點，只要求出7條直線任取兩條的方法數(shù)即可.【詳解】因為平面上有7條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點，所以任意兩條直線確定一個交點，則共有個點，故答案：21.14.若圓與圓外離，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)圓心距大于半徑和求解即可.【詳解】解：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，故圓心為，半徑為；將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，故圓心為，半徑為；因為圓與圓外離，所以，即，即，解得或，所以，實數(shù)的取值范圍是故答案為：15.已知的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則正整數(shù)______.【答案】14或23【解析】【分析】根據(jù)第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列可得，化簡得即可求解【詳解】因為展開式中，第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，化簡可得解得或，故答案為：14或2316.某校采用分層隨機抽樣采集了高一、高二、高三年級學(xué)生的身高情況，部分調(diào)查數(shù)據(jù)如下：項目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差高一100167120高二100170150高三100173150則總的樣本方差______.【答案】146【分析】由分層抽樣后的樣本方差公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題意知，總的樣本平均數(shù)為，∴總的樣本方差為：故答案為：146.四、解答題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，，分別為的內(nèi)角，，的對邊，且（1）求；（2）若，的面積為，求，.【答案】（1）（2）【分析】（1）已知等式由正弦定理邊化角，再由兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡，可求角.（2）由三角形面積公式和余弦定理，列方程組求，.【小問1詳解】已知，由正弦定理得：，故，由，得：，代入上式，于是，由，得，從而上式消去得，于是，即，由得.【小問2詳解】由的面積為得：，代入，得：①，由余弦定理得，代入，，，得：②，由①②解得.18.已知數(shù)列滿足，，，表示數(shù)列的前項和（1）求證：（2）求使得成立的正整數(shù)的最大值【答案】（1）證明見解析（2）11【分析】（1）根據(jù)累加法即可證明；（2）結(jié)合數(shù)列特點根據(jù)窮舉法即可求解.【小問1詳解】證明：由得累加得于是.【小問2詳解】解：由，，得：對任意，，進而，故數(shù)列單調(diào)遞增，由（1）可知，故，于是只需求使得最大的正整數(shù)，從而只需求使得最大的正整數(shù)，由，，列舉得：，，，，，，，，，，，結(jié)合數(shù)列單調(diào)遞增，于是使得最大的正整數(shù)為11.19.“惟楚有材”牌坊地處明清貢院舊址，象征著荊楚仕子朱衣點額的輝煌盛況和江城文脈的源遠流長，某學(xué)生隨機統(tǒng)計了來此參觀的名游客，其中名女性中有名在“惟楚有材”牌坊下拍照，名男性中有名在“惟楚有材”牌坊下拍照.（1）用女性拍照的頻率估計概率，若再來名女性（是否拍照互相之間不影響）中至少有名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析游客在“惟楚有材”牌坊下拍照是否與性別有關(guān)附：，其中【答案】（1）（2）游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別有關(guān).【分析】（1）根據(jù)頻率可計算出每名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；根據(jù)獨立事件概率公式依次計算出再來名女性，分別有名女性拍照的概率，加和即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知可得列聯(lián)表，計算得到，根據(jù)獨立性檢驗的基本思想可得結(jié)論.小問1詳解】由頻率估計概率可知：每名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；則再來名女性，其中名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為；名女性“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為；名女性“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為；至少名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為.【小問2詳解】由已知可得列聯(lián)表如下：男性女性合計拍照不拍照合計零假設(shè)：游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別無關(guān).，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，錯誤，即游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別有關(guān).20.在三棱錐中，，平面，點是棱上的動點，點是棱上的動點，且.（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L最小時，求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）作，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，易證得為等腰直角三角形，由此可得坐標(biāo)，根據(jù)可證得結(jié)論；（2）用表示坐標(biāo)，將表示為關(guān)于的二次函數(shù)，由此可確定時，最小，進而得到坐標(biāo)；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】在平面內(nèi)過點作，使得點與點在同側(cè)，平面，平面，平面，，，則兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，；由得：，，為等腰直角三角形，；同理可得：為等腰直角三角形，當(dāng)時，，，分別是中點，，，，，，.【小問2詳解】由（1）可得：，，，為等腰直角三角形；，，則；當(dāng)時，最小，分別是中點，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.21.已知點是拋物線：上一點，斜率為2的動直線交于，（異于）的兩點，直線，的傾斜角互補.（1）求拋物線的方程；（2）若，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線可得，根據(jù)直線，的傾斜角互補可得到，計算即可求解；（2）利用弦長公式可得，繼而可得到，，然后利用數(shù)量積的夾角公式即可求解【小問1詳解】由直線的斜率為2，設(shè)直線：，，聯(lián)立，消去得：，，由韋達定理得：，由直線，的傾斜角互補且，為