2022-2023學(xué)年山西省大同市乾縣薛錄中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年山西省大同市乾縣薛錄中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖所示的平面區(qū)域所對(duì)應(yīng)的不等式組是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：根據(jù)二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域，可知如圖所示的平面區(qū)域所對(duì)應(yīng)的不等式組是，故選A.考點(diǎn)：二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.2.設(shè)，若，則=（

）A.

B.1 C. D.參考答案：B略3.如圖21－4所示的程序框圖輸出的結(jié)果是()圖21－4A．6

B．－6

C．5

D．－5參考答案：C4.定義，已知x、y滿足條件

，若，則z的取值范圍是

（

）A.[-10,8]

B.[2,8]

C.[-10,6]

D.[-16,6]參考答案：A5.拋擲一枚骰子，記事件A為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，事件D為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是6或4”，則下列各對(duì)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是（）A.A與B

B.B與C

C.A與D

D.C與D參考答案：C6.已知圓,圓,分別是圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：A略7.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有A．4種B．10種

C．18種

D．20種參考答案：B略8.已知,,則下列各式中正確的是(

)A.a＜＜b

B.a＜b＜C.b＜a＜

D.b＜＜a

參考答案：B9.直線與圓的位置關(guān)系是A.相交

B．相切

C．相離

D．與值有關(guān)參考答案：10.右圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)之和是（

）A．62

B．63C．64

D．65參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等比數(shù)列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,則｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=___________參考答案：12.下列命題中，真命題的序號(hào)是 .①中，②數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列{}是等差數(shù)列.③銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，，則的取值范圍是.④等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為,已知+-=0，=38,則m=10.參考答案：①③④13.函數(shù)f（x）=xex的最小值是

．參考答案：﹣

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函數(shù)在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)減，在（﹣1，+∞）上單調(diào)增∴x=﹣1時(shí)，函數(shù)y=xex取得最小值，最小值是﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題．14.函數(shù)f（x）=x3+sinx，（﹣1＜x＜1），若f（x2）+f（﹣x）＞0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是：．參考答案：（﹣1，0）【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且在（﹣1，1）上增函數(shù)，由此可以將f（x2）+f（﹣x）＞0轉(zhuǎn)化為，解可得x的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，則有f′（x）=3x2+cosx≥0，故函數(shù)f（x）為增函數(shù)，f（x2）+f（﹣x）＞0?f（x2）＞﹣f（﹣x）?f（x2）＞f（x）?，解可得：﹣1＜x＜0，即x的取值范圍是（﹣1，0）；故答案為：（﹣1，0）15.計(jì)算，可以采用以下方法：構(gòu)造等式：，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，在上式中令，得．類比上述計(jì)算方法，計(jì)算_________．參考答案：略16.已知函數(shù)，則__________.參考答案：-117.關(guān)于的不等式恒成立，則的范圍是

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線與射線，過點(diǎn)作直線分別交兩射線于點(diǎn)A，B（不同于原點(diǎn)O）.(1)當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程；(2)求的最小值；(3)求的最小值.參考答案：解:(1)設(shè)因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線，因?yàn)?，，…?(2分)所以，得，即，…………………..(4分)又等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.此時(shí)直線的方程為……………………(6分)(2)(9分)因?yàn)橛?，所以，等?hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，……………..（11分）所以當(dāng)時(shí)，取最小值6.……………….(12分)（3）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，所以的最小值為3.………………..(16分)

19.（本題滿分12分）在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為．求證：參考答案：20.（本題滿分14分）如圖，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)為S□=2S□.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線過(1,1),且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程．(Ⅲ)設(shè)為過原點(diǎn)的直線，是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)的直線，,是否存在上述直線使以為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：（Ⅰ）依題意有…………1分又由S□=2S□.有，…………2分解得，……3分，故橢圓C的方程為.………4分（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，則，，兩式相減得：．

∵是的中點(diǎn)，∴可得直線的斜率為，7分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將x=1代入橢圓方程并解得，，這時(shí)的中點(diǎn)為，∴x=1不符合題設(shè)要求．…………8分

綜上，直線的方程為…………9分

（Ⅲ）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，假設(shè)滿足題設(shè)的直線存在，（i）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為，由與垂直相交于點(diǎn)且得，即，…………10分

又∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB,∴.將代入橢圓方程，得，由求根公式可得，

④.

⑤，將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得，⑥將代入⑥并化簡(jiǎn)得，矛盾.即此時(shí)直線不存在.

…………12分（ii）當(dāng)垂直于軸時(shí)，滿足的直線的方程為或，21.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．參考答案：（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.22.已知A為橢圓=1（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，AC分別過左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，cos∠F1AF2=．（Ⅰ）求該橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．運(yùn)用余弦函數(shù)的定義可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由橢圓的定義，結(jié)合離心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為x2+2y2=2b2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），（1）當(dāng)AB，AC的斜率都存在時(shí)，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直線AC的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量共線定理，可得λ1+λ2為定值6；若AC⊥x軸，若AB⊥x軸，計(jì)算即可得到所求定值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．因?yàn)閏os∠F1AF2=，所以|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=2a，則4?=2a，即a2=2b2=2（a2﹣c2），即a2=2c2，即有e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為x2+2y2=2b2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），（