2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)中考素養(yǎng)提升專(zhuān)練(一)新人教版

Page1中考素養(yǎng)提升專(zhuān)練(一)類(lèi)型一二次根式1．【規(guī)律探究】將一組數(shù)eq\r(3)，eq\r(6)，3，2eq\r(3)，eq\r(15)，…，eq\r(87)，3eq\r(10)按下面的方式進(jìn)行排列：eq\r(3)，eq\r(6)，3,2eq\r(3)，eq\r(15)，3eq\r(2)，eq\r(21)，2eq\r(6)，3eq\r(3)，eq\r(30)，…按這樣的方式進(jìn)行下去，將eq\r(15)所在的位置記為(1，5)，2eq\r(6)所在的位置記為(2，3)，那么：(1)eq\r(30)所在的位置應(yīng)記為_(kāi)_(2，5)__；(2)在(4，1)的位置上的數(shù)是__4eq\r(3)__，6eq\r(2)所在的位置應(yīng)記為_(kāi)_(5，4)__；(3)這組數(shù)中最大的有理數(shù)所在的位置應(yīng)記為_(kāi)_(6，2)__．2．【數(shù)學(xué)文化】著名數(shù)學(xué)家斐波那契曾研究一列數(shù)，被稱(chēng)為斐波那契數(shù)列(按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列)，這個(gè)數(shù)列的第n個(gè)數(shù)為eq\f(1,\r(5))[(eq\f(1＋\r(5),2))n－(eq\f(1－\r(5),2))n](n為正整數(shù))，例如這個(gè)數(shù)列的第8個(gè)數(shù)可以表示為eq\f(1,\r(5))[(eq\f(1＋\r(5),2))8－(eq\f(1－\r(5),2))8].根據(jù)以上材料，完成下列計(jì)算：(1)求這個(gè)數(shù)列的第1個(gè)數(shù)；(2)求這個(gè)數(shù)列的第2個(gè)數(shù)．解：(1)第1個(gè)數(shù)為eq\f(1,\r(5))(eq\f(1＋\r(5),2)－eq\f(1－\r(5),2))＝eq\f(1,\r(5))×eq\r(5)＝1(2)第2個(gè)數(shù)為eq\f(1,\r(5))[(eq\f(1＋\r(5),2))2－(eq\f(1－\r(5),2))2]＝eq\f(1,\r(5))(eq\f(1＋\r(5),2)＋eq\f(1－\r(5),2))(eq\f(1＋\r(5),2)－eq\f(1－\r(5),2))＝eq\f(1,\r(5))×1×eq\r(5)＝1.類(lèi)型二勾股定理3．【勾股樹(shù)問(wèn)題】如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC∶BC＝4∶3，這個(gè)直角三角形三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊長(zhǎng)之比為4∶3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長(zhǎng)為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積之和為DA．225B．250C．275D．3004．【趙爽弦圖】如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3.若S1＋S2＋S3＝60，則S2的值是CA．12B．15C．20D．305．【閱讀理解】勾股定理是人類(lèi)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了驗(yàn)證勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖①)，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．【實(shí)踐操作】(1)請(qǐng)敘述勾股定理；(2)驗(yàn)證勾股定理，請(qǐng)利用圖②中的數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證該定理；【探索發(fā)現(xiàn)】(1)如圖③，④，⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，則這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的有________個(gè)；(2)如圖⑥所示，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為S1、S2，直角三角形的面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：【實(shí)踐操作】(1)如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c2(或：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方)(2)證明：在圖②中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和．即c2＋eq\f(1,2)ab·4＝(b＋a)2，化簡(jiǎn)，得a2＋b2＝c2【探索發(fā)現(xiàn)】(1)3(2)結(jié)論：S1＋S2＝S3，理由如下：∵S1＋S2＝eq\f(1,2)π(eq\f(a,2))2＋eq\f(1,2)π(eq\f(b,2))2＋S3－eq\f(1,2)π(eq\f(c,2))2，∴S1＋S2＝eq\f(1,8)π(a2＋b2－c2)＋S3.又∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S36．【新定義問(wèn)題】我們新定義一種三角形：兩邊的平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形．例如：某三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，6和8，因?yàn)?2＋82＝4×52＝100，所以這個(gè)三角形是常態(tài)三角形．(1)若△ABC的三邊長(zhǎng)分別是3，2eq\r(5)和4，則此三角形________常態(tài)三角形(填“是”或“不是”)；(2)若Rt△ABC是常態(tài)三角形，求此三角形的三邊長(zhǎng)之比(將三邊按從小到大排列)；(3)如圖，在Rt△ABC中，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常態(tài)三角形，求△ABC的面積．解：(1)是(2)設(shè)Rt△ABC的兩直角邊長(zhǎng)為a，b，且a≤b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2＋b2＝c2.又∵Rt△ABC是常態(tài)三角形，∴b2＋c2＝4a2，∴b2＋a2＋b2＝4a2，∴2b2＝3a2，∴b＝eq\f(\r(6),2)a，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(a2＋\f(3,2)a2)＝eq\f(\r(10),2)a，∴a∶b∶c＝a∶eq\f(\r(6),2)a∶eq\f(\r(10),2)a＝eq\r(2)∶eq\r(3)∶eq\r(5)，∴此三角形的三邊長(zhǎng)之比為eq\r(2)∶eq\r(3)∶eq\r(5)(3)∵AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD)＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∵△BCD是常態(tài)三角形，∴①當(dāng)CD2＋BD2＝4BC2時(shí)，即CD2＋BD2＝4×42，∴BD＝CD＝4eq\r(2)，∴AB＝8eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(（8\r(2)）2－42)＝4eq\r(7)，∴此時(shí)S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×4eq\r(7)×4＝8eq\r(7)；②當(dāng)CD2＋BC2＝4BD2時(shí)，即CD2＋42＝4BD2，∴BD＝CD＝eq\f(4\r(3),3)，∴AB＝eq\f(8\r(3),3)，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(（\f