2024年九年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末學(xué)情評估北師大版

第二學(xué)期期末學(xué)情評估一、選擇題(本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，則tanB的值為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(1,2) C.eq\f(2\r(5),5) D．2(第1題)(第2題)2．小明利用如圖所示的量角器量出∠AOB的度數(shù)，sin∠AOB的值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)3．如圖，點A，B，C，D是⊙O上的點，若∠BCA＝50°，則∠BAD等于()A．30°B．40°C．50°D．60°4．對于二次函數(shù)y＝(x－1)2＋1的圖象，下列說法正確的是()A．開口向下B．對稱軸是直線x＝－1C．頂點坐標(biāo)是(1，1)D．當(dāng)x＝1時，y有最大值，是15．魚卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜歡，還深受外來游客的贊賞．小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年，有著不少來自零售商和酒店的“熟客”，去年9月份小張的“熟客”們共向小張采購了5000箱魚卷，11月份小張的“熟客”們共向小張采購了7200箱魚卷．若把這幾個月小張的“熟客”們向小張采購魚卷的數(shù)量的平均增長率記作x，根據(jù)題意，可列出的方程是()A．5000(1＋x)＝7200B．5000(1＋x)2＝7200C．5000＋5000(1＋x)2＝7200D．5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝72006．如圖，AB是一條東西走向的海岸線，在碼頭A的北偏東60°且距離該碼頭50海里的C處有一艘輪船，該輪船正以20海里/時的速度向海岸AB駛來，那么該輪船到達(dá)海岸AB所需要的時間最少為()A．1小時 B.eq\f(5,4)小時 C.eq\f(3,2)小時 D.eq\f(5,2)小時(第6題)(第7題)7．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E兩兩不相交，且半徑都是1，則圖中陰影部分的面積是()A.eq\f(3,2)π B．π C.eq\f(1,2)π D.eq\f(1,4)π8．將拋物線y＝x2－2x－3平移，使平移后的拋物線經(jīng)過原點，這個平移過程不可能是()A．向右平移1個單位長度B．向下平移1個單位長度C．向上平移3個單位長度D．向左平移3個單位長度9．如圖，AB為⊙O的切線，切點為B，連接AO，AO與⊙O交于點C，BD為⊙O的直徑，連接CD.若∠A＝30°，⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為()A.eq\f(4π,3)－eq\r(3) B.eq\f(4π,3)－2eq\r(3)C．π－eq\r(3) D.eq\f(2π,3)－eq\r(3)(第9題)(第12題)10．已知拋物線y＝－(x－b)2＋2b＋c(b，c為常數(shù))經(jīng)過不同的兩點(－2－b，m)，(－1＋c，m)，那么該拋物線的頂點坐標(biāo)不可能是下列中的()A．(－2，－7) B．(－1，－3)C．(1，8) D．(2，13)二、填空題(本題共6小題，每小題4分，共24分)11．將二次函數(shù)y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k的形式為______________．12．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0，6)和點O(0，0)，與x軸的正半軸交于點D，B是⊙A在y軸右側(cè)部分上的一點，則cos∠OBC＝________．13．如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx＋c的兩個交點坐標(biāo)分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4)))，B(1，1)，則關(guān)于x的方程ax2－bx－c＝0的解為______________．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC邊上一點，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝eq\f(3,4)，則線段AB的長度是________．(第14題)(第16題)15．在平地上種植樹木時，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)為4m，如果在坡比為1∶eq\f(4,3)的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為______m.16．如圖，在△ABC中，BC＝4eq\r(3)，高AD，BE交于點M，若△ABC的外接圓的半徑長為4，則DM的最大值為________．三、解答題(本題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(8分)計算：|－3|＋eq\r(3)·tan30°－(3.14－π)0＋sin260°.18．(8分)如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的圖象的頂點為P(－1，2)，且圖象經(jīng)過點A(1，0)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)請結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)y＞0時，x的取值范圍．19．(8分)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，點D在邊BC上，連接AD，過點D作射線DE⊥AD.(1)在射線DE上求作點M，使得△ADM∽△ABC(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)在(1)的條件下，若cos∠BAD＝eq\f(2,3)，BC＝6，求DM的長．20．(8分)如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓弦AB，AC分別與小圓相切于點D，E.求證：∠B＝∠C.21．(8分)如圖，已知二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋eq\r(3)的圖象經(jīng)過O(0，0)，A(2，0)兩點．(1)寫出該函數(shù)圖象的對稱軸；(2)若將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到OA′，試判斷點A′是否為該函數(shù)圖象的頂點，并說明理由．22．(10分)超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，如圖，觀測點設(shè)在到永豐路的距離為100m的點P處．一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為4s，∠APO＝60°，∠BPO＝45°.(1)求A，B之間的路程；(2)請判斷此車是否超過了永豐路54km/h的限制速度．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73)23．(10分)如圖，AB與⊙O相切于點B，AO交⊙O于點C，AO的延長線交⊙O于點D，E是eq\o(BCD,\s\up8(︵))上不與B，D重合的點，sinA＝eq\f(1,2).(1)求∠BED的大小；(2)若⊙O的半徑為3，點F在AB的延長線上，且BF＝3eq\r(3)，求證：DF與⊙O相切．24．(12分)在校園嘉年華中，九年級同學(xué)將對一塊長20m，寬10m的場地進行布置，設(shè)計方案如圖所示．陰影區(qū)域為綠化區(qū)(四個全等的矩形)，空白區(qū)域為活動區(qū)，且4個出口寬度相同，其寬度不小于4m，不大于8m．設(shè)出口寬度均為xm，活動區(qū)面積為ym2.(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)出口寬度為多少時，活動區(qū)面積最大？最大面積是多少？(3)若活動區(qū)布置成本為10元/m2，綠化區(qū)布置成本為8元/m2，布置場地的預(yù)算不超過1850元，當(dāng)x為整數(shù)時，請求出符合預(yù)算且使活動區(qū)面積最大的x值及此時的布置成本．25．(14分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的正半軸交于點A，與y軸交于點B.當(dāng)x>0時，拋物線最低點的縱坐標(biāo)為－4；當(dāng)x≤0時，拋物線最低點的縱坐標(biāo)為－3.(1)求a，b的關(guān)系式(用含b的代數(shù)式表示a)；(2)若OA＝OB，求拋物線的表達(dá)式；(3)在(2)的條件下，M為拋物線對稱軸上一點，過點M的直線交拋物線于C，D兩點，E為線段CD的中點，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F.探究是否存在定點M，使得CD＝4EF總成立．若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案一、1.D2.A3.B4.C5.B6.B7.A8.B9.A10．B二、11.y＝2(x－2)2＋512.eq\f(4,5)13．x1＝－eq\f(3,2)，x2＝114.4eq\r(5)15.516.2三、17.解：原式＝3＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝3＋1－1＋eq\f(3,4)＝eq\f(15,4).18．解：(1)∵該二次函數(shù)的圖象的頂點為P(－1，2)，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式可化為y＝a(x＋1)2＋2.∵圖象經(jīng)過點A(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，解得a＝－eq\f(1,2).∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2，即y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2).(2)－3＜x＜1.19．解：(1)如圖，點M即為所求作．(2)∵△ADM∽△ABC，∴eq\f(BC,DM)＝eq\f(AB,AD).∵在Rt△ABD中，cos∠BAD＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BC,DM)＝eq\f(2,3).∵BC＝6，∴DM＝9.20．證明：連接OD，OE，OA，如圖．∵大圓弦AB，AC分別與小圓相切于點D，E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝BD，AE＝CE.∵AD＝eq\r(OA2－OD2)，AE＝eq\r(OA2－OE2)，OD＝OE，∴AD＝AE，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.21．解：(1)該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1.(2)點A′是該函數(shù)圖象的頂點．理由：如圖，過A′作A′B⊥x軸于點B，則∠OBA′＝90°.∵線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到OA′，O(0，0)，A(2，0)，∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝60°.∴OB＝OA′·cos∠AOA′＝1，A′B＝OA′·sin∠AOA′＝eq\r(3).∴點A′的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))．由(1)易知h＝1，該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，∴點A′是該函數(shù)圖象的頂點．22．解：(1)在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，∴OB＝OP＝100m.在Rt△AOP中，∠APO＝60°，∴AO＝OP·tan∠APO＝100eq\r(3)m，∴AB＝AO－BO＝100eq\r(3)－100＝100(eq\r(3)－1)(m)．(2)∵此車的速度＝eq\f(100（\r(3)－1）,4)＝25(eq\r(3)－1)≈25×0.73＝18.25(m/s)，54km/h＝15m/s，18.25m/s>15m/s，∴此車超過了永豐路54km/h的限制速度．23．(1)解：連接OB，如圖．∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO＝90°.∵sinA＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，∴∠BED＝eq\f(1,2)∠BOD＝60°.(2)證明：連接OF，如圖．由(1)得，∠OBF＝∠ABO＝90°.∵BF＝3eq\r(3)，OB＝3，∴tan∠BOF＝eq\f(BF,OB)＝eq\r(3)，∴∠BOF＝60°.∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°.在△BOF和△DOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝OD，,∠BOF＝∠DOF，,OF＝OF，))∴△BOF≌△DOF，∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∵OD為半徑，∴DF與⊙O相切．24．解：(1)根據(jù)題意，得y＝20×10－4×eq\f(20－x,2)×eq\f(10－x,2)＝200－(20－x)(10－x)＝200－200＋30x－x2＝－x2＋30x，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋30x(4≤x≤8)．(2)由(1)知，y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵－1＜0，∴當(dāng)x＜15時，y隨x的增大而增大，∵4≤x≤8，∴當(dāng)x＝8時，y有最大值，最大值為176，∴當(dāng)出口寬度為8m時，活動區(qū)面積最大，最大面積是176m2.(3)設(shè)布置成本為w元，則w＝10(－x2＋30x)＋8[200－(－x2＋30x)]＝－10x2＋300x＋1600＋8x2－240x＝－2x2＋60x＋1600，令w＝1850，則－2x2＋60x＋1600＝1850，解得x1＝25，x2＝5.∵4≤x≤8，∴x＝25不符合題意，舍去．易知x的取值范圍為4≤x≤5.由(2)可知，當(dāng)x<15時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝5時，活動區(qū)面積最大，此時的布置成本為1850元．25．解：(1)∵當(dāng)x>0時，拋物線最低點的縱坐標(biāo)為－4；當(dāng)x≤0時，拋物線最低點的縱坐標(biāo)為－3，∴x>0時拋物線上的最低點是整條拋物線的最低點，∴拋物線的開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，且頂點的縱坐標(biāo)為－4，∴a>0，－eq\f(b,2a)>0，eq\f(4ac－b2,4a)＝－4.∵當(dāng)x<－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小，∴易知當(dāng)x＝0時，y＝－3，∴c＝－3，∴eq\f(－12a－b2,4a)＝－4，∴a＝eq\f(1,4)b2.(2)由(1)得拋物線的表達(dá)式為y＝eq\f(b2,4)x2＋bx－3，a>0，－eq\f(b,2a)>0，B(0，－3)，∴b<0.∵OA＝OB，∴OA＝3.∵點A在x軸正半軸上，∴A(3，0)，∴eq\f(9,4)b2＋3b－3＝0，解得b1＝－2，b2＝eq\f(2,3)>0(不合題意，舍去)，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x－3.(3)存在．∵過點M的直線交拋物線于C，D兩點，∴設(shè)該直線的表達(dá)式為y＝kx＋t.由(2)得，拋物線的對稱軸為直線x＝1，設(shè)M(1，m)，∴k