2022-2023學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共8小題，每小題3分，共24分。1.下列品牌的標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.在?ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D

的值可以是

(

)A.1:2:2:1 B.1:2:3:4 C.2:1:1:2 D.2:1:2:13.下列條件中，不能判定△ABC為直角三角形的是(

)A.c2=a2+b2 B.∠A+∠B=∠C

C.∠A：∠B：∠C=2：3：54.下列說法正確的是(

)A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B.矩形的對(duì)角線互相垂直

C.一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 D.四邊相等的四邊形是菱形5.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是(

)A.三條高的交點(diǎn) B.三條中線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn) D.不能確定6.觀察下列作圖痕跡，所作CD為△ABC的邊AB上的中線是(

)A. B.

C. D.7.如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB，AC于D、E兩點(diǎn)，若BD=1，則AC的長(zhǎng)是(

)A.33

B.43

C.8.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2

A.①③ B.①②③ C.①③⑤ D.①②③⑤二、填空題：本題共8小題，每小題4分，共32分。9.正八邊形的內(nèi)角和為______度.10.第二象限內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)滿足|x|=5，y2=4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．11.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且AE=CF，EF與AC相交于點(diǎn)O，連接BO.若∠DAC=36°，則∠OBC的度數(shù)為______度.

12.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分別是垂足，已知AB=4，BC=6，∠EAF=60°，則平行四邊形ABCD的面積是______．13.《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡，問索長(zhǎng)幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牽著繩索(繩索頭與地面接觸)退行，在距木根部8尺處時(shí)繩索用盡．問繩索長(zhǎng)是多少？設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺，可列方程為______．14.如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD的對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H.若AB=2，AG=1，則EB=________．

15.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF+PE的最小值為______．

16.如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6.折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn).當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF的長(zhǎng)為

；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長(zhǎng)的最大值為

．

三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

如圖，?ABCD的一個(gè)外角為38°，AD=10cm，求∠B，∠A，∠D的度數(shù)以及BC的長(zhǎng)度．18.(本小題6分)

如圖，是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的8×8方格，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上.建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2,1)和(?1,3)．

(1)畫出該平面直角坐標(biāo)系xOy；

(2)畫出以線段AB為斜邊的Rt△ABC，寫出C點(diǎn)坐標(biāo)(寫出一個(gè)即可)．19.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．

(1)求證：△ACD≌△AED；

(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的長(zhǎng)．20.(本小題8分)

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F．

(1)求證：DF=AB；

(2)若∠FDC=30°，且AB=6，求AD的長(zhǎng)．21.(本小題8分)

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一條角平分線．點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形．

(1)求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；

(2)若AC=5，BC=12，求OE的長(zhǎng)．22.(本小題8分)

如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點(diǎn)80米處有一所學(xué)校A.當(dāng)重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛時(shí)，在以P為圓心50米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時(shí)．

(1)求對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車P與學(xué)校A的距離；

(2)求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間．23.(本小題10分)

如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s.連接PQ、AQ、CP.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形；

(3)分別求出(2)中菱形AQCP的周長(zhǎng)和面積．24.(本小題10分)

著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c)，大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×12ab+(a?b)2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2+b2=c2．

(1)圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．

(2)如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H(A、H、B在同一條直線上)，并新修一條路CH，且CH⊥AB.測(cè)得CH=1.2千米，HB=0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？

(3)在第(2)問中若AB≠AC時(shí)，CH⊥AB，AC=4答案和解析1.【答案】A

解：A.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：A．

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析．

此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念．2.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等即可判斷選擇哪一個(gè)．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對(duì)角相等是解決問題的關(guān)鍵．

【解答】

解：由于平行四邊形對(duì)角相等，所以對(duì)角的比值數(shù)應(yīng)該相等，

其中A，B，C都不滿足，只有D滿足．

故選D．3.【答案】D

解：A.∵c2=a2+b2，

∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B=∠C，

∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，∠A+∠B+∠C=180°，

∴最大角∠C=52+3+5×180°=90°，

∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.∵62+102≠122，

∴a2+c2≠b2，

∴以a，b，c4.【答案】D

解：A、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、矩形的對(duì)角線相等，菱形的對(duì)角線互相垂直；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、四邊相等的四邊形是菱形；故本選項(xiàng)正確．

故選：D．

直接利用菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)與平行四邊形的判定定理求解即可求得答案．

此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定以及平行四邊形的判定．注意掌握各特殊平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．5.【答案】C

解：∵OD=OE，

∴OC為∠ACB的平分線．

同理，OA為∠CAB的平分線，OB為∠ABC的平分線．

所以，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，

故選：C．

首先確定到兩邊距離相等的點(diǎn)的位置，再確定到另外兩邊的位置，根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在它的平分線上，O為△ABC三個(gè)角平分線的交點(diǎn)．

此題主要考查了角平分線的性質(zhì)；分別思考找出滿足條件的交點(diǎn)是正確解答本題的關(guān)鍵．6.【答案】B

解：觀察作圖痕跡可知：

A.CD⊥AB，但不平分，

所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.CD為△ABC的邊AB上的中線，

所以B選項(xiàng)符合題意；

C.CD是∠ACB的平分線，

所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.不符合基本作圖過程，

所以D選項(xiàng)不符合題意．

故選：B．

根據(jù)題意，CD為△ABC的邊AB上的中線，就是作AB邊的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，連接CD即可判斷．7.【答案】C

解：連接DC，

在Rt△BCA中，∵DE為AC的垂直平分線，

∴AD=CD，

∴∠A=∠DCA=30°，

∴∠BDC=60°，

在Rt△CBD中，

cos∠BDC=BDDC=12，

解得：DC=2，BC=3，

在Rt△CBA中，BC=3，AB=3，

∴AC=(3)2+328.【答案】D

解：①正確，連接PC，可得PC=EF，PC=PA，

∴AP=EF；

②正確；延長(zhǎng)AP，交EF于點(diǎn)N，則∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；

③正確；∠PFE=∠PCE=∠BAP；

④錯(cuò)誤，PD=2PF=2CE；⑤正確，PB2+PD9.【答案】1080

解：(8?2)×180°=1080°．

故答案為：1080．

n邊形的內(nèi)角和可以表示成(n?2)?180°，代入公式就可以求出內(nèi)角和．

本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，掌握10.【答案】(?5,2)

解：∵|x|=5，y2=4，

∴x=±5，y=±2，

∵第二象限內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)，

∴x<0，y>0，

∴x=?5，y=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?5,2)．

故答案為(?5,2)．

根據(jù)絕對(duì)值的意義和平方根得到x=±5，y=±2，再根據(jù)第二象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得到x<0，y>0，于是x=?5，y=2，然后可直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．11.【答案】54

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD=CD，AD//BC，AB/?/CD，

∴∠EAO=∠FCO，∠DAC=∠ACB=36°，

在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠COF∠AOE=∠COFAE=CF，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴AO=CO，

∵AB=BC，

∴BO⊥AC，

∴∠BOC=90°，

∴∠OBC=90°?∠OCB=90°?36°=54°，

故答案為：54．

由菱形的性質(zhì)可得AB=BC=AD=CD，AD//BC，AB/?/CD，從而得到∠EAO=∠FCO，∠DAC=∠ACB=36°，通過證明△AOE≌△COF得到AO=CO，由等腰三角形的性質(zhì)可得BO⊥AC，即∠BOC=90°，從而即可得到答案．12.【答案】12解：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，

∴∠AEC=90°，∠AFC=90°，

∵∠EAF=60°，

∴∠C=120°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB/?/DC，AD//BC，

∴∠B=∠D=60°，

∴∠BAE=∠DAF=30°，

∵AB=4，BC=6，

∴BE=12AB=2，

∴AE=42?22=23，

∴平行四邊形的面積=AE?13.【答案】(x?3)解：設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺，可列方程為(x?3)2+64=x2，

故答案為：(x?3)14.【答案】5【解析】【分析】

此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．

首先連接BD交AC于O，由四邊形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，然后利用SAS即可證得△EAB≌△GAD，則可得EB=GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的長(zhǎng)，繼而可得EB的長(zhǎng)．

【解答】

解：連接BD交AC于O，

∵四邊形ABCD、AGFE是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，

∴∠EAB=∠GAD，

在△AEB和△AGD中，

AE=AG∠EAB=∠GADAB=AD，

∴△EAB≌△GAD(SAS)，

∴EB=GD，

∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，

∴BD⊥AC，AC=BD=2AB=2，

∴∠DOG=90°，OA=OD=12BD=1，

∵AG=1，

∴OG=OA+AG=2，

15.【答案】17解：作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，則E′F即為所求，

過F作FG⊥CD于G，

在Rt△E′FG中，

GE′=CD?BE?BF=4?1?2=1，GF=4，

所以E′F=FG2+E′G2=17．

故答案為：17．

作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，則E′F即為所求，過F作16.【答案】36?3

【解析】【分析】

如圖1中，求出等邊△ADB的高DE即可．如圖2中，連接AM交EF于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OK⊥AD于點(diǎn)K，交BC于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作AG⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取AD的中點(diǎn)R，連接OR.證明OK=332，求出AF的最小值，可得結(jié)論．

本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，翻折變換，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

【解答】

解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC=CD，∠A=∠C=60°，

∴△ADB，△BDC都是等邊三角形，

當(dāng)點(diǎn)M與B重合時(shí)，EF是等邊△ADB的高，EF=AD?sin60°=6×32=33．

如圖2中，連接AM交EF于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OK⊥AD于點(diǎn)K，交BC于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作AG⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取AD的中點(diǎn)R，連接OR．

∵AD/?/CG，OK⊥AD，

∴OK⊥CG，

∴∠G=∠AKT=∠GTK=90°，

∴四邊形AGTK是矩形，

∴AG=TK=AB?sin60°=33，

∵OA=OM，∠AOK=∠MOT，∠AKO=∠MTO=90°，

∴△AOK≌△MOT(AAS)，

∴OK=OT=332，

∵OK⊥AD，

∴OR≥OK=332，

∵∠AOF=90°17.【答案】解：∵四邊形ABCD是?ABCD，

∴BC=AD=10cm，AB//DC，AD//BC，

∵AB/?/DC，

∴∠B=∠DCE=38°．

∵AD/?/BC，

∴∠D=∠DCE=38°，∠A+∠B=180°，

∴∠A=180°?∠B=180°?38°=142°．

綜上所述：∠B=38°，∠A=142°，∠D=38°，BC=10cm．

【解析】利用平行四邊形的性質(zhì)推導(dǎo)對(duì)邊平行且相等，再用平行線的性質(zhì)求角即可．

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，難度較小，利用兩直線平行求角度是解題的關(guān)鍵．18.【答案】(1)解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2,1)和(?1,3)，

∴建立平面直角坐標(biāo)系xOy如圖所示；

(2)解：畫出圖形如圖所示：

由圖可知：點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3)或(?1,1)．

【解析】(1)根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系即可；

(2)先畫出圖形，再根據(jù)圖形即可得到答案．

本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題是解決此題的關(guān)鍵．19.【答案】(1)證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，

∵在Rt△ACD和Rt△AED中

AD=ADCD=DE，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)；

(2)∵DC=DE=1，DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2【解析】(1)根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可；

(2)求出∠DEB=90°，DE=1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．

本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．20.【答案】解：(1)證明：在矩形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，

∴∠FAD=∠BEA．

∵DF⊥AE，

∴∠DFA=90°=∠B．

在△ADF和△EAB中，

∠DFA=∠B∠FAD=∠BEAAD=EA，

∴△ADF≌△EAB(AAS)．

∴DF=AB．

(2)∵∠FAD+∠ADF=90°，∠FDC+∠ADF=90°，

∴∠FAD=∠FDC=30°．

∴AD=2DF．

又∵DF=AB，

∴AD=2AB=2×6=12【解析】(1)利用“AAS”證△ADF≌△EAB即可得；

(2)由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，據(jù)此知AD=2DF，根據(jù)DF=AB可得答案．

本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．21.【答案】(1)證明：過點(diǎn)O作OM⊥AB，

∵BD是∠ABC的一條角平分線，

∴OE=OM，

∵四邊形OECF是正方形，

∴OE=OF，

∴OF=OM，

∴AO是∠BAC的角平分線，即點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；

(2)解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，

∴AB=AC2+BC2=52+122=13，

設(shè)CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，【解析】(1)過點(diǎn)O作OM⊥AB，由角平分線的性質(zhì)得OE=OM，由正方形的性質(zhì)得OE=OF，易得OM=OF，由角平分線的判定定理得點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；

(2)由勾股定理得AB的長(zhǎng)，利用方程思想解得結(jié)果．

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及角平分線定理及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用方程思想是解本題的關(guān)鍵．22.【答案】解：(1)過點(diǎn)A作AD⊥ON于點(diǎn)D，

∵∠NOM=30°，AO=80m，

∴AD=40m，

即對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車P與學(xué)校A的距離為40米；

(2)由圖可知：以50m為半徑畫圓，分別交ON于B，C兩點(diǎn)，AD⊥BC，BD=CD=12BC，OA=80m，

∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，

∴AD=12OA=12×80=40m，

在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=AB2?AD2=502?402=30m，

故BC=2×30=60米，即重型運(yùn)輸卡車在經(jīng)過BC時(shí)對(duì)學(xué)校產(chǎn)生影響．

∵重型運(yùn)輸卡車的速度為18千米/小時(shí)，即1800060=300【解析】(1)直接利用直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半求出即可；

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