山西省陽泉市礦區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷含解析答案

2022-2023學(xué)年山西省陽泉市礦區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個選項中，

只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項的字母標號在答題卡相應(yīng)位置涂黑.

1.（3分）國家提倡推行生活垃圾分類，下列垃圾分類標志分別是廚余垃圾、有害垃圾、可

回收物和其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

▽

公X

2.（3分）當匕+c=l時，關(guān)于x的一元二次方程『+bx-c=0的根的情況為（）

A.有兩個實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

3.（3分）函數(shù)y=or+l與ynaa+ar+l（“W0）的圖象可能是（）

4.（3分）如圖，AB為。。的直徑，弦CD交AB于點E,BC=BD,NCOB=30°,AC=

5.（3分）數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實例所應(yīng)用的最主要的幾何知識，說

法正確的是（）

準星蕓口

A.學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對角線互相垂直平

分”

B.車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對稱圖形”

C.射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應(yīng)用了“兩點確定一條直線”

D.地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對邊相等”

6.（3分）如圖，點尸為。。外一點，過點P作。0的切線外、PB,記切點為A、B,點、C

為。。上一點，連接AC、BC.若NACB=62°,則/AP8等于（）

A

7.（3分）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4.若

一次摸出1個，則取出的小球標號小于4的概率是（）

A.2B.—C.—D.1

424

8.（3分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點G是AE的中點，若A8=4,則CG的長為（）

A.5B.6C.7D.8

9.（3分）如圖，圓錐底面圓的半徑AB=4,母線長AC=12,則這個圓錐的側(cè)面積為（）

10.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，以M（2,3）為圓心，AB為直徑的圓與X軸相切,

與y軸交于A,C兩點，則AC的長為（）

A.4B.275C.2\[13D.6

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）已知點（2,yi）與（3,”）在函數(shù)了=上底-1）2+1的圖象上，貝U1、”的大

3

小關(guān)系為.

12.（3分）喜迎黨的二十大召開，學(xué)校推薦了四部影片：《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉

業(yè)》、《建軍大業(yè)》.甲、乙同學(xué)用抽卡片的方式?jīng)Q定本班觀看哪部，四張卡片正面分別是

上述影片劇照，除此之外完全相同.將這四張卡片背面朝上，甲隨機抽出一張并放回，

洗勻后，乙再隨機抽出一張，則兩人恰好抽到同一部的概率是.

13.（3分）如圖，A4BC內(nèi)接于。。，直線EF與。。相切于點B,若NC=40°,貝IjNABF

14.（3分）端午假期鼓浪嶼商場為了吸引顧客，舉行有獎酬賓活動：凡購物滿100元，均

可得到一次摸獎的機會，不透明的盒子中裝有紅、黃色的小球共20個，除顏色外無其他

差別，隨機摸出一個小球，如果摸到紅色小球則有機會以優(yōu)惠價28.88元購買“冰墩墩”

一個.如圖顯示了活動第一天開展上述摸球活動的獲獎的結(jié)果.李老師在活動第二天去

購物，剛好消費了100元，推測李老師能以優(yōu)惠價購買”冰墩墩”的概率為

?4,

15.(3分)如圖，。。的半徑為2cm,正六邊形內(nèi)接于。。,則圖中陰影部分面積為

三、解答題(本大題共8個小題，共75分)解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程/-(2k+l)x+F+Z=0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊8c的長為5,當

△A8C是等腰三角形時，求△ABC三邊的長.

17.(8分)已知拋物線＞=--加-5與直線y=fcr+3交于A(4,-5),8兩點.

(1)求晨b的值;

(2)若點(6,7)關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為點M,則點M是否在直線y=fcv+3上？

18.(8分)如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,。是BC邊上一點，以。為圓心，OB

為半徑的圓與A8相交于點￡),連接C。，且CD=AC.

(1)求證：8是。0的切線；

(2)若NA=60°,AC=2y/3,求命的長.

19.（9分）如圖，在RtZiABC中，ZB=60°,ZA=90°,△ABC的內(nèi)切圓。。與BC,

CA,AB分別相切于點￡>,E,F.

（1）求/￡0。的度數(shù)；

（2）若r=2,求陰影部分的面積.

20.（9分）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖I）,隋代建造的趙州橋距今約

有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何

圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為源.橋的跨度（弧所對的弦長）AB=26m,設(shè)篇所

在圓的圓心為。，半徑OCLA8,垂足為。.拱高（弧的中點到弦的距離）CD=5m.連

接OB.

（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關(guān)系；

（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1%）.

21.（9分）一個不透明的箱子里裝有2個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏色外

其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子

里，通過大量重復(fù)實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.33左右.

（1）請你估計箱子里白色小球的個數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球,

求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率.（用畫樹狀圖或列表的方法）

22.（11分）為落實“雙減”政策，某校隨機調(diào)查了50名學(xué)生平均每天完成書面作業(yè)所需

時間的情況，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖、表：

分組時間x（時）人數(shù)

A0?0.55

B0.516

ClWx<1.5a

DL50V2b

E2?2.54

（2）若該校有學(xué)生2000人，估計每天完成書面作業(yè)的時間不足1.5小時的學(xué)生約有多少

人？

（3）學(xué)校需要深入了解影響作業(yè)時間的因素，現(xiàn)從E組的4人中隨機抽取2人進行談話，

已知E組中七、八年級各1人，九年級2人，則抽取的2人都是九年級學(xué)生的概率為多

少？

23.（13分）綜合與探究

【問題再現(xiàn)】

（1）課本中有這樣一道概率題：如圖①，是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)

盤停止時，指針落在紅色區(qū)域和白色區(qū)域的概率分別是多少？請你解答.

【類比設(shè)計】

（2）在元旦晚會上班長想設(shè)計這樣一個搖獎轉(zhuǎn)盤：在圖②中設(shè)計一個轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動這

個轉(zhuǎn)盤，當它停止轉(zhuǎn)動時，三等獎：指針落在紅色區(qū)域的概率為旦，二等獎：指針落在

8

白色區(qū)域的概率為S,一等獎：指針落在黃色區(qū)域的概率為1.請你幫忙設(shè)計.

84

【拓展運用】

（3）在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設(shè)立轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被平均分為16份，顧

客每消費100元轉(zhuǎn)動1次，對準紅（1份），黃（2份），綠（4份）區(qū)域，分別獎勵50

元，30元，20元、其他區(qū)域無獎勵.則轉(zhuǎn)動1次獲獎金的概率是

圖①圖②

2022-2023學(xué)年山西省陽泉市礦區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共1（）個小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個選項中，

只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項的字母標號在答題卡相應(yīng)位置涂黑.

1.（3分）國家提倡推行生活垃圾分類，下列垃圾分類標志分別是廚余垃圾、有害垃圾、可

回收物和其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

▽

公X

【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果

旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖

形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，進行判

斷即可.

【解答】解：4不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

B.既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

C.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：B.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)

鍵.

2.（3分）當b+c=l時，關(guān)于x的一元二次方程/+公-。=0的根的情況為（）

A.有兩個實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【分析】利用c=l-b得到△=（6-2）22（），然后根據(jù)根的判別式的意義對各選項進

行判斷.

【解答】解：."+0=1,

Ac=1-b,

：.A=信-4X（-c）=房+4（1-b）=（Z>-2）2）0,

二方程有兩個實數(shù)解.

故選：A.

【點評】本題考查了根的判別式：?一元二次方程aj^+bx+c—O(aWO)的根與A—b2-4ac

有如下關(guān)系：當△>?時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當△<()時，方程無實數(shù)根.

3.(3分)函數(shù)y=ox+l與(aWO)的圖象可能是()

【分析】根據(jù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，看兩個函數(shù)的系數(shù)符號是否一致，即可判斷.

【解答】解：由函數(shù)y=or+l與拋物線丫=4f+以+1可知兩函數(shù)圖象交y軸上同一點(0,

1),拋物線的對稱軸為直線x=-衛(wèi)=-工，在y軸的左側(cè)，

2a2

A、拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，故選項錯誤；

8、拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，故選項錯誤；

C、由一次函數(shù)的圖象可知。>0,由二次函數(shù)的圖象知道a>0,且交于y軸上同一點，

故選項正確；

D、由一次函數(shù)的圖象可知。>0,由二次函數(shù)的圖象知道。<0,故選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)

的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

4.(3分)如圖，48為00的直徑，弦C￡>交AB于點E,BC=BD,ZCDB=30°,AC=

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論可得ABLCD,再由圓周角定理可得/A=/C7)8=30°,

根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AE=3,AB=4,即可求解.

【解答】解：為。。的直徑，BC=BD,

.,.BC=BD>

：.AB±CD,

；NBAC=NCDB=30°,AC=2百，

.\AE=AC*cosZBAC=3,

〈AB為OO的直徑，

AZACB=90°,

：.AB=——四——=4,

cos/BAC

：.OA=2,

：.OE=AE-04=1.

故選：D.

【點評】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，

圓周角定理，特殊角銳角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實例所應(yīng)用的最主要的幾何知識，說

法正確的是（）

A.學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對角線互相垂直平

分”

B.車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對稱圖形”

C.射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應(yīng)用了“兩點確定一條直線”

D.地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對邊相等”

【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，圓的認識，菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)進行判斷即可.

【解答】解：兒學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“四邊形的不

穩(wěn)定性”，故本選項錯誤，不合題意；

B.車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點到圓心的距離相等”，故本選項錯誤，不合題意；

C.射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應(yīng)用了“兩點確定一條直線”，

故本選項正確，符合題意

。?地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形四個內(nèi)角都是直角”的性質(zhì)，故本選項錯誤，不

合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了圓的認識，中心對稱圖形的概念，直線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，

矩形的性質(zhì)等知識點，熟記相關(guān)的性質(zhì)或定理即可.

6.（3分）如圖，點P為。。外一點，過點P作。。的切線附、PB,記切點為A、8,點C

為00上一點，連接AC、BC.若/ACB=62°,則NAP3等于（）

A.68°B.64°C.58°D.56°

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得/出。=/98。=90°,再利用四邊形的內(nèi)角和和圓周角

定理即可得到NAPB的度數(shù).

【解答】解：：以、PB是。0的切線，

：.0ALPA,0B1PB,

：.ZPAO=ZPBO=90°,

AZAOB+ZP=180°,

VZACB=62a,

.?.NAOB=2/ACB=2X62°=124°,

；.NAPB=180°-124°=56°,

故選：D.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.運用切線的性質(zhì)來

進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)

問題.也考查了圓周角定理.

7.（3分）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4.若

一次摸出1個，則取出的小球標號小于4的概率是（）

A.AB.AC.—D.1

424

【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二

者的比值就是其發(fā)生的概率.

【解答】解：袋中球的總數(shù)為：4,標號小于4的數(shù)有3個，

故取出的小球標號小于4的概率是3.

4

故選：C.

【點評】此題主要考查了概率的求法，如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能

性相同，其中事件A出現(xiàn)〃?種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=旦.

8.（3分）如圖，在正六邊形ABCQEF中，點G是AE的中點，若48=4,則CG的長為（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】如圖，連接AC，EC.證明aACE是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解.

?.?A8CQEF是正六邊形，

.,.△ACE是等邊三角形，

；AB=4,

：.AC^CE=AE=4y/3,

,:AG=GE=2M，

CG_LAE,

?*-CG=VAC2-AG2=V（4V3）2-（2VS）2=6,

故選:B.

【點評】本題考查正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈

活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

9.（3分）如圖，圓錐底面圓的半徑AB=4,母線長4c=12,則這個圓錐的側(cè)面積為（）

A.16nB.24KC.48TTD.96n

【分析】先求出弧/L4'的長，再根據(jù)扇形面積的計算公式進行計算即可.

【解答】解：弧A4'的長，就是圓錐的底面周長，即如X4=8m

所以扇形的面積為」X8nX12=48TT,

2

即圓錐的側(cè)面積為48n,

故選：C.

【點評】本題考查圓錐的計算，掌握弧長公式以及扇形面積的計算公式是正確解答的前

提.

10.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，以例（2,3）為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，

與y軸交于A,C兩點，則AC的長為（）

A.4B.275C.2^/13D.6

【分析】設(shè)。M與x軸相切于點D,連接MD,過點M作MELAC,垂足為E,根據(jù)垂

徑定理可得AC=2AE,再利用切線的性質(zhì)可得NMOO=90°,然后根據(jù)點M的坐標可

得ME=2,MA=MD=3,最后在RtzXAEM中，利用勾股定理進行計算即可解答.

【解答】解：設(shè)0M與x軸相切于點。，連接過點M作垂足為E,

：.AC=2AE,

與x軸相切于點D,

AZMDO=90°,

,：M(2,3),

:.ME=2,MD=3,

：.MA=MD=3,

在RtZXAEM中，^￡=VAM2-EM2=V32-22=代,

：.AC=2AE=2y[5,

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件

并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）已知點（2,yi）與（3,"）在函數(shù)y=-2（x-l）2+l的圖象上，則山、”的大

3

小關(guān)系為yi>y2.

【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定出對稱軸為直線1=1,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性，無VI

時，y隨x的增大而減小解答.

【解答】解：???丫=上年-1）2+1，

3

...二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線X=l,

V3>2>1,

?*.yi>y2.

故答案為：y\>y2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性，求

出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵.

12.（3分）喜迎黨的二十大召開，學(xué)校推薦了四部影片：《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉

業(yè)》、《建軍大業(yè)》.甲、乙同學(xué)用抽卡片的方式?jīng)Q定本班觀看哪部，四張卡片正面分別是

上述影片劇照，除此之外完全相同.將這四張卡片背面朝上，甲隨機抽出一張并放回，

洗勻后，乙再隨機抽出一張，則兩人恰好抽到同一部的概率是工.

-4一

【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好抽到同一部的結(jié)果有

4種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：把影片劇照《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》的四張卡

片分別記為A、B、aD,

畫樹狀圖如下：

甲ABCD

/Zl\^T\

乙ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好抽到同一部的結(jié)果有4種，

甲、乙兩人恰好抽到同一部的概率為-￡=」，

164

故答案為：1.

4

【點評】此題考查的是樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的

結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試

驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

13.（3分）如圖，aABC內(nèi)接于O。，直線E尸與。。相切于點8,若NC=40°,貝“ABF

-40°

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)可得NO8F=90°,由NC=40°可得/。=80°,由此可以

求出/O8A的度數(shù)，根據(jù)角的和差可以求出/A8尸的度數(shù).

【解答】解：???直線EF與。。相切于點B,

：.NOBF=90°,

VZC=40°,

.,.NO=80°,

"：OA=OB,

：.ZOBA^ZOAB,

：.ZOBA=180°~80°=50°,

2

：.ZABF^ZOBF-ZOBA=90°-50°=40°.

故答案為：40°.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識.熟練掌握直線與圓相切的性質(zhì)，

圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）端午假期鼓浪嶼商場為了吸引顧客，舉行有獎酬賓活動：凡購物滿100元，均

可得到一次摸獎的機會，不透明的盒子中裝有紅、黃色的小球共20個，除顏色外無其他

差別，隨機摸出一個小球，如果摸到紅色小球則有機會以優(yōu)惠價28.88元購買“冰墩墩”

一個.如圖顯示了活動第一天開展上述摸球活動的獲獎的結(jié)果.李老師在活動第二天去

購物，剛好消費了100元，推測李老師能以優(yōu)惠價購買”冰墩墩”的概率為0.35.

~1002003004005006007008009001000模球次數(shù)

【分析】隨著摸球次數(shù)的增加，“摸到紅球”的頻率逐漸穩(wěn)定于0.35,據(jù)此利用頻率估計

概率即可.

【解答】解：由題意知，隨著摸球次數(shù)的增加，“摸到紅球”的頻率逐漸穩(wěn)定于0.35,

所以推測李老師能以優(yōu)惠價購買”冰墩墩”的概率為0.35,

故答案為：0.35.

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗，利用一

個隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率.

15.（3分）如圖，0。的半徑為2cm,正六邊形內(nèi)接于。。，則圖中陰影部分面積為2工

一3

【分析】根據(jù)圖形分析可得求陰影部分面積實為求扇形面積，將原圖陰影部分面積轉(zhuǎn)化

為扇形面積求解即可.

【解答】解：如圖，連接8。，CO,OA.

,：正六邊形ABCDEF內(nèi)接于0。，

.*.N4OB=NBOC=^—=60°,OA=OB=OC,

6

/.△O8C,△AOB都是等邊三角形，

AZAOB=ZOBC=60°,

J.OA//BC,

/\OBC的面積=/\48。的面積,

..?圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積=60?！?=空

故答案為：空

【點評】本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的扇形思考問題，屬于中考?？碱}型.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分)解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程7-(2k+l)x+F+Z=O.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊8c的長為5,當

△ABC是等腰三角形時，求AABC三邊的長.

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出A=l>0,進而可證出方程有兩

個不相等的實數(shù)根；

(2)利用因式分解法解方程得到...xi=k,x2=k+l,AB,AC的長為k、Hl,討論當48

=BC時，即&=5；當4C=BC時，k+1=5,解得上=4,進而即可求得△ABC三邊的長.

【解答】(1)證明：?；△=[-(2^+1)]2-4X(話+k)=1>0,

,無論％取何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：?.,由?-(2H1)x+S+Z=O,得G-k)[x-(Z+1)]=0,

***X1=kiX2~1.

即AB、AC的長為鼠Z+L

當AB=BC時，即女=5,滿足三角形構(gòu)成條件，則△ABC三邊的長為5、5、6；

當AC=BC時，2+1=5,解得左=4,滿足三角形構(gòu)成條件，則△ABC三邊的長為5、5、

4；

綜上所述，△ABC三邊的長為5、5、6或5、5、4.

【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若xi,X2是一元二次方程。x2+"+c

=0(aWO)的兩根，x\+x2—-—,XIX2=￡■.也考查了根的判別式.

17.(8分)己知拋物線y=/-bx-5與直線y=fcv+3交于A(4,-5),B兩點.

(1)求鼠一的值;

(2)若點(6,7)關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為點則點”是否在直線>=入+3上？

【分析】(I)將點A(4,-5)分別代入拋物線、=/-云-5與直線><=履+3,即可求得

%,上的值;

(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特點可得點M坐標為(-2,7),計算當x=-2時，

y=-2x+3的值，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)：拋物線y=/-云-5與直線y=fcr+3交于A(4,-5),8兩點.

，-5=42-4〃-5,-5=4k+3,

解得：b—4,k--2,

即上的值為-2,b的值為4；

(2)由(1)知：拋物線為y=/-4x-5=(x-2)2-9,直線為y=-2x+3,

???拋物線的對稱軸是直線x=2,

若點(6,7)關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為點M,

貝I」7-4x-5=7,解得xi=6,X2—-2,

二點何坐標為(-2,7),

直線y=-2r+3中，當x=-2時，

y=-2x+3=7,

???點M在直線y=-2x+3上.

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點和一次函數(shù)圖象

上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.(8分)如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,0是BC邊上一點，以。為圓心，0B

為半徑的圓與AB相交于點。，連接C。，且CQ=AC.

(1)求證：CZ)是。0的切線；

(2)若乙4=60°,AC=2代，求俞的長.

【分析】(1)連接0D.由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得NA=NAOC,NB=N

BDO.再根據(jù)余角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得/ODC=180°-(NAOC+NB。。)

=90°.最后由切線的判定定理可得結(jié)論；

(2)根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得NQCO=NACB-/AC￡>=30°.再由解直角三

角形及三角形內(nèi)角和定理可得NBOD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式可得答案.

【解答】(1)證明：連接0D

9

：AC=CDf

：.ZA=ZADC.

,:OB=OD,

：.ZB=ZBDO.

VZACB=90°,

Z.ZA+ZB=90°.

AZADC+ZBDO=90a.

：.ZODC=ISOQ-CZADC+ZBDO)=90°.

又〈OD是。。的半徑，

???CO是G)O的切線.

(2)解：*：AC=CD=2^3，ZA=60°,

??.△ACO是等邊三角形.

AZACD=60°.

???ZDCO=ZACB-ZACD=30°.

在RtZ\OC。中，OD=CDtmZDCO=273tan30°=2.

VZB=90°-NA=30°,OB=OD,

：.ZODB=ZB=30°.

：.ZBOD=\SO°-(NB+NBDO)=120°.

?.應(yīng)的長=安＞

【點評】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長公式，正確作出輔

助線是解決此題的關(guān)鍵.

19.(9分)如圖，在RtZXABC中，ZB=60°,ZA=90°,△ABC的內(nèi)切圓。。與BC,

CA,AB分別相切于點DE,F.

(1)求/E。。的度數(shù)；

(2)若r=2,求陰影部分的面積.

A

E

BDC

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得OO，BC,OELAC,OFLAB,由三角形內(nèi)角和定理求

得NC,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得結(jié)果；

（2）連接08,0C,解直角三角形求得BQ與BR再證明四邊形AE。尸為正方形，得

AE的長度，求得A8,BC,CD,CE,再將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形與扇形的面積和

差進行計算便可.

【解答】解：（1）;△ABC的內(nèi)切圓。。與8C,CA,A8分別相切于點。，E,F.

J.ODYBC,OEYAC,OFVAB,

VZB=60°,/A=90°,

AZC=30°,

：.ZEOD=360°-/C-/OEC-NOOC=150°；

(2)連接OB,OC,則/OB￡>=/O8F=/NABC=30°，

"=，O=ta.。金=1'

~3~

尸O=/AEO=90°,

四邊形AEOF為矩形，

由切線長定理知，AE=AF,

二四邊形AE。尸為正方形，

：.AE=AF=OE=OF^2,

，4B=AF+B/=2?+2,

：NAC8=30°,

：.BC=2AB=4yf3+4.

：.CD=CE=BC-8。=2如+4,

150兀X22=4料+8-

AS陰影=SAOCE+SaOCQ-S扇形ODE=yX(273+4)X2X2-

__360

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，解直角三角形，矩形與正方形的判

定，扇形的面積公式，第（2）關(guān)鍵是把陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形與扇形面積的和差來

計算.

20.（9分）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1）,隋代建造的趙州橋距今約

有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何

圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為源.橋的跨度（弧所對的弦長）AB=26〃?，設(shè)篇所

在圓的圓心為O,半徑OC_LAB,垂足為。.拱高（弧的中點到弦的距離）CD=5m.連

接08.

（1）直接判斷AD與8。的數(shù)量關(guān)系；

（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1/?）.

圖1

圖2

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理便可得出結(jié)論;

（2）設(shè)主橋拱半徑為凡在RtaOBO中，根據(jù)勾股定理列出R的方程便可求得結(jié)果.

【解答】解：（1）,：OC1AB,

：.AD=BD；

（2）設(shè)主橋拱半徑為R,由題意可知AB=26,CD=5,

：.BD=2AB=13,

2

0D=0C-CD=R-5,

；NOOB=90°,

：.OD1+BD2=OB2,

：.（R-5）2+132=/?2,

解得R=19.4七19,

答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為\9m.

【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)

用.

21.（9分）一個不透明的箱子里裝有2個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏色外

其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子

里，通過大量重復(fù)實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.33左右.

（1）請你估計箱子里白色小球的個數(shù)：

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球,

求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率.（用畫樹狀圖或列表的方法）

【分析】（1）設(shè)箱子里白色小球的個數(shù)為x個，根據(jù)發(fā)現(xiàn)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定值即

為其概率列出上=0.33,解之即可；

x+2

（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：（1）設(shè)箱子里白色小球的個數(shù)為x個，

則」一=0.33,

x+2

解得X=箜，

67

經(jīng)檢驗：x=/是分式方程的解，

67

所以估計箱子里白色小球的個數(shù)為1；

（2）列表得：

紅1紅2白

紅1（紅1,紅1）（紅1,紅2）（紅1,白）

紅2（紅2,紅1）（紅2,紅2）（紅2,白）

白（白，紅1）（白，紅2）（白，白）

???所有等可能情況一共有9利3其中顏色恰好不同有4種，

兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率為9.

9

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22.（11分）為落實“雙減”政策，某校隨機調(diào)查了50名學(xué)生平均每天完成書面作業(yè)所需

時間的情況，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖、表:

分組時間X（時）人數(shù)

A