福建省百校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試題

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準(zhǔn)考證號姓名

（在此卷上答題無效）

2023-2024學(xué)年高中畢業(yè)班第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

2023.11

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.圖中的陰影部分表示的集合為（）.

A.ABCB.AB（品。）

C.A（dvB）CD.瓜力BC

2.若Z-Z?為復(fù)數(shù)，則“Z「Z?是純虛數(shù)”是“ZrZ2互為共物復(fù)數(shù)”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)"X）=［千三―l）cosx的部分圖象為（）.

4.故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群.故宮宮殿房檐設(shè)計(jì)恰好使北房在冬至前

后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75。，冬至前后正午太陽高度角

約為30。，圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐48的長度

A.3B.4C.6（73-l）D.3（V3+1）

5.已知數(shù)列｛4｝滿足a“—a“+i=半產(chǎn)，且出=-1，若q=164，則正整數(shù)人為（）.

A.13B.12C.11D.10

6.如圖，AB是圓。的一條直徑，且|A@=4.C,。是圓。上的任意兩點(diǎn)，|C￡）|=2.點(diǎn)尸在線段CO上,

則？的取值范圍是（）.

A.[-1,2]B.[6,2]C.[3,4]D.[-1,0]

5兀4冗（7T）

7.已知直線“不，》是函數(shù)〃x）=4sin|s+qJ（0〉O）圖像相鄰的兩條對稱軸，將“力的圖

JT

像向右平移7個(gè)單位長度后，得到函數(shù)g（x）的圖像.若g（x）在（-加,加）上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"2

的取值范圍為（）.

8.已知a=e°",b=l.l'A,c=l.ll,則（）.

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)正實(shí)數(shù)”，6滿足。+/?=2,則下列說法正確的是（）.

b2

A.—I—的最小值為3B.必的最大值為1

ab

C.。+班的最小值為2D./+Z?2的最小值為2

10.函數(shù)"x）=2sin（0x+°）0>,闞<_|的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與〃龍）的圖象交于M,

N兩點(diǎn)，且〃在y軸上，則（).

3兀、

A.函數(shù)在一萬,-兀上單調(diào)遞增

B.圓的半徑為一，

3

,0）成中心對稱

C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)

202bl2023兀

D.函數(shù)/（%）在上單調(diào)遞減

12,12

11.如圖，在長方體ABC?！狝4CR，AD=2AB=2AA,=4,E,F分別是棱AO,4Q的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

在側(cè)面AADR內(nèi)，且BP=xBE+yBF（x,ywR）,則三棱錐P-BBjF外接球表面積的取值可能是（）.

C.12兀D.44n

12.已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,%+i=2a”（lna“+l）+l,則下列說法正確的有（）.

A.衛(wèi)二<5

B.an+l-a1<a1+1

ax+g

3n1(,,

C.若2,則一——<1D.^In(a,+l)<2-l)ln2

4占%+1i=\

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知sin[t+a]=?,且則sin[1—(zj=

14.已知非零向量a,匕滿足人=(6,1),(a,b)=］，若(a—人)La,則向量夕在向量B方向上的投影向

量的坐標(biāo)為.

15.已知數(shù)列｛q｝滿足g+|^+L+果=〃(“eN*),〃=4(4—1)—川+4”，若數(shù)列｛〃｝為單調(diào)遞增數(shù)

列，則/I的取值范圍為.

16.法國的拿破侖提出過一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等

邊三角形的外接圓圓心恰好是一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn).”在ABC中，A=60°,以AB,BC,AC為邊向

外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為。，。2，。3,則/。1人。3=；若。。2。3的面積為世，

則三角形中|A@+|AC|的最大值為.

四、解答題：共65分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)〃力=占5皿2》+9)+3(2%+9)19|<1：將/(%)的圖象向左平移三個(gè)單位長度，所

得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

(1)求函數(shù)〃尤)的解析式；

JT5

(2)若關(guān)于尤的方程/(%)=。在-,—Tl上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=lnx-ar+l(aeR).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若a=—2,是否存在整數(shù)機(jī)(機(jī)eN*),都有/(x)Wm(x+l)恒成立，若存在求出實(shí)數(shù)相的最小值，

若不存在說明理由.

H—1

19.設(shè)數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和S及滿足乂+%=——,〃EN*.

n+n

(1)證明：數(shù)列］s'——為等比數(shù)列；

(2)記3——sn,求數(shù)列-----亭-----J的前〃項(xiàng)和北.

bnn+1［電一1)(%一1”

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，BW為等邊三角形，/為B4的中點(diǎn)，？D_LAB,平面從D_L平面ABCD

(1)證明：平面CDM_L平面B4B；

(2)若AD//BC,AD=2BC<4,AB=2,直線網(wǎng)與平面MC。所成角的正弦值為、一,求三棱錐

34

P—MCD的體積.

21.如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段FG8C,該曲線段是函數(shù)

y=Asin(eyx+^)(A>0,ty>0,^e(0,7i)),xe［T0］的圖像，圖像的最高點(diǎn)為5(—1,2).邊界的中間部

分為長1千米的直線段C。，豆CDIIEF,游樂場的后一部分邊界是以。為圓心的一段圓弧。E.

(1)求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)曲線段FG8C上的入口G距海岸線最近距離為1千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G修一條筆直的景觀路到O,

求景觀路GO長；

(3)如圖，在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)。MP0,平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在

半徑0D上，另外一個(gè)頂點(diǎn)尸在圓弧DE上，且NPOE=6,求平行四邊形休閑區(qū)OMP。面積的最大值及此

時(shí)。的值.

22.已知函數(shù)/(X)=xsinx+cosx.

(1)求/(%)在xe［-兀,兀］的單調(diào)區(qū)間與最值;

(2)當(dāng)a>g時(shí)，若g(x)=y(x)—gtu?,證明：g(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

2023年~2024學(xué)年高中畢業(yè)班第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)評分參考標(biāo)準(zhǔn)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

12345678

BDCCBDAA

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9101112

ABDCDBCDBCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

、兀

13.—V614.161]J15./Ij'3+sJ16.—2>4

四、解答題：共65分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.解：(1)/(x)=A/3sin(2x+^?)+cos(2x+^)=2sin2x+(p+—,

jr

將函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長度后,

所得函數(shù)為y=2sin2(1+^+-^=2sin(2x+°+：7i],

57177b兀77?

(pH—兀=-1~ku9kGZ,cp-------ku,keZ.

623

又Ml<],.“=一1■，二./(x)=2sinf2冗_(dá)己).

715c兀兀2兀

(2)VXG一,--71,2%------E.

61266'T

當(dāng)2<2x—巴《工，即工時(shí)，/(x)單調(diào)遞增;

66263

當(dāng)卜暇JTSJT

d,即1<X<正時(shí)，“X)單調(diào)遞減.

JT571

???方程〃￡）=a在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

.?.百<。<2,.?.實(shí)數(shù)。的取值范圍為［百,2）.

18.解：（1）*.*x>0,f'（x\=---a,

x

當(dāng)〃<0,r（x）>o,???/（%）在（0,+8）單調(diào)遞增,

當(dāng)a>0時(shí)，

令r（%）>。,得%<L八%）<。得%>,,

.../（%）在〔0,單調(diào)遞增,在,+s］單調(diào)遞減.

綜上，aWO時(shí)，/（%）在（0,+8）單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，"％）在［。,￡|單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）*.*a=—2,/./（x）=lnx+2x+l,

Inx+2%+1

lnx+2x+l<m(x+l),m>-----------

x+1

—+2-Inx

人/、lnx+2x+l，/

令g(x)=r+1，,g(；——L

八十J.(x+l)

令〃(%)=—F2—Inx,/(%)=—-----<0,?，?〃(%)在(0,+8)單調(diào)遞減.

22

VM(e)=4+2-lne=4+2-2>0

Vt/(e3)=4+2-lne3=4+2-3<0,

'Jee

「?HXQ￡(/,/),使得=即F2—Inx0=0,---F2=In%0,

當(dāng)％￡(O,%o),w(x)>0,g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡(%0，+8),〃(x)<o,g〈X)VO,g(x)單調(diào)遞減,

Inx+2x+12%+3%+1=2?1

???g(x)而=g(%)=00

5+15+1%(%+1)%

23

Vx0e(e,e),加之3,的最小值為3.

xo

〃一］

19.(1)證明：VS+a=——，且為=_sLN2),

nnn+n

.?.2S,—％=高-32),

s_J_

：.2\S---—小2),

In"n+1n

n

令”=i,可得s=0,s_L=_1

1122

所以數(shù)列1S“-——I是首項(xiàng)為-,，公比為L的等比數(shù)列.

[n+lj22

n—\

(2)由(1)可得S“———

n+1

11

~b~s〃-9???么=2〃,

nT

b“=2"=_L______1

色「1)(%-1)—(2n-i)(2n+1-i)——2?+1-1

20.【解析】(1)取A。中點(diǎn)為N,連接PN,

因?yàn)樾?。為等邊三角形，所?/p>

且平面K4D_L平面A3CZ),平面PA。,平面ABCD=A￡>,PNu面E4￡),

所以PN_L平面ABCD,

又ABu平面ABC。，所以/WLAB,

又因?yàn)?？D，AB,PNPD=P,PN,PDu平面E4D

所以AB_L平面PAD,

又因?yàn)镈Mu平面B4D所以A3_LDM,

因?yàn)镸為AP中點(diǎn)，所以。且AB=A,PA,PBu平面P4。,

所以平面B4B,且DMu平面CDW,

(2)由(1)可知，狄，48且？0,43,PNPD=P,

所以AB_L平面B4。，且ADu平面mD,所以AB_LAD,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,A。所在直線為x,y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AD=2a(a<2),則可得

4（0,0,0）,5（2,0,0）,P（0,a,y/3a）,M0二,翌，C（2,a,0）,D（0,2a,0）,

\7

即P3=（2,—a,—島），DC=（2,-a,0）,DM=0,一一a,—a,

（22）

設(shè)平面MCD的法向量為〃=（x,y,z）,

DC-n=2x-ay=0

則DM-n=-—ay+^-az=0

22

則可得'2,_,取y=2,則x=。，Z=25

z=J3y

所以平面MC。的一個(gè)法向量為九=1,2,2百卜

設(shè)直線PB與平面MCD所成角為8,

所以sind=cos(PB,n)=,——r—=,~/=—j=

'/|叫時(shí)J4+4/?J16+/v3'

解得a?=16,或/=1,即a=4(舍去)或1,

所以AD=2,Vp_MCD=hPMD-\AB\=^xlx^3x2=^-.

21.解:(1)由已知條件，得A=2,

T2兀兀

又???一=3,T=—=12,???力=—.

4co6

又?:當(dāng)x=—1時(shí)，有y=2sin^--^-+^^=2,*.()-,

...曲線段FBC的解析式為j=2sin^x+y^,xe[-4,0].

(2)由y=2sinx+=1得x=6左+(—1)，一4(左eZ),

又xe[—4,0],.?.左=0,x=—3,；.G(—3,1),OG=M,

景觀路GO長為JI3千米.

(3)如圖，oc=6CD=I,：.OD=2,ZCOD=-

6

作軸于片點(diǎn)，在Rt^OPq中，尸4=OPsind=2sin。,

OPOM

在△OMP中,

sin120。sin(60°-^))

OPsin(60°-61)4,、

OM----------------------=—r=?sin(60°一。)=2cos0-------sin6,

sin120°6'，3

’2A/3.'

S平行四邊形OMPQ=°M-PP-2cos0-------sin8-2sin0

X3

7

=4sin6?cos6?-^sin2^=2sin2^+^cos26>-^

333

4#).-八兀2G，我。

-----sin2。+—4

36亍

當(dāng)2。+烏=四時(shí)，即。=四時(shí)，平行四邊形面