隨機(jī)變量的分布列（決策類）-2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

二輪大題專練48—隨機(jī)變量的分布列(決策類)

i.在一個系統(tǒng)中，每一個設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的

概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在

使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)備).已知某計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”

(即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備)的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計算

機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉.設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為一卜，它們之間相互不影響.

(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,求r的最小值；

(2)當(dāng)r=0.9時，求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列；

(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7,根據(jù)以往經(jīng)驗可知，

計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失.為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損

失，有以下兩種方案：

方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在09更新設(shè)備硬件總費用為8

萬元；

方案2：對系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8,設(shè)備維護(hù)總費用為5萬元.

請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？

解：(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,

則尸(X蝎)=1一尸(X<l)=l-P(X=0)=l-(l-r)30.992,

解得r..0.8,故r的最小值為0.8.

(2)X正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知，X~B(3,r),

尸(X=0)=c；X0.9°x(l-0.9)3=0.001,

P(X=1)=C；x0.91x(l-0.9)2=0.027,

P(X=2)=C；x0.92x(l-0.9)1=0.243,

P(X=3)=C；X0.93x(l-0.9)°=0.729，

從而X的分布列為

X0123

P0.0010.0270.2430.729

(3)設(shè)方案1、方案2的總損失分別為X1,X2,

采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.9,由(2)可知計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉

的概率為0.001,不斷掉的概率為0.999,

因為E(X1)=80000+0.001x500000=80500元.

采用方案2,對系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8,由(1)可知計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)

斷掉的概率為0.008,

E(X2)=50000+0.008X500000=54000元,

因此，從期望損失最小的角度，決策部分應(yīng)選擇方案2.

2.為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級，加強自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造、智能制造，把我國制造業(yè)和實

體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動我國經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一

些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計.某一小型工廠自己沒有

管理軟件的高級技術(shù)員，欲購買軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某一管理

軟件服務(wù)公司提供了如下兩種方案：

方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，每次提供軟件服務(wù)時，再另外收取200

元.

方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過15次,

不另外收費；若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次的收費標(biāo)準(zhǔn)為500元.

(1)設(shè)該管理軟件服務(wù)公司月收費為y元，每月提供軟件服務(wù)的次數(shù)為無，試寫出兩種

方案中y與X的函數(shù)關(guān)系式.

(2)該工廠對該管理軟件服務(wù)公司近20個月每個月為另一個工廠提供軟件服務(wù)的次數(shù)

進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖.該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，服務(wù)次數(shù)為13次和

16次的月份中任選3個月，求這3個月中恰好有1個月的服務(wù)次數(shù)為13次，2個月的服

務(wù)次數(shù)為16次的概率.

(3)依據(jù)條形圖中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，從節(jié)約服務(wù)成本的角度考慮，以一個月管理服務(wù)費的平

均值為決策依據(jù)，從兩種方案中選擇一種，該工廠選擇哪種方案更合適？請說明理由.

8

7

6

5

4

3

2

1

0

解：(1)由題意知方案一中管理軟件服務(wù)公司的月收費y與x的函數(shù)關(guān)系式為：

y=200x+4800,xeN.

方案二中管理軟件服務(wù)公司的月收費y與x的函數(shù)關(guān)系為：

’7600,x<15,且x€N,

y=i

500x+100,x〉15,且x€N.

(2)記選擇的3個月中，恰好有1個月的服務(wù)次數(shù)為13次，2個月的服務(wù)次數(shù)為16次

為事件A,

由題中條形圖得服務(wù)次數(shù)為13次的2個月份，分別記為A,B,

服務(wù)次數(shù)分別為16次的4個月份記為a,b,c,d,

從這6個月中隨機(jī)選擇3個月，所有可能的情況有20種，分別為：

(A,B,a),(A,B,Z?),(A,B,c),(A,B,d),

(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),

(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),

(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),

(〃，b,c),(〃，b,d),(〃，c,d),Qb,c,d),

這3個月中恰好有1個月的服務(wù)次數(shù)為13次,2個月的服務(wù)次數(shù)為16次包含的基本事件

有12種，分別為：

(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),

(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),

???這3個月中恰好有1個月的服務(wù)次數(shù)為13次，2個月的服務(wù)次數(shù)為16次的概率為P

=1一2二—3?

205

(3)設(shè)方案一中管理軟件服務(wù)公司的平均收費為同，

由已知和(1)中的結(jié)果可得二二工(7400X2+7600X8+7800X2+8000X4+8200X4)

丫120

=7800(元)，

設(shè)方案二中管理軟件服務(wù)公司的平均月收費為二二工乂(7600X12+8100X4+8600X4)

y220

=7900(元)，

?..?.從節(jié)約服務(wù)成本的角度考慮，記工廠選擇方案一更合適.

3.為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級，加強自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造、智能制造，把我國制造業(yè)和實

體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動我國經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一

些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計.某一小型工廠自己沒

有管理軟件的高級技術(shù)員，欲購買管理軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某

一管理軟件服務(wù)公司有如下兩種收費方案.

方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，對于提供的軟件服務(wù)，每次另外收費

200元；

方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過15次,

不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次另外收費500元.

(1)設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費為y元，每月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)為無，試寫出兩種

方案中y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該工廠對該管理軟件服務(wù)公司為另一個工廠過去20個月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)

行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從服務(wù)次數(shù)為13次

和14次的月份中任選3個月求這3個月，恰好是1個13次服務(wù)、2個14次服務(wù)的概率;

(3)依據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種

方案更合適，請說明理由.

解：(1)由題意知，方案一中管理軟件服務(wù)公司的月收費y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=

200x+4800,x￡N,

方案二中管理軟件服務(wù)公司的月收費y與x的函數(shù)關(guān)系為：

<7600,x<15,x€N,

y=i

500x+100,x>15,x€N.

(2)記選擇的3個月恰好是1個13次服務(wù)、2個14次服務(wù)為事件A,

CoCo7

則P(A)=:8=,

c315

^10

(3)對于方案一，設(shè)管理軟件服務(wù)公司的月收費為孑元,

由條形統(tǒng)計圖得W的取值為7400,7600,7800,8000,8200,

P(^=7400)=0.1,

P聶=7600)=0.4,

P(1=7800)=0.1,

P(3=8000)=0.2,

P(§=8200)=0.2,

的分布列為：

74007600780080008200

P0.10.40.10.20.2

E(p=7400X0.1+7600X0.4+7800X0.1+8000X0.2+8200X0.2=7800.

對于方案二，設(shè)管理軟件服務(wù)公式的月收費為“元，

由條形統(tǒng)計圖得n的可能取值為7600,8100,8600,

P(T]=7600)=0.6,

P(口=8100)=0.2,

P5=8600)=0.2,

Ail的分布列為：

n760081008600

P0.60.20.2

E(口)=7600X0.6+8100X0.2+8600X0.2=7900.

■:E(p<￡(T]),

???從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適.

4.小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲

方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前54單沒有獎勵,

超過54單的部分每單獎勵20元.

（1）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)〃的函數(shù)關(guān)系式;

（2）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下

條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在

（二二工，21]（〃=1,2,3,4,5）時，日平均派送量為50+2〃單，若將頻率視為概率，

55

回答下列問題：

①估計這100天中的派送量指標(biāo)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代

表）：

②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為x（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的

日薪X的分布列及數(shù)學(xué)期望.請利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合

適？并說明你的理由.

解：（1）甲方案中派送員日薪y(tǒng)（單位：元）與送單數(shù)”的函數(shù)關(guān)系式為：y=100+”，nGN,

乙方案中派送員日薪y(tǒng)（單位：元）與送單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為：y=

fy=140,n<54

J、，

y=20n-940,n》55,

⑵①(0.1X1+0.3X1.5+0.5X1+0.7X1+0.9X0.5)X0.2=0.44

②所以X甲的分布列為:

X甲152154156158160

P0.20.30.20.20.1

所以E（X甲）=152X0.2+154X0.3+156X0.2+158X0.2+160X0.1=155.4,

所以X乙的分布列為：

X乙140180220260

P0.50.30.20.1

所以E（X乙）=140X0.5+180X0.3+220X0.2+260X0.1=176,

由以上的計算結(jié)果可以看出，E（X甲）＜E（X乙），

即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應(yīng)選擇乙方案.

5.某班級體育課進(jìn)行一次籃球定點投籃測試，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互

獨立.在A處每投進(jìn)一球得3分，在8處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分.將學(xué)生得分

逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定為通過測試，立即停止投籃，否則

應(yīng)繼續(xù)投籃，直到投完三次為止.現(xiàn)有兩種投籃方案：

方案1：先在A處投一球，以后都在8處投；

方案2：都在3處投籃.

已知甲同學(xué)在A處投籃的命中率為工，在8處投籃的命中率為居.

45

（I）若甲同學(xué)選擇方案1,求他測試結(jié)束后所得總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（II）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由.

解：（I）設(shè)甲同學(xué)在A處投中為事件A,在8處第次z?投中為事件5冊=1,2）,

由己知p（A）=[,X的取值為0,2,3,4.

則P(X=0)=P(AB1B2)=P(A)P(B1)P(B2)4-X^-X^-=-^r

i，1/455100

——R41R146

P(X=2)=P(ABB)+P(ABB)=TX-FXF+TXFXF=7F，

‘1乙2,1乙243343b

1—QA4.19

P(X=3)=P(A)4，P(X=4)=P(AB1B2)=yX-^X-^=^-

4’4455N3

X的分布列為:

X0234

P3612

10025125

X的數(shù)學(xué)期望為：6(乂)=0><磊+2又條+3又4+4又條或今=3.15，

1UU4ZD1UU

(II)甲同學(xué)選擇方案1通過測試的概率為P1,選擇方案2通過測試的概率為P2,

則Pi=P(X=3)+P(X=4)4m^7=0-73，

TC1UU

——AAlA4414119

P2=P(B1B2)+P(B1B2B3)+P(B1B2B3)=?X-4yX-X-4TX-X-=I2ro.896

?：P2>P1,

.?.甲同學(xué)選擇方案2通過測試的可能性更大.

6.2017年H月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光,

一些投資商積極準(zhǔn)備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司準(zhǔn)備在2018年年初將

四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中.

項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實

物見證.現(xiàn)準(zhǔn)備投資建設(shè)20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個天坑院是

否盈利是相互獨立的，據(jù)市場調(diào)研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為p(0<p<l),

若盈利則盈利投資額的40%,否則盈利額為0.

項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)

市場調(diào)研，投資到該項目上，到2020年底可能盈利投資額的50%,也可能虧損投資額的

30%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為。和1-p.

(1)記X(單位：百萬元)為投資項目一盈利額，求E(X)(用p表示)；

(2)試以項目盈利的期望為依據(jù)，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項

目，并說明理由.

解：(1)由題意，記為盈利的田坑院個數(shù)，則Xi?8(20,p),

則盈利的田坑院數(shù)的均值E(Xi)=20p,

故盈利的均值為￡(X)=E(0.08X1)=0.08E(Xi)=0.08X20p=1.6p；

(2)記X2為投資項目二盈利額，則X2的分布列為：

X22-1.2

PP1-p

盈利的均值E(X2)=2p-12(1-p)=3.2p-1.2.

①當(dāng)E(0.08X1)=E(X2)時，L6p=3.2p-1.2,

解得p=2,故兩個項目均可投資；

4

②當(dāng)E(0.08X1)>E(X2)時，L6p>3.2p-1.2,

解得0<p<3,此時選擇項一；

4

③當(dāng)E(0.08X1)<E(X2)時，1.60<3.2p-1.2,

解得p>旦，此時選擇項二.

4

7.某智能機(jī)器人生產(chǎn)企業(yè)對一次性購買4臺機(jī)器人的客戶，推出了3種超過質(zhì)保期后延期

2年內(nèi)維修優(yōu)惠方案：

方案1：不交維修延保金，維修1次費用6000元；

方案2：交納延保金3000元，維修費用每次3000元；

方案3：交納延保金5000元，在延保期內(nèi)總共免費維修2次，超過2次每次維修費用2000

兀.

通過大數(shù)據(jù)得知，每臺智能機(jī)器人在2年延保期內(nèi)沒有故障的概率為2,每臺機(jī)器人出

3

現(xiàn)1次故障的概率為工.

3

記X表示這4臺智能機(jī)器人超過質(zhì)保期后延保的2年內(nèi)，共需維修的次數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）以3個方案所需費用（所交延保金及維修費用之和結(jié)果，保留為整數(shù)）的期望值作

為決策依據(jù)，客戶選擇哪種延保方案更合算？請說明理由.

解：（1）X的所有可能取值為0,1,2,3,4

則P(X=0)=

P（X=l）=「1X邑）3x」=絲,

匕匕，381

P(X=2)=C：X(y)2x

母2嚕

P(X=3)=「3義(A)3=W,

4381

p(x=4)=4=J_,

所以X的分布列為

X01234

P16322481

81比瓦81-81

（2）選擇延保方案1,所需費用H元的分布列為:

Y106000120001800024000

P16322481

81

E(H)=0XJA+6000X32.+12000X^1+18000X_^+24000X_1_=8000,

8181818181

選擇延保方案2,所需費用“元的分布列為:

Y23000600090001200015000

P16322481

81比8?8181

選擇延保方案3,所需費用n元的分布列為：

Y3500070009000

P81

比81

E(73)=5000X.§.+7000X-L+9000X-L^5247,

98181

E(丫3)<E(P2)<E(Ki),

所以客戶選擇第3種延保方案更合算.

8.經(jīng)過多年的努力，天水市秦安縣白鳳桃在國內(nèi)乃至國際上逐漸打開了銷路，成為部分農(nóng)

民脫貧致富的好產(chǎn)品.為了更好地銷售，現(xiàn)從某村的白鳳桃樹上隨機(jī)摘下了100個白鳳

桃進(jìn)行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間［200,500］內(nèi)(單位：克)，統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率

分布直方圖如圖所示：

(I)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在［350,400),［400,450)的白鳳桃中隨機(jī)抽取5個,

再從這5個白鳳桃中隨