概率隨機(jī)變量函數(shù)

關(guān)于概率隨機(jī)變量函數(shù)

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:

當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?第2頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性r=0,1,2,…一、的分布第3頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天解依題意

例2若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.第4頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.第5頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例3設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線x+y=z及其左下方的半平面.第6頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

化成累次積分,得

固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序第7頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對(duì)稱(chēng)性,fZ(z)又可寫(xiě)成以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.第8頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來(lái)求Z=X+Y的概率密度.卷積公式第9頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例4

若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即第10頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天暫時(shí)固定故當(dāng)或時(shí),當(dāng)

時(shí),當(dāng)

時(shí),于是第11頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例5

若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式第12頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天令得可見(jiàn)Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).第13頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天用類(lèi)似的方法可以證明:

若X和Y獨(dú)立,

結(jié)論又如何呢?

此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形,請(qǐng)自行寫(xiě)出結(jié)論.

若X和Y獨(dú)立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).第14頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.更一般地,可以證明:第15頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來(lái)求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)第16頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)第17頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來(lái)求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=1,…,n)

用與二維時(shí)完全類(lèi)似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:第18頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有第19頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例6

設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)開(kāi)始工作),如下圖所示.設(shè)的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫(xiě)出的壽命的概率密度.XYXYXY第20頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天XY解(i)串聯(lián)的情況

由于當(dāng)系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí),系統(tǒng)L就停止工作,所以此時(shí)L的壽命為因?yàn)閄的概率密度為所以X的分布函數(shù)為第21頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)

x>0時(shí),當(dāng)

x0時(shí),故類(lèi)似地,

可求得Y的分布函數(shù)為第22頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是的分布函數(shù)為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度為第23頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天XY(ii)并聯(lián)的情況

由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)都損壞時(shí),系統(tǒng)L才停止工作,所以此時(shí)L的壽命為故的分布函數(shù)為第24頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天XY于是的概率密度為(iii)備用的情況因此整個(gè)系統(tǒng)L的壽命為

由于當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)才開(kāi)始工作,第25頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)

z0時(shí),當(dāng)

z>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),上述積分的被積函數(shù)不等于零.故第26頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是的概率密度為第27頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱(chēng)M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值.第28頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、課堂練習(xí)設(shè)