2023-2024學(xué)年山西省運(yùn)城市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年山西省運(yùn)城市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知直線《：辦+夕-3=0,/z：(a+2)x-y+l=0互相平行，則a等于()

A.2B.1C.0D.-1

【正確答案】D

【分析】利用兩直線平行的必要條件4與=44求得實(shí)數(shù)。的值，進(jìn)而檢驗(yàn)即可.

【詳解】I?兩直線平行，...ax(-l)=lx(a+2),解得。=一1,

此時(shí)，兩直線方程為4：x-y+3=O,/jx-y+JO,兩直線互相平行，符合題意.

故選：D.

2.已知函數(shù)〃x)=4sinx+3#，(0),則廣(0)=()

A.-1B.-2C.1D.2

【正確答案】B

【分析】先求/'(X),再求/'(0)的值.

【詳解】解：因?yàn)椤▁)=4sinx+3寸(0),

所以_f(x)=4cosx+3/”(0),

所以/'(O)=4+3/'(O),解得八0)=-2.

故選：B.

3.已知S,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且%>0,%+。9<0則()

A.數(shù)列｛《,｝為遞增數(shù)列B.4<0

C.S,,的最大值為SgD.SI4>0

【正確答案】B

【分析】由%>0且。7+/=&+“9<0,所以《<°，所以公差d=%-%<0,所以14”47時(shí)

??>0,“28時(shí)知<0,逐項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】由%>0

且％+4=4+“9<0，

所以&<0,故B正確；

所以公差%-%<0,

數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤;

由d<0,a7>0,a8<0,

所以14〃W7,??>0,

"28時(shí)，a?<0,

S”的最大值為邑，故C錯(cuò)誤;

耳4二1%"；"'4)=7(%+4)<0,故D錯(cuò)誤.

故選：B

4.已知空間向量】晨M=l,付=&,且與；垂直，則一與。的夾角為()

A.60，B.30/C.135"D.45"

【正確答案】D

【分析】根據(jù)已知可得(二斗；=0,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出cos。,可=#，進(jìn)而求

出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楣ぃc)垂直，所以(二4二0,

功rr.rp.r,.r,rr、.rr、

即a-a-Z>=a-a卜色cos(za,b)=1-J2cos=0,

XXf~

所以cos(q,b)=-y-.

又02《@4180：所以")=45、

故選：D.

5.曲線/(x)=x3+x_2在外處的切線垂直于直線k則島的坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(2,8)

C.(1,0)或(T-4)D.(2,8)或(-1)

【正確答案】C

【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于4解方程，求得號(hào)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得兄點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】曲線"x)=x3+x-2在外處的切線垂直于直線尸-3-1,

所以切線的斜率為4,

依題意,令r(x)=3x?+l=4,解得x=±l,

/(I)=1+1-2=0,/(-1)=-1-1-2=-4,

故《點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)和(T-4),

故選：C

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載問題：“今有垣厚十六尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺,

小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢?”，意思是：今有土墻厚16尺，兩鼠

從墻兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長(zhǎng)度比

前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長(zhǎng)度是前一天的一半，問兩鼠相逢需要的最少天數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】C

【分析】設(shè)大鼠第〃天打洞%尺，小鼠第"天打洞"尺，其中〃eN,,分析可知兩數(shù)列均為

等比數(shù)列，確定這兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的求和公式以及數(shù)列的單調(diào)性可求

得結(jié)果.

【詳解】設(shè)大鼠第"天打洞4尺，小鼠第〃天打洞4尺，其中"eN*,

則數(shù)列｛/｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，a“=lx2"T=2i,

數(shù)列也｝是首項(xiàng)為9公比為方的等比數(shù)列，"

設(shè)數(shù)列｛%+4｝的前〃項(xiàng)和為S,,則S“=U-+：1=2"-4，

1-22

2

因?yàn)?+hn=2"-'+^>0,故數(shù)列｛S,,｝單調(diào)遞增，

因?yàn)镾4=16-\<16<S5=32-5，故兩鼠相遇至少需要5天.

故選：C.

7.若直線船+歹+&=0與曲線卜=1+也7僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

【正確答案】D

【分析】首先確定曲線的形狀，然后結(jié)合直線恒過定點(diǎn)考查臨界情況結(jié)合圖像即可確定實(shí)數(shù)

々的取值范圍.

【詳解】曲線y=l+，2x-x2即+(y-l)2-2x=0(yI),

BP(x-l)2+(y-l)2=l(y1),表示為圓心，r=1為半徑的圓的上半部分,

直線履+9+無=0即尸=-無(工+1)恒過定點(diǎn)(-1,0),

作出直線與半圓的圖象，如圖，

考查臨界情況：

當(dāng)直線過點(diǎn)(0,1)時(shí)，直線的斜率-%=1,此時(shí)直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線過點(diǎn)(2,1)時(shí)，直線的斜率-%=g,此時(shí)直線與半圓有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心”(1,1)到直線Ax+y+左=0的距離為1,且-左＞0,

即:1，解得：左=-：,(?=0舍去).

明5~+亨13

據(jù)此可得，實(shí)數(shù)上的取值范圍是(T-J{4}-

故選：D.

8.已知曲線C的拋物線/=2x及拋物線/=-2x組成，4(1,2),8(-1,2),是曲線C

上關(guān)于V軸對(duì)稱的兩點(diǎn)(48,M,N四點(diǎn)不共線，且點(diǎn)M在第一象限)，則四邊形力BMW周

長(zhǎng)的最小值為()

A.2+V17B.1+V17C.3D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)”(1,2),8(-1,2),M,N是曲線C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)

稱性建立四邊形/8NM周長(zhǎng)模型/=|力用+2|/"|+2為，再由拋物線的定義得到

2XM^2\MF\-\,然后由直線段最短求解.

【詳解】設(shè)拋物線V=2x的焦點(diǎn)為廣，

則四邊形為8W的周長(zhǎng):/=|/卻+2|/囪+2&=2+2|/陷+[MI\-1>1+^=1VB,

當(dāng)4例,尸共線時(shí)取等號(hào)，

故選：B.

本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)以及四邊形周長(zhǎng)最值問題，屬于中檔題.

二、多選題

9.已知空間中三點(diǎn)/(0,1,0),5(2,2,0),C(-l,3,l),則下列結(jié)論正確的有()

A.AB1AC

B.與共線的單位向量是

C.與8^夾角的余弦值是運(yùn)

11

D.平面/8C的一個(gè)法向量是(1,-2,5)

【正確答案】AD

【分析】A選項(xiàng)，數(shù)量積為0,則兩向量垂直；B選項(xiàng)，判斷出(1,1,0)不是單位向量，且與

不共線：C選項(xiàng)，利用向量夾角坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，利用數(shù)量積為0,證明出

m1AB,m1BC,從而得到結(jié)論.

【詳解】/方二(2』,0}(-1,2,1)=-2+2=0,i&ABlAC，A正確;

(1,1,0)不是單位向量，且(1,1,0)與4方1(2,1,0)不共線,B錯(cuò)誤;

_戚嘰（2,1,0）（-3,1,1）:755

cos（AB,BC）-J7，C錯(cuò)誤;

網(wǎng)業(yè)q5/5X7H

設(shè)加=（1,一2,5）,則機(jī)=2,5）（2,l,0）=2-2=0,

m-BC=（l,-2,5）-（-3,l,l）=-3-2+5=0,

所以m，J.BC,又ABcBC=B,所以平面力5c的一個(gè)法向量是（1,-2,5）,D正確.

故選：AD

10.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,其前〃項(xiàng)和為S,,,前〃項(xiàng)積為1,且滿足條件4>1,

a2022a2023>1，（。2022-1）（。2023-1）<0，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.0<q<1B.$2022+1>$2023

C.加3是數(shù)列｛1｝中的最大項(xiàng)D.小3>1

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)己知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，貝II2。22八或廣。2267,>1,

0

也023-1<°[?2023-1>

?2022-?2023>1>所以。2022>1，?2023<1>推得公比0<4<1，即可依次求解?

【詳解】（。2022-1）'（。2023-1）<

[6F—1>0[_1<0

則92n09272或2儂

“023-1<。[“2023一1>。

Q"1>1，”2022,02023>1，

，“2022和。2023同號(hào)，且同為正，

且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1,

Q4>1,

，。2022>1，出023<1，即數(shù)列｛見｝的前2022項(xiàng)大于1,

而從第2023項(xiàng)開始都小于1,

對(duì)于A,公比0<4=詠<1,故A正確，

a2022

對(duì)于B,。2023<1，

??。2023=S2023—*^2022<1,即^,2022+1〉*^2023,故B正確,

對(duì)于C,等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為北,

且數(shù)列｛勺｝的前2022項(xiàng)大于1,而從第2023項(xiàng)開始都小于1,

故5）22是數(shù)列億,｝中的最大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,&43=…“4043="20229

“2022>1，

4（）43

A^2022>1，即*43>1，故D正確.

故選：ABD

22

11.已知雙曲線,-￡=1（。>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,且歸用=2,點(diǎn)p是

雙曲線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，夕尸鳥的平分線交x軸于點(diǎn)巴￡垂直于交尸〃于E,

則以下結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)居到漸近線的距離為;時(shí)，該雙曲線的離心率為亞

B.當(dāng)附|=3a時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為0）

C.當(dāng)W_LP瑪時(shí)，三角形耳陰的面積S=1

D.若|?！陓=；,則雙曲線的漸近線方程為y=土3x

【正確答案】AB

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出b的值，可求得雙曲線的離心率，可判斷A選項(xiàng)；利

用角平分線的性質(zhì)求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的定義、勾股定理以及三

角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；利用雙曲線的定義求出。的值，進(jìn)而可求得。的值，可得出

雙曲線的漸近線方程，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為卜=±2乂，即以土砂=0,

a

點(diǎn)下到漸近線的距離為J?（6且閨用=2C=2,故C=1,

yjh2+a2

所以，a=朽方=走，此時(shí)，雙曲線的離心率為e=￡=2?，A對(duì)；

2a3

對(duì)于B選項(xiàng)，若仍周=3a,由雙曲線的定義可得|"|=|W|-2a=a,

|四|SPFM%川1PMs_

3,則歸M|=3陽(yáng)

I尸2MSp&M211PMsin42PM幟I

設(shè)點(diǎn)”(加,0),由忻陷=3人M可得機(jī)+1=3(1-〃?)，解得陽(yáng)=1,即點(diǎn)B對(duì);

2

||吶_|%|=2〃

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)做工尸用時(shí)，由題意可得?

.1吶2+|帆「=給'

所以，|尸￡「+|產(chǎn)工『-2附卜鶴|="-2四］花卜2,可得忸￡卜|為|=?2,

此時(shí)，5."2=4尸尸3附中尸＜1，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線EE交直線P片于點(diǎn)N,如下圖所示:

由已知，2EPN=2EPF”PELNF2,

所以，PNg為等腰三角形，且|PN|=|「用，E為班的中點(diǎn),

又因?yàn)?。?月的中點(diǎn)，則陽(yáng)N|=2|(網(wǎng)=1,

且閨N|=|P用-|PN|=|「制-|P用=2a=l,故a=；,則人=后=7=3，

此時(shí)，雙曲線的漸近線方程為夕=±2工=±瓜，D錯(cuò).

a

故選：AB.

12.已知函數(shù)/(x),/'(力是其導(dǎo)函數(shù)，Vxe(0,5，/"(x)cosx+/(x)sinx=lnx恒成立,

則()

A，+卜.。)B.(6-1)/(幻悟)

C.何周〈何圖D.2/圖＞(6+1)/圖

【正確答案】ABD

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/CD(0<x<g］，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，依次判斷各個(gè)選

cosxI2)

項(xiàng)，進(jìn)而得解.

【詳解】設(shè)g(x)=3^O<x<E|,則g，(x)=/'(x)c°sX：/(x)sinx=^,

cosxV2JCOSXCOSX

當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)1cx時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以g［?)>g(l)，g［2)>g(l)，所以gQ)+g圖>2g(l),

即々Ij?/嘰2/(1),所以/圖+何圖COS1>AA/'(1),故A正確；

也\3Jcos1L」

因?yàn)閅喑4,所以g圖<g圖

所以，故B正確;

因?yàn)椤zW得<1,所以g圖,g("g(臥g("

Hn/'i冗冗/'(冗，171|71][、j71

即/"C0SRCOS->COSJ因?yàn)椋?/p>

c°S4_7>/<T4；T6?J47/U~7J7127cos_12=-----4----

所以何闈>何用,2/(臥(6+l)U故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.已知空間三點(diǎn)”(-2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)：:/片，b=AC，|^=3)且

，、,、，、

c〃(b-a),則。=.

【正確答案】(-2,7,2)或(2,1,-2)

【分析】先求得，［］然后根據(jù)向量共線以及向量的模求得1

【詳解】b-a=AC-AB=BC={r2,-\,i),

由于力口1j,所以Hx(-2,-l,2)=(-2x,-x,2x),

所以卜卜A/4X2+X2+4X2=3|M=3,x=±1,

所以；為(-2,-1,2)或(2,1,-2).

故(-2,-1,2)或(2,1,-2)

14.己知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和S?滿足S,=正巳，則數(shù)列，」一的前2022項(xiàng)的和為

【正確答案】黑2022

2023

【分析】利用E,求得勺，再結(jié)合裂項(xiàng)求和法，即可求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)〃22時(shí)，a=s-S?一("-I>+〃T=〃,又％=￡=1滿足a,,=",故

nnn—i?2

a?=",(〃€N*),

貝lj數(shù)歹J—|的前2022項(xiàng)的和s=-!-+—!-++—!—

144+iJ"i"2a2a3^2022^2023

112022

=---+----++----------------1------1---------卜T-------------------=1---------

1x22x32022x20232232022202320232023

2022

故答案為.礪

15.己知橢圓C:)的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),過片作傾斜角為的直

/+瓦=1(a>6>0230”

線，與以坐標(biāo)軸原點(diǎn)。為圓心，桶圓半焦距為半徑的圓交于點(diǎn)A(不同于點(diǎn)片)，與橢圓C

在第一象限交于點(diǎn)8,若瑪z=5(鳥耳+鳥町，則橢圓c的離心率為.

【正確答案】避二1

2

??,X1??,X??,X

【分析】由瑪/三低片+死可與5傷為直徑所對(duì)的圓周角得出F2A為線段空的垂直平

分線，再結(jié)合已知條件中的角與橢圓的定義得出|耳?=勿且優(yōu)吊=2"2丘，列式即可得

出答案.

1——,■■X

【詳解】

F2A=-(F2F]+F2B),

???點(diǎn)4是線段月B的中點(diǎn)，

為直徑所對(duì)的圓周角,

:.F2A1.F.B,

為線段的垂直平分線，

??.F,F2=F2B,F、B=2F}A,

過6的直線的傾斜角為30%,

乙4與鳥=30?

/.F2A=2F、F2,

石，鳥為橢圓c的焦點(diǎn)，

:.\FxF^=2c,

.?.怩用=2°且因旬=。，

.?.山/|=J(2C)2+仁=島，

.,.|耳)=2心,

點(diǎn)8在橢圓C上，

:.\F{B\+\F2B\=2a,

:.\F2B\-2a-2y/3c,

2c=la—2也c,即e=￡=~->

a2

故答案為.叵」

2

16.設(shè)函數(shù)〃x)=sinx+e*-eT-x+2,則滿足/(F)+/(x-2)<4的x的取值范圍是

【正確答案】(-2,1)

【分析】設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-2,判斷g(x)的單調(diào)性與奇偶性,把不等式

/(巧+/(尸2)<4變形為/(巧-2〈-[/(x-2)-2]轉(zhuǎn)化為g(x)的不等式解決.

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)-2=sinx+e，-e「x,

因?yàn)間(x)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

又因?yàn)間(-x)=/(-x)-2=sin(-x)+e"X_/')^=-sinx+ex-e'+x

=-(sinx+ex-ex-x)=-g(x),即g(—x)=—g(x)

所以g(x)是定義在R上的奇函數(shù).

又g'(x)=/'(^)=cosx+eA+e~A-1

又因?yàn)閑'+eT22必才=2當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)

所以g'(x)=/'(x)=cosx+e，+ef-l>l+cosx>0

所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

又/(X2)+/(X-2)<4

即g(x，<-g(x-2),

又因?yàn)間(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以-g(x-2)=g[-(x-2)]=g(2-x)

所以g(V)<g(2-x)

又因?yàn)間(x)在R上單調(diào)遞增

所以％2<2-x,BPx2+x-2<0

所以(無+2口-1)<0

所以—2av1

所以滿足/卜2)+/(》-2)<4的工的取值范圍是(-2,1)

故(-2,1)

四、解答題

17.等比數(shù)列組,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且％+%=10，4a'=a2-a6.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛”?%｝的前〃項(xiàng)和

【正確答案】(1)q,=2"；(2)-1)2-+2.

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可:

(2)利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：(1)設(shè)數(shù)列｛對(duì)｝的公比為4，

貝114>0,由4a；=出?6=a4

得：d=4,所以g=2.

由q+/=q+4al=5q—10,得到q=2

所以數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式為a?=2".

(2)由條件知，

7；=1X2+2X22+3X23++〃X2"

X27；=1X22+2X23+3X24+L+"X2"”

將以上兩式相減得

2｝n+ln+l+

-Tn^2+2+2++2"-nx2=2(2"-1)-wx2=(1-n)2"'-2

所以7；=(〃-l)2e+2.

18.已知函數(shù)/(x)=-x+xlnx.

(1)求/(x)的極值；

(2)若函數(shù)y=/(x)-〃，在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【正確答案】(1)極小值為T,無極大值

2

(2)-1<w<——

e

【分析】(1)求出/'(X),分別令?(x)>0、/"(x)<0,解不等式可得答案；

(2)可轉(zhuǎn)化為N=/(x)與>的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】(1)

*.*/(x)=-x+x\nx,/z(x)=Inx,

令/小)>0,解得X>1；令/'(x)<0,解得0<x<l,

/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（I,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）,

二/。）在》=1處取得極小值=無極大值；

（2）y=在+8）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為_^=/（》）與'=機(jī)的圖象有兩

個(gè)不同的交點(diǎn)，

由（1）易知，又

、2

當(dāng)X—>+oo時(shí)，顯然/（x）—>+℃,—1<m<—.

19.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)尸（1,0）的圓/與直線/：x=-l相切，設(shè)圓心”的軌跡為曲線

（1）求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)p（1,0）的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn),線段48的垂直平分線交x軸于點(diǎn)/>（4,0）,求

從用的面積S.

【正確答案】⑴V=4x

(2)S=^6

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)M（x，V）為曲線C上任意一點(diǎn)，依題意可得|“尸|與點(diǎn)”到直線/的距離相

等，即瓜彳T7=|x+l|，整理即可；

（2）首先分析直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線方程為y=Mx-l）,工（七,x），B（x2,y2）,

聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，求出線段13的中點(diǎn)N（x°,%）的坐標(biāo)，依題意

可得直線月8與直線NP垂直，即可求出人,再由弦長(zhǎng)公式求出?同，求出原點(diǎn)到直線的距

離，即可得解.

【詳解】(1)解：設(shè)點(diǎn)M(xj)為曲線C上任意一點(diǎn)，因?yàn)閳A"過點(diǎn)尸(1,0)且與直線/：x=-l

相切，

所以\MF\與點(diǎn)/到直線/的距離相等，故"1)2+?=|x+"，

整理得V=4x,所以曲線。的方程為/=4x；

(2)解：過點(diǎn)尸(1,0)的斜率為0的直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求，

過點(diǎn)尸(1,0)的斜率不存在的直線為x=l,直線x=l與拋物線V=4x的交點(diǎn)為(1,2),

(L-2),此時(shí)線段力8的垂直平分線為丁=0,不滿足要求，

所以直線斜率存在且不為0,設(shè)直線力8方程為y=A(x-l),k#0,

,[y=k(x-\\^.

由〈，-4y-4A-=0,

[y=4x

方程如2-4y-4k=0的判別式△=16+16*>0,

4

設(shè)」(XQJ,8(程%),則必+%=：，M%.-4

k

設(shè)線段”中點(diǎn)為=匕手=1%="+1=1+1,

2kkk

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)尸(4,0),所以直線AB與直線NP垂直,

2

卜H_瓜

原點(diǎn)O到直線力8的距離d=

而+(-i"W

故AOB的面積S——=—x6x=&

21123

20.如圖，在圓柱。。中，CE是圓柱的一條母線，NBCD是圓。的內(nèi)接四邊形，是圓。

的直徑，CD//AB.

(1)若48=2CD,求證：〃平面CEO；

(2)若CD=CE=；AB=l,求直線BE與平面ADE所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵年

【分析】(1)由已知得四邊形”。。為平行四邊形，得到再由線面平行的判定定

理可得答案；

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4CB,CE所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

C-斗，求出平面的一個(gè)法向量、I.的坐標(biāo)，由線面角的向量求法可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)镹8=2CO所以/。=8因?yàn)镃DHAB，所以四邊形AOCD為平行四邊形,

所以“D〃OC,

又因?yàn)镺Cu平面CE。，/。(/:平面。^。，

所以AD〃平面CEO；

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4,CB,CE所在直線為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-.，

因?yàn)镃O//NB,所以BC=1,AC=日NB4c=30",

則點(diǎn)”("0,0),5(0,1,0),D乎,一；，0，￡(0,0,1),

\/

…八//7?A八

所以4E=卜0,0,1),QE=「'，5，1J,fi￡=(O,-l,l),

設(shè)平面ADE的法向量為胴=(X|，M，4),

x”.八—>/3Xi+Z1=0

fm-AE=0

則X一即一立

西+g必+4=o

［加?DE=05T

令x、=百,可得m=(A/I,-3,3),

設(shè)直線BE與平面ADE所成角為。，

sin6=|cos

所以直線BE與平面ADE所成角的正弦值為叵.

7

21.己知橢圓C：。4=1(°>6>0),長(zhǎng)軸是短軸的2倍，點(diǎn)尸(231)在橢圓C上，且P

在X軸上的投影為點(diǎn)0.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若過點(diǎn)。且不與y軸垂直的直線/與橢圓C交于"，N兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在

點(diǎn)T&0)，使得直線加，7W斜率之積為定值?若存在，求出f的值：若不存在，請(qǐng)說明理

由.

【正確答案】⑴蘭+亡=1

164

(2)存在，Z=4

【分析】(1)由題意列方程組求解,

(2)設(shè)直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理與斜率公式化簡(jiǎn)求解,

121

【詳解】(1)由題意得。=26,KU'

解得”4,5.故橢圓C的方程為"%】,

(2)由題意得。(2百,0),設(shè)直線方程為x=〃“+26,

代入x2+4y2=16得(〃/+4)y2+4\p3my—4=0,

-4也m

學(xué)，

設(shè)凹),Ng,%)，則，

而女/M的V=