工程振動(dòng)分析與控制基礎(chǔ) 第2版 課件 -第6章-有限元法

《工程振動(dòng)分析與控制基礎(chǔ)》第6章有限元法第6

章有限元法6.1引言6.2假設(shè)模態(tài)法6.3一維彈性體振動(dòng)的有限元分析6.4常用有限元分析軟件23145676.1引言

6.1引言

有限元法(FiniteElementMethod,FEM)是一種靈活、快速、有效地進(jìn)行各領(lǐng)域數(shù)理方程求解的通用數(shù)值分析方法有限元法的基本思想是將連續(xù)體(彈性體)系統(tǒng)離散成有限多個(gè)單元組成的多自由度系統(tǒng)進(jìn)行近似求解,即將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分割為若干彼此之間僅在結(jié)點(diǎn)處相互連接的單元,每一個(gè)單元都是一個(gè)彈性體,為了保證單元之間的連續(xù)性,插值函數(shù)通常由結(jié)點(diǎn)處的廣義位移來(lái)表示有限元法涉及的主要近似解法主要有變分法、瑞利—里茨(Rayleigh-Ritz)法、權(quán)重余項(xiàng)法(如伽遼金法)等方法21345676.2假設(shè)模態(tài)法6.2假設(shè)模態(tài)法假設(shè)模態(tài)法是一種將彈性體系統(tǒng)離散化的方法,可用于求解彈性體在激勵(lì)下的近似強(qiáng)迫響應(yīng),其主要思路是選取合適的假設(shè)模態(tài),將彈性體的響應(yīng)展開成假設(shè)模態(tài)和待定廣義坐標(biāo)的線性組合形式,進(jìn)而計(jì)算彈性體在廣義坐標(biāo)下的動(dòng)能和勢(shì)能,代入拉格朗日方程后,將彈性體系統(tǒng)強(qiáng)迫響應(yīng)的求解轉(zhuǎn)換成n個(gè)自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫響應(yīng)的求解問(wèn)題用假設(shè)模態(tài)法求解彈性體的近似強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng),首要的前提是需要知道假設(shè)模態(tài),即容許函數(shù),假設(shè)模態(tài)取得越精確(越接近于真實(shí)模態(tài)振型),則得到的強(qiáng)迫響應(yīng)的近似程度就越高。然而在實(shí)際求解過(guò)程中,選取足夠精確的假設(shè)模態(tài)是較為困難的,這也是阻礙假設(shè)模態(tài)法廣泛應(yīng)用的瓶頸21345676.3一維彈性體振動(dòng)的有限元分析6.3.1網(wǎng)格劃分進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析時(shí),最重要的前處理工作之一是將結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分。對(duì)于本節(jié)研究的一維彈性體,首先把結(jié)構(gòu)劃分成s個(gè)單元,再分別對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào),如圖6-1所示,可得s+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。顯然,網(wǎng)格劃分得越細(xì),計(jì)算精度也越高,但計(jì)算工作量也越大,計(jì)算時(shí)間就越長(zhǎng)。所以要根據(jù)實(shí)際情況和要求,綜合考慮精度要求和計(jì)算量這兩方面因素,對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)、合理的網(wǎng)格劃分圖6-1一維彈性體結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分6.3.2桿單元的質(zhì)量陣和剛度陣下面針對(duì)圖6-2所示的長(zhǎng)度為le的桿單元,采用假設(shè)模態(tài)法確定其單元質(zhì)量陣Me和剛度陣Ke。假設(shè)在單元局部坐標(biāo)系xe下,桿單元的兩端結(jié)點(diǎn)位移分別為qe1和qe2,u(xe,t)為單元位移,桿單元的位移邊界條件如下:圖6-2桿單元示意圖6.3.3梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量陣和剛度陣梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量陣和剛度陣的推導(dǎo)過(guò)程與桿單元相似,只不過(guò)對(duì)于梁?jiǎn)卧獊?lái)說(shuō),其結(jié)點(diǎn)廣義位移有2個(gè)(分別為撓度和轉(zhuǎn)角,見(jiàn)圖6-3)圖6-3梁?jiǎn)卧疽鈭D6.3.4單元集成與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解相應(yīng)的單元運(yùn)動(dòng)微分方程:式中,單元激勵(lì)力向量Re(t)的第j個(gè)元素的表達(dá)式為:其中的φj(xe)見(jiàn)式(6-18)(對(duì)于桿)或式(6-26)(對(duì)于梁)21345676.4常用有限元分析軟件6.4常用有限元分析軟件有限元法(FEM)是針對(duì)結(jié)構(gòu)分析而迅速發(fā)展起來(lái)的一種現(xiàn)代計(jì)算方法,是20世紀(jì)50年代首先在連續(xù)體力學(xué)領(lǐng)域即飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)特性分析中應(yīng)用的一種十分有效而強(qiáng)大的數(shù)值分析手段,涵蓋幾乎所有的科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域1.AN