高考數(shù)學(xué)拋物線的性質(zhì)重點(diǎn)題型

拋物線的性質(zhì)適用學(xué)科中學(xué)數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二適用區(qū)域蘇教版課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60學(xué)問點(diǎn)1、拋物線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用3．直線與拋物線問題教學(xué)目標(biāo)1．學(xué)問與技能(1)探究拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，初步學(xué)習(xí)利用方程探討曲線性質(zhì)的方法．(2)駕馭拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，理解拋物線方程與拋物線曲線間互逆推導(dǎo)的邏輯關(guān)系與利用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題．2．過程與方法(1)通過拋物線的方程探討拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)驗(yàn)學(xué)問產(chǎn)生與形成的過程，培育學(xué)生視察、分析、邏輯推理、理性思維的實(shí)力．(2)通過駕馭拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)與應(yīng)用過程，培育學(xué)生對(duì)探討方法的思想滲透與運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的實(shí)力．3．情感、看法與價(jià)值觀通過數(shù)與形的辯證統(tǒng)一，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教化，通過對(duì)拋物線對(duì)稱美的感受，激發(fā)學(xué)生對(duì)美妙事物的追求．教學(xué)重點(diǎn)駕馭拋物線的幾何性質(zhì)，使學(xué)生能依據(jù)給出的條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和一些實(shí)際應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)拋物線各個(gè)學(xué)問點(diǎn)的敏捷應(yīng)用．

教學(xué)過程課堂導(dǎo)入太陽(yáng)能是最清潔的能源．太陽(yáng)能灶是日常生活中應(yīng)用太陽(yáng)能的典型例子．太陽(yáng)能灶接受面是拋物線一部分繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面．它的原理是太陽(yáng)光線(平行光束)射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽(yáng)能灶把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)．師：拋物線有幾個(gè)焦點(diǎn)？【提示】一個(gè)．師：拋物線的頂點(diǎn)與橢圓有什么不同？【提示】橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)．師：拋物線有對(duì)稱中心嗎？【提示】沒有．師：拋物線有對(duì)稱軸嗎？若有對(duì)稱軸，有幾條？【提示】有；1條．

一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的內(nèi)容提問雙曲線有哪些幾何性質(zhì)，獲得的途徑有哪些？（從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)與離心率等探討拋物線的幾何性質(zhì)．）

二、學(xué)問講解類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)F(－eq\f(p,2)，0)F(0，eq\f(p,2))F(0，－eq\f(p,2))性質(zhì)準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下考點(diǎn)1拋物線性質(zhì)

考點(diǎn)2直線與拋物線1、通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線的軸的弦AB，叫做拋物線的通徑，其長(zhǎng)為叫做拋物線的．2、拋物線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上隨意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；y2=2px(p＜0＝上隨意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；3、拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;

三、例題精析【例題1】【題干】已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【答案】y2＝±4eq\r(2)x.【解析】由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．焦點(diǎn)F(eq\f(a,4)，0)，直線l：x＝eq\f(a,4)，∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(eq\f(a,4)，eq\f(a,2))，(eq\f(a,4)，－eq\f(a,2))，∴AB＝|a|，∵△OAB的面積為4，∴eq\f(1,2)·|eq\f(a,4)|·|a|＝4，∴a＝±4eq\r(2)，∴拋物線的方程為y2＝±4eq\r(2)x.

【例題2】【題干】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸重合于橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程．

【答案】y2＝20x或y2＝－20x.【解析】∵橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，∴橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1短軸所在的直線為x軸．∴拋物線的對(duì)稱軸為x軸．∴設(shè)拋物線的方程為y2＝mx(m≠0)．∴|eq\f(m,4)|＝5，∴m＝±20.∴所求拋物線的方程為y2＝20x或y2＝－20x.

【例題3】【題干】已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AB＝eq\f(5,2)p，求AB所在直線的方程．

【答案】y＝2(x－eq\f(p,2))或y＝－2(x－eq\f(p,2))．【解析】法一焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，若AB⊥Ox，則AB＝2p<eq\f(5,2)p.所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為y＝k(x－eq\f(p,2))，k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\f(p,2),y2＝2px))，消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由韋達(dá)定理得，y1＋y2＝eq\f(2p,k)，y1y2＝－p2.∴AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋\f(1,k2)·y1－y22)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2p(1＋eq\f(1,k2))＝eq\f(5,2)p，解得k＝±2.∴AB所在直線方程為y＝2(x－eq\f(p,2))或y＝－2(x－eq\f(p,2))．法二如圖所示，拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，設(shè)A、B到準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB，由拋物線的定義知，AF＝dA＝x1＋eq\f(p,2)，BF＝dB＝x2＋eq\f(p,2)，于是AB＝x1＋x2＋p＝eq\f(5,2)p，x1＋x2＝eq\f(3,2)p.當(dāng)x1＝x2時(shí)，AB＝2p<eq\f(5,2)p，所以直線AB與Ox不垂直．設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－eq\f(p,2))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\f(p,2),y2＝2px))，得k2x2－p(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2p2＝0，x1＋x2＝eq\f(pk2＋2,k2)＝eq\f(3,2)p，解得k＝±2，所以直線AB的方程為y＝2(x－eq\f(p,2))或y＝－2(x－eq\f(p,2))．

【例題4】【題干】斜率為eq\f(1,2)的直線經(jīng)過拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

【答案】10【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則對(duì)于拋物線x2＝8y，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB＝p＋(y1＋y2)＝4＋(y1＋y2)．因?yàn)閽佄锞€x2＝8y的焦點(diǎn)為(0,2)，且直線AB的斜率為eq\f(1,2)，所以直線AB的方程為y＝eq\f(1,2)x＋2，代入拋物線方程x2＝8y，得y2－6y＋4＝0，從而y1＋y2＝6，所以AB＝10.即線段AB的長(zhǎng)為10.

【例題5】【題干】已知P是拋物線y2＝4x上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)A(a,0)，試求當(dāng)PA最小時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】P點(diǎn)的坐標(biāo)為：a≤2時(shí)，P(0,0)；a＞2時(shí)，P(a－2，±2eq\r(a－2))．【解析】設(shè)P(x，y)，則PA＝eq\r(x－a2＋y2)＝eq\r(x－a2＋4x)＝eq\r([x－a－2]2＋4a－4).∵x≥0，a∈R，∴需分類探討如下：(1)當(dāng)a－2≤0即a≤2時(shí)，PA的最小值為|a|，此時(shí)P(0，0)．(2)當(dāng)a－2＞0即a＞2時(shí)，則x＝a－2，PA取得最小值為2eq\r(a－1)，此時(shí)P(a－2，±2eq\r(a－2))．綜上所述，PA最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：a≤2時(shí)，P(0,0)；a＞2時(shí)，P(a－2，±2eq\r(a－2))．

【例題6】【題干】求拋物線y＝x2上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離．

【答案】eq\f(7\r(2),8).【解析】法一設(shè)拋物線y＝x2上一點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：x－y－2＝0的距離為d，則d＝eq\f(|x0－y0－2|,\r(2))＝eq\f(|x\o\al(2,0)－x0＋2|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))|(x0－eq\f(1,2))2＋eq\f(7,4)|.當(dāng)x0＝eq\f(1,2)時(shí)，dmin＝eq\f(7\r(2),8).法二eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,x－y＋m＝0))消去y得x2－x－m＝0令Δ＝1＋4m＝0得m＝－eq\f(1,4)，∴切線方程為x－y－eq\f(1,4)＝0，∴最短距離為d＝eq\f(|－2＋\f(1,4)|,\r(2))＝eq\f(7,8)eq\r(2).

【例題7】【題干】求過定點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．

【答案】x＝0或y＝1或y＝eq\f(1,2)x＋1.【解析】若直線的斜率不存在，則過點(diǎn)P(0,1)的直線方程為x＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y2＝2x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))∴直線x＝0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．若直線的斜率存在，則由題意設(shè)直線的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x))消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))即直線y＝1與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)k≠0時(shí)，有Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝eq\f(1,2)，即方程為y＝eq\f(1,2)x＋1的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上所述，所求直線的方程為x＝0或y＝1或y＝eq\f(1,2)x＋1.

四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是________．【答案】y2＝8x【解析】∵eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.

2．經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的全部焦點(diǎn)弦中，弦長(zhǎng)的最小值為________．【答案】2p【解析】通徑長(zhǎng)為2p.

3．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝8，則PQ的值為________．【答案】10【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.

4．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線的距離是________．【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，雙曲線的漸近線方程為eq\r(3)x－y＝0或eq\r(3)x＋y＝0，則焦點(diǎn)到漸近線的距離d1＝eq\f(|\r(3)×1－0|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq\f(\r(3),2)或d2＝eq\f(|\r(3)×1＋0|,\r(\r(3)2＋12))＝eq\f(\r(3),2).

【鞏固】1．已知等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A，B在拋物線y2＝6x上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的邊長(zhǎng)為________．【答案】12eq\r(3)【解析】設(shè)△AOB邊長(zhǎng)為a，則A(eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2))，∴eq\f(a2,4)＝6×eq\f(\r(3),2)a.∴a＝12eq\r(3).

2．過拋物線y＝ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別為m、n，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝________.【答案】4a【解析】由焦點(diǎn)弦性質(zhì)知eq\f(1,PF)＋eq\f(1,FQ)＝eq\f(2,p)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,a)y(a>0)，∴2p＝eq\f(1,a)，p＝eq\f(1,2a)，∴eq\f(1,PF)＋eq\f(1,FQ)＝4a，即eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝4a.

3．已知弦AB過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是________．【答案】相切【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)為M(x0，y0)，如圖，則AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p.設(shè)A，B，M到準(zhǔn)線l：x＝－eq\f(p,2)距離分別為d1，d2，d，則有d1＝x1＋eq\f(p,2)，d2＝x2＋eq\f(p,2)，d＝eq\f(d1＋d2,2)＝eq\f(x1＋x2＋p,2)＝eq\f(AB,2)，∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．

4．如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬________米．【答案】2eq\r(6)【解析】設(shè)水面與拱橋的一個(gè)交點(diǎn)為A，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為(2，－2)．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則22＝－2p×(－2)，得p＝1.設(shè)水位下降1米后水面與拱橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，－3)，則xeq\o\al(2,0)＝6，解得x0＝±eq\r(6)，所以水面寬為2eq\r(6)米．

【拔高】1．設(shè)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，M為拋物線上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線l：3x＋4y－14＝0的距離的最小值為1，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】x2＝－16y.【解析】設(shè)與l平行的切線方程為3x＋4y＋m＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2py,3x＋4y＋m＝0))得2x2－3px－pm＝0.∴Δ＝0即m＝－eq\f(9,8)p.又d＝eq\f(|14－\f(9,8)p|,5)＝1，∴p＝8或p＝eq\f(152,9)(舍)，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－16y.

2．過點(diǎn)(0,4)，斜率為－1的直線與拋物線y2＝2px(p＞0)交于兩點(diǎn)A，B，假如OA⊥OB(O為原點(diǎn))求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1,0)．【解析】直線方程為y＝－x＋4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋4，,y2＝2px，))消去y得x2－2(p＋4)x＋16＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，Δ＝4(p＋4)2－64＞0.所以y1y2＝(－x1＋4)(－x2＋4)＝－8p.由已知OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，從而16－8p＝0，解得p＝2.所以