第19講等腰三角形和直角三角形講義（9類知識(shí)點(diǎn)8類命題點(diǎn)AB分層）

第19講等腰三角形和直角三角形（解析版）第一部分知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的概念和性質(zhì)1．（2023秋?北海期末）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則它的周長(zhǎng)為（）A．11 B．13 C．11或13 D．12或13【思路引領(lǐng)】由等腰三角形兩邊長(zhǎng)為3、5，分別從等腰三角形的腰長(zhǎng)為3或5去分析即可求得答案，注意分析能否組成三角形．【解答】解：①若等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，底邊長(zhǎng)為5，∵3+3＝6＞5，∴能組成三角形，∴它的周長(zhǎng)是：3+3+5＝11；②若等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為3，∵5+3＝8＞5，∴能組成三角形，∴它的周長(zhǎng)是：5+5+3＝13，綜上所述，它的周長(zhǎng)是：11或13．故選：C．【總結(jié)提升】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解．2．（2023秋?北海期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若∠C＝70°，則∠ABE＝（）A．30° B．40° C．60° D．70°【思路引領(lǐng)】根據(jù)等邊對(duì)等角即可求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得出EA＝EB，于是得出∠A＝∠ABE，從而求出∠ABE的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠C＝70°，∴∠ABC＝70°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠ABE＝40°，故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，求出∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠【解答】解：∵∠A＝36°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠b＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD=12∠∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個(gè)，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目比較好，難度適中．4．（2023?宿遷）若等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為110°，則這個(gè)等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°【思路引領(lǐng)】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?10°時(shí)，則它的底角=180°?110°故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的判定5．（2023秋?安陸市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分別是線段BC、AC上的一點(diǎn)，根據(jù)下列條件之一，不能確定△ADE是等腰三角形的是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°【思路引領(lǐng)】首先求出∠BAC＝108°，則∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2，分別根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中的條件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再進(jìn)行比較即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)∠1＝2∠2時(shí)，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，∴∠AED＝∠ADE，故選項(xiàng)A能確定△△ADE是等腰三角形；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)∠1+∠2＝72°時(shí)，則∠1＝72°﹣∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，∴∠DAE＝∠AED，故選項(xiàng)B能確定△△ADE是等腰三角形；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)∠1+2∠2＝90°時(shí)，則∠1＝90°﹣2∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，故選項(xiàng)C不能確定△△ADE是等腰三角形；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)2∠1＝∠2+72°時(shí)，則∠1=1∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（12∠2+36°）＝72°?∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（12∠2+36°）﹣∠2＝72°?∴∠DAE＝∠ADE，故選項(xiàng)D能確定△ADE是等腰三角形．綜上所述：選項(xiàng)C不能確定△△ADE是等腰三角形．故選：C．【總結(jié)提升】此題主要考查了等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，熟練掌握等腰三角形的判定，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理進(jìn)行角度計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長(zhǎng)為973【思路引領(lǐng)】過A作AH⊥BC于H，延長(zhǎng)AD，BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BH＝HC=12BC＝3，根據(jù)勾股定理求出AH=AC2?CH2=4，證明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CE＝BC＝6，證明CD∥AH，得到CDAH=CEHE，求出CD【解答】解：過A作AH⊥BC于H，延長(zhǎng)AD，BC于E，如圖所示：則∠AHC＝∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝HC=12∴AH=A∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD，∴∠CBD＝∠CED，∴DB＝DE，∵∠BCD＝90°，∴DC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∴EH＝CE+CH＝9，∴AE=A∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴ADAE∴AD97解得AD=97故答案為：973【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3等邊三角形的概念和性質(zhì)7．（2023?金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作弧交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【思路引領(lǐng)】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝60°，根據(jù)等邊三角形三線合一可得∠CBD＝30°，再根據(jù)作圖可知BD＝ED，進(jìn)一步可得∠DEC的度數(shù)．【解答】解：在等邊△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC邊上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?岳麓區(qū)期中）如圖，邊長(zhǎng)為5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此時(shí)陰影部分的周長(zhǎng)為12cm．【思路引領(lǐng)】由平移的性質(zhì)及等邊三角形的定義可判定陰影部分是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，進(jìn)而可求解．【解答】解：由題意得，△ABC為等邊三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且陰影部分為等邊三角形，∴陰影部分的周長(zhǎng)為3×4＝12cm，故答案為12．【總結(jié)提升】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)4等邊三角形的判定9．（2022秋?威縣期末）若一個(gè)三角形是軸對(duì)稱圖形，且有一個(gè)內(nèi)角為60°，則這個(gè)三角形一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．上述三種情形都有可能【思路引領(lǐng)】三角形是軸對(duì)稱圖形，則該三角形是等腰三角形，根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可作出判斷．【解答】解：因?yàn)槿切问禽S對(duì)稱圖形，則該三角形是等腰三角形，根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查了等邊三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握判定方法，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．知識(shí)點(diǎn)5垂直平分線的性質(zhì)10．（2023秋?寧陽縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直線DE是AC的垂直平分線，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，則∠C＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【思路引領(lǐng)】根據(jù)線段垂直平分線得到AE＝CE，推出∠EAC＝∠C，設(shè)∠BAE＝x，∠BAC＝5x，利用直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC+∠C＝5x+4x＝90°，由此求出答案．【解答】解：∵直線DE是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，設(shè)∠BAE＝x，∠BAC＝5x，∴∠EAC＝∠C＝4x，∴∠BAC+∠C＝5x+4x＝90°，解得x＝10°，∴∠C＝4x＝40°．故選：B．【總結(jié)提升】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，直角三角形兩銳角互余，解題的是關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．11．（2023?青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長(zhǎng)是13．【思路引領(lǐng)】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD＝CD，即可求解．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案為：13．【總結(jié)提升】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)630°的直角三角形的性質(zhì)12．（2023秋?瀘縣期末）已知直角三角形30°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)為5，則斜邊的長(zhǎng)為（）A．5 B．10 C．8 D．12【思路引領(lǐng)】根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答．【解答】解：∵直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是5，∴斜邊的長(zhǎng)＝5×2＝10．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)7直角三角形斜邊中線的性質(zhì)13．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【思路引領(lǐng)】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出CD的長(zhǎng)．【解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB＝3故選：B．【總結(jié)提升】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．（2023?赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點(diǎn)D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長(zhǎng)和面積分別是（）A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16【思路引領(lǐng)】先論證四邊形CFDE是平行四邊形，再分別求出CF，CD，DF，繼而用平行四邊形的周長(zhǎng)公式和面積公式求出即可．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知DF∥CE，DF＝CE，∴四邊形CFDE是平行四邊形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=A在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴CF=12∵DF∥CE，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴ADAC=AFAB=∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴CD=12∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DF是Rt△ABC的中位線，∴DF=12∴四邊形CFDE的周長(zhǎng)為2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四邊形CFDE的面積為DF?CD＝3×4＝12．故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理等知識(shí)，推到四邊形FDE是平行四邊形和DF是Rt△ABC的中位線是解決問題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)8勾股定理及勾股定理逆定理15．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長(zhǎng)，則BD的長(zhǎng)是（）A．5 B．6 C．655 【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得△ABC的周長(zhǎng)＝3+4+5＝12，得到AD＝3，CD＝2，過D作DE⊥BC于E【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=A∴△ABC的周長(zhǎng)＝3+4+5＝12，∵BD平分△ABC的周長(zhǎng)，∴AB+AD＝BC+CD＝6，∴AD＝3，CD＝2，過D作DE⊥BC于E，∴AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，∴DEAB∴DE3∴DE=65，CE∴BE=12∴BD=B故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023?樂山）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ＝（）A．45 B．35 C．25【思路引領(lǐng)】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以求出斜邊各邊的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出sinθ的值．【解答】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為c，直角三角形的短直角邊為a，長(zhǎng)直角邊為b，由題意可得：c2＝25，b﹣a=1=1，a2+b2＝c解得a＝3，b＝4，c＝5，∴sinθ=b故選：A．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出各邊的長(zhǎng)．17．（2023秋?洋縣期末）下列各組數(shù)分別作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，2，1 B．2，3，2 C．2，2，22 【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷較小兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，則可以判斷各個(gè)選項(xiàng)的三條線段能否構(gòu)成直角三角形，本題得以解決．【解答】解：A、12+22≠22，故選項(xiàng)A中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、22+22≠32，故選項(xiàng)B中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、22+22＝（22）2，故選項(xiàng)C中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D、32+32≠32，故選項(xiàng)D中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．18．（2023秋?威寧縣期末）下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，22，10 D．7，24，25【思路引領(lǐng)】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解答】解：A、12+22≠53，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；B、0.3，0.4，0.5都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；C、6，22，10都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；D、72+242＝252，能構(gòu)成直角三角形，所以是勾股數(shù)，故符合題意；故選：D．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義．知識(shí)點(diǎn)9勾股定理的應(yīng)用19．（2023?無錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問題中的門高是8尺．【思路引領(lǐng)】利用勾股定理建立方程，解方程得出門高即可．【解答】解：設(shè)竿長(zhǎng)為x尺，則門寬為（x﹣4）尺，門高（x﹣2）尺，門對(duì)角線是x尺，根據(jù)勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．則門高：10﹣2＝8．故答案為：8．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)未知數(shù)建立關(guān)于未知數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵．20．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長(zhǎng)是（）A．2 B．22 C．2 【思路引領(lǐng)】如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)E作GH⊥BC于H，交AD的延長(zhǎng)線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，證明四邊形AFHG是正方形，則AG＝GH，再證明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，則DG＝EG，CH＝EH，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)E作GH⊥BC于H，交AD的延長(zhǎng)線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四邊形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE=1解法二：如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AEBE∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴ADEF∵AD＝1，∴EF=2∴CE＝EF=2故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形和正方形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，正確作輔助線構(gòu)建△AFB和△AGE全等是解本題的關(guān)鍵．第二部分命題點(diǎn)舉一反三命題點(diǎn)1等腰三角形的判定與性質(zhì)【典例1】（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線交AF于點(diǎn)G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)角平分線定義得到∠DAF＝∠CAF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根據(jù)角平分線定義得到∠ACG=12【解答】（1）證明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴∠ACG=12∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023秋?新泰市期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線分別交BC，CD于E、F．（1）試說明△CEF是等腰三角形．（2）若點(diǎn)E恰好在線段AB的垂直平分線上，試說明線段AC與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）首先根據(jù)條件∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，可證出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角對(duì)等邊即可得出答案；（2）線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分線，得到∠CAE＝∠EAB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠EAB，∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴△CEF是等腰三角形；（2）∵點(diǎn)E恰好在線段AB的垂直平分線上，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴AC=12【總結(jié)提升】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，∠BCD＝∠A．（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)F．①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠BDC＝∠A+∠ACD，從而可得∠BDC＝∠ACB，然后根據(jù)等量代換可得∠ABC＝∠BDC．再根據(jù)等角對(duì)等邊可得CD＝CB，即可解答；（2）①根據(jù)垂直定義可得∠BEC＝90°，從而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后設(shè)∠CBE＝α，則∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的結(jié)論可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；②根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠BFD＝3α，然后分三種情況：當(dāng)BD＝BF時(shí)；當(dāng)DB＝DF時(shí)；當(dāng)FB＝FD時(shí)；分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一個(gè)外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD，∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．∴CD＝CB；（2）①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠ACB＝90°，設(shè)∠CBE＝α，則∠ACB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一個(gè)外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，分三種情況：當(dāng)BD＝BF時(shí)，∴∠BDC＝∠BFD＝3α，∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴90°﹣α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；當(dāng)DB＝DF時(shí)，∴∠DBE＝∠BFD＝3α，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∴90°﹣2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；當(dāng)FB＝FD時(shí)，∴∠DBE＝∠BDF，∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD，綜上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度數(shù)為45°或36°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，G為BC的中點(diǎn)，連接FG．求證：FG=12【思路引領(lǐng)】由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠ACD＝∠FEC，即可證明EF＝CF，再利用直角三角形的性質(zhì)可證明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位線，進(jìn)而可證明結(jié)論．【解答】證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCD，∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF，∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，∴∠EAC＝∠AEF，∴AF＝EF，∴AF＝CF，∵G是BC的中點(diǎn)，∴GF是△ABC的中位線，∴FG=12【總結(jié)提升】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)的綜合運(yùn)用，證明GF是△ABC的中位線是解題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)2等邊三角形的性質(zhì)與判定【典例2】（2023秋?高安市期中）已知：如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)等邊三角形的判定得：BP＝BQ，列等式可得t的值；（2）分兩種情況：當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ，則6﹣2t＝3t，②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝2BP，則1.5t＝2（6﹣2t），分別求出t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，則BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，當(dāng)△PBQ為等邊三角形時(shí)，則有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得t=12即當(dāng)t=127s（2）當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得t=6當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得t=24綜上可知當(dāng)t為65s或2411【總結(jié)提升】、本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì)，利用t表示出BP和BQ，化“動(dòng)”為“靜”，是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點(diǎn)B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長(zhǎng)為2cm．【思路引領(lǐng)】先由平行線的性質(zhì)可得∠ACB的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理可得AB＝BC，則可得出AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵直尺的兩對(duì)邊相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．故答案為：2．【總結(jié)提升】此題主要是考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，能夠得出AB＝BC是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點(diǎn)E，BC＝8，AE＝6，則AB的長(zhǎng)為27．【思路引領(lǐng)】連接AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，先證明△BCD是等邊三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝23，最后運(yùn)用勾股定理求得AB即可．【解答】解：如圖：連接AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，又∵BC＝DC，∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝BC＝CD＝8，∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO=12∴∠ACD＝∠ACB=12∠又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．∴AE＝EC＝6，過點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，∴CF＝CE?cos30°＝6×32=AF＝AE?cos30°＝6×32=CO＝BC?cos30°＝8×32=∴AC＝CF+AF＝63，∴AO＝AC﹣CO＝63?43=2在Rt△BOA中，AB=BO2故答案為：27．【總結(jié)提升】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分線、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春?東港市期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；（2）根據(jù)全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；（3）根據(jù)題中所給的全等及∠AOB的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．【解答】證明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①當(dāng)∠AOD＝∠ADO時(shí)，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②當(dāng)∠AOD＝∠OAD時(shí)，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③當(dāng)∠ADO＝∠OAD時(shí)，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．綜上所述：當(dāng)α＝110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．【總結(jié)提升】綜合考查了全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；注意應(yīng)分類探討三角形為等腰三角形的各種情況．命題點(diǎn)3直角三角形的性質(zhì)【典例3】（2023?金安區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE＝6，若點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為（）A．10?41 B．41?3 C．241?【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN=12AB=41，CM=12DE=3，由當(dāng)C、M、N【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB=AC2∵DE＝6，點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，∴CN=12AB=41當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，∴MN的最小值為：41?故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，明確C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點(diǎn)．若AC＝8，CD＝5，則DE＝3．【思路引領(lǐng)】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AB＝2CD＝10，根據(jù)勾股定理得到BC=A【解答】解：∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴BC=A∵E為AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12故答案為：3．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?惠山區(qū)月考）已知，如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證：①BM＝DM；②MN⊥BD．【思路引領(lǐng)】（1）連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM＝DM=12（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．【解答】（1）證明：如圖，連接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝DM=12∴BM＝DM；（2）∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，BM＝DM，∴MN⊥BD．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并連接輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?石獅市期末）如圖，在△ABC中，CO⊥AB于點(diǎn)O，BA＝BC＝3，AO＝1．（1）求CO的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若AO＝AE，求OD的長(zhǎng)；②設(shè)直線DE交射線CB于點(diǎn)F，連接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)BA和AO的長(zhǎng)可得BO的長(zhǎng)度，再利用勾股定理可得CO的長(zhǎng)度；（2）①根據(jù)OA和OC的長(zhǎng)度利用勾股定理可得AC的長(zhǎng)度．利用AAS可得△AED≌△AOC，進(jìn)而求得AD＝AC，減去AO長(zhǎng)即為OD長(zhǎng)；②點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)D可能在線段OB上或線段OB的延長(zhǎng)線上．所給的兩個(gè)三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，若向?qū)呉咕€，得到有相同的高，那么面積的比就等于底邊的比．就可以計(jì)算出BF的值，結(jié)合等腰三角形的等邊對(duì)等角，可得BD＝BF，計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵BA＝BC＝3，AO＝1．∴OB＝2．∵CO⊥AB，∴∠COB＝∠AOC＝90°．∴CO=BC（2）∵∠AOC＝90°，AO＝1，OC=5∴AC=AO∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°．在△AED和△AOC中，∠AED=∠AOC∠A=∠A∴△AED≌△AOC（AAS）．∴AD＝AC=6∴OD＝AD﹣AO=6②Ⅰ、點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，過點(diǎn)O作OM⊥CF于點(diǎn)M．∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM為它們共同的高，∴BF：CF＝1：4．∵BC＝3，∴BF＝1．∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CEF＝90°．∴∠ADE＝∠CFD．∵∠BDF＝∠ADE，∴∠CFD＝∠BDF．∴BD＝BF＝1，∴OD＝OB﹣BD＝2﹣1＝1．Ⅱ、點(diǎn)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)O作OM⊥CF于點(diǎn)M．∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM為它們共同的高，∴BF：CF＝1：4．∵BC＝3，∴BF＝3×1∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CEF＝90°．∴∠D＝∠CFE．∵∠BFD＝∠CFE，∴∠BFD＝∠D．∴BD＝BF＝0.6，∴OD＝OB+BD＝2+0.6＝2.6．綜上，OD的長(zhǎng)為：1或2.6．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的綜合應(yīng)用．關(guān)鍵是找到所求線段所在的直角三角形．動(dòng)點(diǎn)問題要注意分類探討．命題點(diǎn)4勾股定理及其逆定理【典例4】（2023春?萊西市期末）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，連接AD，BE．（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求證：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面積．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義和勾股定理的逆定理即可證明；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義求出AC，根據(jù)勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面積公式列式計(jì)算即可求解．【解答】（1）證明：∵D是邊BC的中點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，CD＝8，CE＝6，∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，∵AB＝20，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵E是邊AC的中點(diǎn)，AE＝6，∴AC＝2AE＝12．在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，∴CD=A∴BC＝2CD＝10，∴△ABC的面積=12AC?BC【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理及其逆定理，線段中點(diǎn)的定義，三角形的面積，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023秋?蘇州期中）如圖，△ABC中，E為AB邊上的一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，過點(diǎn)A作AD⊥CE，垂足為D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24．（1）試說明∠B為直角；（2）記△ADE的面積為S1，△BCE的面積為S2，則S2﹣S1的值為66．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)勾股定理求出AC=AD2+DC2=25，進(jìn)而推出AB2（2）根據(jù)題意推出S2﹣S1＝S△ABC﹣S△ACD，根據(jù)三角形面積公式求解即可．【解答】解：（1）∵AD⊥CE，∴∠D＝90°，∵AD＝7，DC＝24，∴∵AB＝20，BC＝15，202+152＝252，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B為直角；（2）∵S1+S△ACE＝S△ACD，S2+S△ACE＝S△ABC，∴S1＝S△ACD﹣S△ACE，S2＝S△ABC﹣S△ACE，∴S2﹣S1＝（S△ABC﹣S△ACE）﹣（S△ACD﹣S△ACE）＝S△ABC﹣S△ACD，∵S△ABC=12BC?AB=12×15×20＝150，S△ACD=∴S2﹣S1＝150﹣84＝66，故答案為：66．【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理逆定理，熟記勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023?濟(jì)寧）如圖，在正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點(diǎn)上，線段AB，CD交于點(diǎn)F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α【思路引領(lǐng)】過B點(diǎn)作BG∥CD，連接EG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABG＝∠CFB＝α．根據(jù)勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，進(jìn)而求出∠ABE的度數(shù)．【解答】解：如圖，過B點(diǎn)作BG∥CD，連接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理及其逆定理，平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)5勾股定理的應(yīng)用【典例5】（2023秋?清新區(qū)期中）如圖，一塊四邊形空地，已知AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，且AB⊥BC，（1）求這塊空地的面積；（2）若在這塊空地上種植草皮，每平方米需要100元，問需要投入多少資金種植草皮？【思路引領(lǐng)】（1）在直角三角形ABC中可求得AC的長(zhǎng)，由AC、AD、DC的長(zhǎng)度關(guān)系可得三角形DAC為一直角三角形，DA為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC構(gòu)成，則容易求出面積；（2）根據(jù)單價(jià)和面積求得總資金即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，∴AC＝5．在△DAC中，CD2＝122，AD2＝132，而122+52＝132，即AC2+CD2＝AD2，∴∠DCA＝90°，△DAC為直角三角形，∴S四邊形ABCD＝S△BAC+S△DAC=12?BC?AB+12=12×4×3+1答：空地ABCD的面積為36m2．（2）總資金為：36×100＝3600元，答：需要投入3600元資金種植草皮．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理及其逆定理的相關(guān)知識(shí)，通過勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡(jiǎn)單，求出四邊形ABCD的面積是解題關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為50km．【思路引領(lǐng)】根據(jù)題意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，從而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定義可得∠ABC＝90°，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC=AB2∴A，C兩港之間的距離為50km，故答案為：50．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．2．（2023?寶雞一模）如圖，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球，如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【思路引領(lǐng)】設(shè)BC＝x，則OC＝25﹣x，再利用在Rt△OBC中OC2+BO2＝BC2，列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)BC＝xm，則OC＝（25﹣x）m，依題意知BC＝AC＝xm，在Rt△OBC中，OC2+BO2＝BC2，即（25﹣x）2+52＝x2，解得x＝13，∴BC＝13米．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能利用勾股定理正確列出方程．3．（2023?鄖陽區(qū)模擬）小強(qiáng)家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是1m，1m，2m，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長(zhǎng)度是（）A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m【思路引領(lǐng)】運(yùn)用勾股定理求解即可．【解答】解：如圖：根據(jù)勾股定理：AB2＝12+12＝2，AC2＝AB2+BC2＝2+4＝6，故AC=6故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)6與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【典例6】（2023秋?豐南區(qū)期中）如圖1，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長(zhǎng)線交OM于點(diǎn)G．（1）若∠MON＝70°，則∠ACG＝55°（直接寫出答案）；（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示并寫出理由）；（3）如圖2，若∠MON＝80°，過點(diǎn)C作CF∥OA交AB于點(diǎn)F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAO+∠ABO，根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACF＝∠CAG，根據(jù)（2）的結(jié)論解答．【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠BAO+∠ABO＝110°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝55°，故答案為：55°；（2）∵∠MON＝n°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣n°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）＝90°?∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝90°?12（3）∵CF∥OA，∴∠ACF＝∠CAG，∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG＝90°?1【總結(jié)提升】本題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，若以點(diǎn)A，P，O為頂點(diǎn)作等腰三角形，則能作出的三角形個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路引領(lǐng)】利用分類討論思想，當(dāng)OP＝OA時(shí)，有兩種情況，當(dāng)AP＝OA時(shí)，有一種情況，當(dāng)OP＝AP時(shí)，有一種情況，共有四種情況，能作出四個(gè)三角形．【解答】解；如圖所示，當(dāng)OA＝OP時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為P1，P2，當(dāng)OA＝AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)為O，一個(gè)交點(diǎn)為P3，當(dāng)OP＝AP時(shí)，點(diǎn)P在OA的垂直平分線上，OA的垂直平分線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)為P，故以點(diǎn)A，P，O為頂點(diǎn)作等腰三角形，則能作出的三角形個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查等腰三角形，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?瑞安市期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點(diǎn)D，已知BD＝6，AD＝8．（1）求CD的長(zhǎng)．（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，Q為射線DA上一點(diǎn)，DQ＝BP，連結(jié)PQ，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，若△CPQ是以CP為腰的等腰三角形，求t的值．②在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，作點(diǎn)Q關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連結(jié)BQ'，當(dāng)BQ'∥AC時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)PD的長(zhǎng)：4.8或8．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)BD⊥AC，BD＝6，AD＝8，由勾股定理可求出AB＝AC＝10，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng)；（2）①依題意得BP＝DQ＝t，則PD＝BD﹣BP＝6﹣t，CQ＝CD+DQ＝2+t當(dāng)△CPQ是以CP為腰的等腰三角形，有以下兩種情況，連接CP，（?。┊?dāng)CP＝PQ時(shí)，由BD⊥AC得DQ＝CD＝2，據(jù)此可求出t的值；（ⅱ）當(dāng)PC＝CQ時(shí)，則PC＝2+t，CD＝2，PD＝6﹣t，由勾股定理可求出t的值；②分兩種情況討論如下：（?。┊?dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)A作AT⊥BQ'交BQ'的延長(zhǎng)線于T，過QQ'作Q'H⊥AC于H，先證四邊形BDHQ'和四邊形ADBT均為矩形，再證Rt△PBQ'和△QDP全等，從而可得AT＝6，TQ'＝2+t，AQ'＝8﹣t，然后由勾股定理可求出t＝1.2，進(jìn)而可得PD的長(zhǎng)；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ'，PQ，PQ'，過點(diǎn)Q作QM⊥BQ'角BQ'的延長(zhǎng)線于M，同理可證四邊形QDBM為矩形，△PBQ'和△QDP全等，由此可證△QMQ'為等腰直角三角形，再證四邊形AQMQ'為矩形得AQ'＝QM，由此得出t﹣8＝6，則t＝14，進(jìn)而可得PD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，BD＝6，AD＝8，由勾股定理得：AB=A∴AB＝AC＝10，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2．（2）①依題意得：BP＝DQ＝t，由（1）可知：CD＝2，∴PD＝BD﹣BP＝6﹣t，CQ＝CD+DQ＝2+t∵△CPQ是以CP為腰的等腰三角形，∴有以下兩種情況，連接CP，如圖1所示：（?。┊?dāng)CP＝PQ時(shí)，∵BD⊥AC，∴DQ＝CD＝2，即t＝2，（ⅱ）當(dāng)PC＝CQ時(shí)，在Rt△PCD中，PC＝2+t，CD＝2，PD＝6﹣t，由勾股定理得：PC2＝CD2+PD2，即（2+t）2＝22+（6﹣t）2，解得：t＝2.25．綜上所述：t＝2或2.25時(shí)，△CPQ是以CP為腰的等腰三角形．②分兩種情況討論如下：（?。┊?dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接PQ'，過點(diǎn)A作AT⊥BQ'交BQ'的延長(zhǎng)線于T，過Q'作Q'H⊥AC于H，如圖2所示：∵BQ'∥AC，BD⊥AC，Q'H⊥AC∴∠Q'BD＝∠AGB＝∠Q'HD＝90°，∴四邊形BDHQ'為矩形，∴BQ'＝DH，HQ'＝BD＝6，∵AT⊥BQ'，∴∠TQ'H＝∠Q'HA＝∠T＝90°，∴四邊形ADBT為矩形，∴AT＝HQ'＝6，TQ'＝AH＝AD﹣DH＝8﹣BQ'，依題意得：BP＝DQ，由對(duì)稱的性質(zhì)得：PQ'＝PQ，AQ'＝AQ＝AD﹣DQ＝8﹣t，在Rt△PBQ'和△QDP中，BP=DQPQ′=PQ∴Rt△PBQ'≌△QDP（HL），∴BQ'＝PD＝6﹣t，∴TQ'＝8﹣BQ'＝8﹣（6﹣t）＝2+t，在Rt△ATQ'中，AT＝6，TQ'＝2+t，AQ'＝8﹣t，由勾股定理得：AQ'2＝AT2+TQ'2，即（8﹣t）2＝62+（2+t）2，解得：t＝1.2，∴PD＝6﹣t＝6﹣1.5＝4.8，（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ'，PQ，PQ'，過點(diǎn)Q作QM⊥BQ'角BQ'的延長(zhǎng)線于M，如圖3所示：同理可證：四邊形QDBM為矩形，∴QM＝BD＝6，BM＝DQ，依題意得：BP＝DQ＝t，則PD＝t﹣6，AQ＝DQ﹣AD＝t﹣8，同理可證：△PBQ'≌△QDP（HL），∴BQ'＝PD＝6﹣t，∵BM＝DQ＝t，∴MQ'＝BM﹣BQ'＝t﹣（t﹣6）＝6，∴QM＝MQ'＝6，∴∠T＝90°，∴△QMQ'為等腰直角三角形，∴∠MQQ'＝45°，∴∠Q'QA＝45°，由對(duì)稱性可知：AQ＝AQ'＝t﹣8，∴∠AQ'Q＝∠Q'QA＝45°，∴∠QAQ'＝90°，又∵∠M＝∠AQM＝90°，∴四邊形AQMQ'為矩形，∴AQ'＝QM，∴t﹣8＝6，解得：t＝14，∴PD＝t﹣6＝14﹣6＝8．綜上所述：PD的長(zhǎng)為4.8或8．故答案為：4.8或8．【總結(jié)提升】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，正確地添加輔助線構(gòu)造矩形，以及分類討論思想的應(yīng)用是解決問題的難點(diǎn)，漏解是易錯(cuò)點(diǎn)之一．命題點(diǎn)7與直角三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【典例7】（2022秋?海勃灣區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A是射線BC外一點(diǎn)，連接AB，AB＝5cm，點(diǎn)A到BC的距離為3cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為2或258秒時(shí)，△ABP【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理，先求出BH的長(zhǎng)，再分情況討論：當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)分別求解即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AH⊥BC，∵點(diǎn)A到BC的距離為3cm，∴AH＝3cm，∵AB＝5cm，根據(jù)勾股定理，得BH＝4cm，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，根據(jù)題意，得2t＝4，解得t＝2；當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，如圖所示：∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，根據(jù)勾股定理，得AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝9+（2t﹣4）2，∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2，解得t=25∴t＝2s或258s故答案為：2s或258s【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．【舉一反三】1．（2023春?定南縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，連接EF，CF．（1）試猜想線段EF與CF的大小關(guān)系，并加以證明．（2）若∠BAC＝30°，連接CE，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，探求CE與AD的數(shù)量關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）EF和CF分別是直角△AED和直角△ACD斜邊上的中線，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證得；（2）證明△EFC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的定義以及直角三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）EF＝CF，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，∴EF=12AD，CF=∴EF＝CF．（2）由（1）可知EF＝AF＝CF，∴∠AEF＝∠EAF，∠ACF＝∠CAF，∴∠EFD＝2∠EAF，∠CFD＝2∠CAF，∴∠EFC＝2∠BAC＝60°，又EF＝CF，∴△EFC為等邊三角形，∴CE＝EF=12【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證得△EFC是等邊三角形是關(guān)鍵．2．（2023秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，E為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，CE，當(dāng)∠ABD＝∠BCE時(shí)，線段AE的最小值是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【思路引領(lǐng)】如圖，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，ET．首先證明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根據(jù)AE≥AT﹣ET，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB=12∴ET=12BC＝4，AT∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥1，∴AE的最小值為1，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出AT，ET的長(zhǎng)，屬于中考常考題型．3．（2023春?碑林區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=22，AC=2，BC=10，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AP中點(diǎn)，連接DFA．2105 B．255 C．【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理是逆定理求出∠BAC＝90°，根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到DF=12【解答】解：∵AB＝22，AC=2，BC=∴AB2+AC2＝10，BC2＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴BC邊上的高為：2×2∵PD⊥AB，點(diǎn)F為AP中點(diǎn)，∴DF=12當(dāng)AP最小時(shí)，DF最小，∵當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最小，最小值為210∴DF的最小值為105故選：C．【總結(jié)提升】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、垂線段最短，根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形的面積公式求出BC邊上的高是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?建鄴區(qū)月考）如圖，OA⊥OB，垂足為O，P、Q分別是射線OA、OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是線段PQ的中點(diǎn)，且PQ＝4．則動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)是π．【思路引領(lǐng)】連接OC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OC=12PQ，再判斷出點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑為以【解答】解：如圖，連接OC，∵點(diǎn)C是線段PQ的中點(diǎn)，∴OC=12PQ∴動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑是以O(shè)為圓心的扇形，∴路徑長(zhǎng)=90?π?2180故答案為：π．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，軌跡，判斷出點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是扇形是解題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)8與等腰直角三角形有關(guān)的證明【典例8】（2023秋?建甌市期中）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是線段BC上一點(diǎn)，連接AP，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使得CQ＝CP，過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M．（1）若∠CAP＝20°，則∠AMQ＝65°．（2）判斷AP與QM的數(shù)量關(guān)系，并證明．【思路引領(lǐng)】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝45°，則∠PAB＝25°，再由直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）連接AQ，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AP＝AQ，則∠QAC＝∠PAC．再證∠QMA＝∠MQB+45°，∠QAM＝∠QAC+45°，然后證∠BQM＝∠PAC，得∠QMA＝∠QAM，即可得出結(jié)論．【解答】（1）∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠B＝45°．∵∠CAP＝20°，∴∠PAB＝25°．∵QH⊥AP于點(diǎn)H，∴∠AHM＝90°．∴∠AMQ＝90°﹣∠PAB＝90°﹣25°＝65°，故答案為：65．（2）解：AP＝QM，證明如下：連接AQ，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥PQ．又∵CQ＝CP，∴AP＝AQ．∵AC⊥PQ，∴∠QAC＝∠PAC．∵∠QMA＝∠MQB+∠B，∴∠QMA＝∠MQB+45°．∵∠QAM＝∠QAC+∠CAB，∴∠QAM＝∠QAC+45°．∵AC⊥PQ，AP⊥MQ，∴∠BQM＝∠PAC．∵∠QAC＝∠PAC，∴∠QAC＝∠MQB．∴∠QMA＝∠QAM．∴AP＝QM．【總結(jié)提升】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明∠QMA＝∠QAM是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023?寶應(yīng)縣一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一點(diǎn)，CD＝AB，過點(diǎn)D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．（1）求證：△ACE是等腰直角三角形；（2）延長(zhǎng)DE至F，使得EF＝CD，連結(jié)BF并與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，求∠BGC的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)已知條件由SAS證明△ABC≌△ODE，從而得到∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，故∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠ACB＝∠ACE＝90°，即可得證；（2）由AB∥DF及AB＝EF可得四邊形AEFB是平行四邊形，所以∠BGC＝∠AEC＝45°．【解答】（1）證明：DE⊥BC，∴∠EDC＝90°＝∠CBA，∠DCE+∠DEC＝90°，在△ABC和△CDE中，AB=CD∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；（2）解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴AB∥DF，∵△ABC≌△CDE（已證），∴AB＝CD，∵EF＝CD，∴AB＝EF，四邊形AEFB是平行四邊形，∴BF∥AE，∴∠BGC＝∠AEC，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°，∴∠BGC＝∠AEC＝45°．【總結(jié)提升】本題考查了三角形全等的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和判定，掌握等腰三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第三部分自我反饋分層訓(xùn)練A組1．（2023秋?夏邑縣期末）等腰△ABC中AB＝AC，AD、BE為三角形的角平分線，且AD、BE交于點(diǎn)O，若∠C＝64°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．108° B．116° C．122° D．134°【思路引領(lǐng)】由等腰三角形的性質(zhì)推出∠ABC＝∠C＝64°，AD⊥BC，得到∠ODB＝90°，由角平分線定義得到∠OBD=12∠ABC＝32°，由三角形外角的性質(zhì)求出∠AOB＝∠ODB+∠【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝64°，∵BE為三角形的角平分線，∴∠OBD=12∠∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∴∠AOB＝∠ODB+∠OBD＝90°+32°＝122°．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODB＝90°．2．（2023秋?銅官區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在BC和AC上，AD＝AE，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠1+2∠2＝90° B．∠1＝2∠2 C．2∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝45°【思路引領(lǐng)】由AB＝AC，AD＝AE，可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．由三角形外角的性質(zhì)可得∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，則∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．∵∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，∴∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理得∠1＝2∠2．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?臨高縣期末）如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝9，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F，則△AEF的周長(zhǎng)為（）A．16 B．17 C．18 D．19【思路引領(lǐng)】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝8，AC＝9，∴△AEF的周長(zhǎng)為AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+9＝17．故選：B．【總結(jié)提升】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，證得ED＝EB，F(xiàn)D＝FC是解此題的關(guān)鍵．4．（2023秋?川匯區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P在∠MON內(nèi)，點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，若EF＝OP，則∠MON的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【思路引領(lǐng)】連接OE，OF，證明△OEF是等邊三角形，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接OE，OF．∵點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，∴OP＝OE＝OF，∩POM＝∠EOM，∠PON＝∠NOF，∴∠EOF＝2∠MON，，∵OP＝EF，∴OE＝OD＝EF，∴△OEF是等邊三角形，∴∠EOF＝60°，∴∠MON＝30°，故選：B．【總結(jié)提升】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)．5．（2022秋?方城縣期末）如圖，一個(gè)等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)C在MN上，頂點(diǎn)A在PQ上，∠PAC＝∠ACN，∠1＝22°，則∠2的大小為（）A．21° B．22° C．23° D．20°【思路引領(lǐng)】先判斷PQ∥MN，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1+45°+90°+∠2＝180°，求出∠2即可．【解答】解：∵∠PAC＝∠ACN，∴PQ∥MN，∴∠PAC+∠ACM＝180°，∴∠1+45°+90°+∠2＝180°，∵∠1＝22°，∴∠2＝45°﹣22°＝23°．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出等式．6．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點(diǎn)，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝5．【思路引領(lǐng)】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，再通過HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根據(jù)勾股定理可求出AB＝10，進(jìn)而求出AE＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，CD=DEBD=BD∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，AB=A∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案為：5．【總結(jié)提升】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解二元一次方程，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用角平分線的性質(zhì)和勾股定理解決問題．7．（2023?泰州）小明對(duì)《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個(gè)門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為9里．【思路引領(lǐng)】由AB切圓于D，BC切圓于C，連接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，由勾股定理求出AC=AB2?BC2【解答】解：如圖，⊙O表示圓形城堡，由題意知：AB切圓于D，BC切圓于C，連接OD，∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，∵AD＝6里，∴AB＝AD+BD＝15里，∴AC=A∵tanA=OD∴OD6∴OD＝4.5（里）．∴城堡的外圍直徑為2OD＝9（里）．故答案為：9．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，關(guān)鍵是理解題意，由銳角的正切得到ODAD=BC8．（2022秋?唐山期末）下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【思路引領(lǐng)】A．應(yīng)用股溝定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；B．應(yīng)用股溝定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；C．應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；D．應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：A．設(shè)AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因?yàn)锳B2+BC2＝（3a）2