福建省部分地區(qū) 上學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末試題匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

福建省部分地區(qū)2023-2024學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末試題匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、單選題1．（23-24高一上·福建三明·期末）“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有”．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則函數(shù)與在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．196 B．198 C．199 D．2002．（23-24高一上·福建龍巖·期末）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·福建南平·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函數(shù)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

二、填空題7．（23-24高一上·福建泉州·期末）對(duì)于任意且，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).若的圖象也過點(diǎn)，則.8．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知函數(shù)，若，則的最小值為.9．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則滿足的取值范圍是.10．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，則函數(shù)的最大值為；若，則的取值范圍為．11．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.12．（23-24高一上·福建寧德·期末），函數(shù)同時(shí)滿足：①，②，寫出函數(shù)的一個(gè)解析式.三、解答題13．（23-24高一上·福建龍巖·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，總存在使得，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．14．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值；(3)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．15．（23-24高一上·福建漳州·期末）設(shè)函數(shù)，其中.(1)若命題“，”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.16．（23-24高一上·福建福州·期末）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)存在區(qū)間，求的最大值．17．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.參考答案：1．B【分析】由題意首先得，進(jìn)一步，通過數(shù)形結(jié)合找規(guī)律即可得解.【詳解】由題意，在中，不妨令，得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以所以，如圖所示：由于與都是奇函數(shù)，先考慮時(shí)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖可知時(shí)，與的交點(diǎn)分布在這49個(gè)區(qū)間內(nèi)，且每個(gè)區(qū)間內(nèi)都有2個(gè)交點(diǎn)，同理時(shí)，與的交點(diǎn)分布在這50個(gè)區(qū)間內(nèi)，且每個(gè)區(qū)間內(nèi)都有2個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)與在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在由求參數(shù)時(shí)，可先通過令特殊的值代入表達(dá)式得到關(guān)于的方程組，進(jìn)一步解之并檢驗(yàn)，由此即可順利得解.2．B【分析】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)求出的值，即可求出的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域計(jì)算規(guī)則得到，解得即可.【詳解】設(shè)，依題意可得，解得，所以，所以的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?，?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：B3．C【分析】由題意列出不等式組即可求解.【詳解】由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.4．B【分析】確定，，得到，當(dāng)時(shí)，，得到，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，解得；當(dāng)時(shí)，，，.函數(shù)單調(diào)遞增，則，解得；同理可得：當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，解得；綜上所述：.故選：B.5．B【分析】因?yàn)?對(duì)進(jìn)行分類討論,利用數(shù)形結(jié)合的方法即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?①當(dāng)時(shí),做出兩段拋物線的圖像如圖:

此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn),不滿足題意;②當(dāng)時(shí),,做出兩段拋物線的圖像如圖:

此時(shí)函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),滿足題意;③當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谟袃蓚€(gè)零點(diǎn),且當(dāng)時(shí)兩段拋物線的函數(shù)值相等,若要滿足題意,則兩段拋物線的圖像應(yīng)該如圖:

此時(shí),滿足題意;綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:B.6．A【分析】由題意首先得，根據(jù)它的定義域、單調(diào)性以及它所過定點(diǎn)即可得解.【詳解】由題意函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，解得，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且過定點(diǎn)，對(duì)比選項(xiàng)可知A符合題意.故選：A.7．【分析】由題意首先得，然后代入得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒過定點(diǎn)，所以，所以，所以，又的圖象也過點(diǎn)，所以，又，解得，所以.故答案為：.8．4【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象可得，且，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)?，且，則，可得，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4.故答案為：4.9．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，解得即可.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，不等式等價(jià)于，等價(jià)于，即，解得，即滿足的取值范圍是.故答案為：10．1【分析】先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求的最大值；不等式等價(jià)于，利用的單調(diào)性和奇偶性，求出的范圍，進(jìn)而可得的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，用表示中的較小者，記為，所以，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，不等式，即，又明顯為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，解得，因?yàn)?，恒成立，所以，即，所以的取值范圍?故答案為：；.11．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：12．（答案不唯一）.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)椋瘮?shù)同時(shí)滿足：①由，此時(shí)函數(shù)可以是指數(shù)函數(shù)型或常值函數(shù)；②由，可得函數(shù)的圖象為“凸”型函數(shù)或常值函數(shù)，所以函數(shù)的一個(gè)解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.13．(1)(2)【分析】（1）由函數(shù)為偶函數(shù)可得，即可求出的值；（2）對(duì)任意，總存在使得，等價(jià)于的值域是值域的子集，即可求解.【詳解】（1），因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，所以；（2）由（1）得，則，因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，因?yàn)閷?duì)任意，總存在使得，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為．14．(1)1(2)4(3)【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解；（2）利用換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（3）利用參數(shù)分離法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即對(duì)任意恒成立，所以，則，故，由于的任意性，所以.（2）由（1）得，所以的最大值為1，令，則的最大值為1，①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，所以；②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，得（舍去）；綜上，實(shí)數(shù)．（3）因?yàn)椋?，函?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，由，得，則，即，因?yàn)楹愠闪?，所以，又在上單調(diào)遞減，故，則，所以的取值范圍是.15．(1)(2)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可推出“，”為真命題，結(jié)合判別式列不等式，即可求得答案；（2）由題意可得的表達(dá)式，判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)槊}“，”為假命題，所以“，”為真命題，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減.證明如下：，且，則，因?yàn)?，且，所以，，，所以，即，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.16．(1)(2)．【分析】（1）結(jié)合函數(shù)得奇偶性與單調(diào)性計(jì)算即可得；（2）由可以得到函數(shù)的對(duì)稱性，對(duì)的值進(jìn)行分類討論可得函數(shù)單調(diào)性，從而得到函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性，結(jié)合的對(duì)稱性及單調(diào)性從而可得其符合要求得定義域，即可得解.【詳解】（1）時(shí)，，定義域?yàn)?，，，所以是奇函?shù).，令易知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)單調(diào)遞增.所以可化為，即，所以，，得，由，得，解得；由單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，值為0，所以，解得，即可得，所以所求不等式的解集為．（2）因?yàn)椋詧D象關(guān)于對(duì)稱，且有，，若，則定義域?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，令，得，又在單調(diào)遞增，圖象關(guān)于對(duì)稱，所以的解集為，所以，所以，②若無意義，舍去，③若，則定義域?yàn)椋詥握{(diào)遞減，令，得，又單調(diào)遞減，圖象關(guān)于對(duì)稱，所以的解集為，所以，所以，綜上所述，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問關(guān)鍵在于得到函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性，從而得到函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性，結(jié)合的對(duì)稱性及單調(diào)性從而可得其符合要求得定義域.17．(1)(2)【分析】（1）由偶函數(shù)定義得恒等式，化簡(jiǎn)變形即可求解.（2）首先通過換元法得，進(jìn)一步，由此即可得解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所?（2）由（1）可知，令，因?yàn)椋瑒t，所以，存在，使得成立，則，所以，則，又因?yàn)?，則，所以，所以的取值范圍為．18．(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；（2）解法一：分析可知為偶函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得在區(qū)間上的最小值為，且可得恒成立，根據(jù)恒成立問題分析求解；解法二：根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函