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2023-2024學(xué)年新疆烏魯木齊市高一下冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)
中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.命題“*e(L+0°),e"≥x+l”的否定是()
A.Vx∈(l,+∞),e2^v<x+lB.Vx¢.(l,+∞),e2x<x+1
C.3x∈(l,+∞),e2v<x+lD.3x(l,+∞),e2v≥x+1
【正確答案】A
【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定,即可判斷出答案.
【詳解】命題"3x∈(l,+∞),e2'≥x+l”為存在量詞命題,
它的否定是:uVx∈(l,+∞),e2x<x÷lw>
故選:A
2.已知。為實(shí)數(shù),A=[x?l<x<4],5={x∣x-tz≥0},若AuB=B,則。的取值范
圍為()
A.(-∞J]B.(-oo,l)C.(l,+∞)D.
[l,+∞)
【正確答案】A
【分析】由給定條件可得/?8,再借助集合的包含關(guān)系即可列式計(jì)算作答.
【詳解】依題意,8={x∣x≥α},因∕u8=8,則4=6,又Z={x∣l<x<4},于
是得α4l,
所以。的取值范圍為(-8,1].
故選:A
3.若點(diǎn)(1,1)在直線bx+αy=l(a>O,b>O)上,則工+工的最小值為()
ab
A2B.3C.4D.5
【正確答案】C
【分析】將點(diǎn)(1,1)代入直線方程可得α+6=l,則,+!=L+g(。+b),化簡(jiǎn)后
ab?ab)
利用基本不等式可求得結(jié)果
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在直線反+少=1(。>0,6>0)上,
所以a+6=l,
口、111(?1V,、ba八CbaC“
所以—I—=—I—?(a+b)=_■I-----F2≥2J——F2=4,
ab?abJahNab
當(dāng)且僅當(dāng)g=2,即α=b=L時(shí)取等號(hào),
ba2
所以,+L的最小值為4,
ab
故選:C
4.不等式(x-l)(2x-l)<0的解集是()
A.{x∣l<x<2}B.{x∣x<lj?x>2)
1,
C.{x[x<;或x>l}D.<x—<x<l>
2
【正確答案】D
【分析】直接根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.
【詳解】方程(X-I)(2x-l)=0的解為玉=;,%=1,
所以不等式(x—l)(2x—1)<0的解集是<xg<x<l
故選:D.
5.設(shè)p:2<x<3,q:x>a,若P是4的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)α的取值范圍是()
A.[2,+<x>)B.(―8,2]C.(―∞,3]D.
[3,+∞)
【正確答案】B
【分析】由P是g的充分不必要條件得到兩個(gè)范圍對(duì)應(yīng)集合之間的包含關(guān)系,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)
α的取值范圍.
【詳解】因?yàn)镻是4的充分不必要條件,所以{x∣2<x<3}{x∣x>α},所以α≤2,即實(shí)
數(shù)α的取值范圍是(-8,2].
故選:B.
6.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+8)上是單調(diào)遞增的是()
C.y=e兇D.y=In(JX2+1+X)
【正確答案】C
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合偶函數(shù)的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A,當(dāng)x>0時(shí),y=^,此時(shí)V=B在(°,+°0)上為減函數(shù),故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B,設(shè)/(x)=χ2+χ,因?yàn)?(-1)=0,/(1)=2,故/(T)≠∕(1),
故y=/+X不是偶函數(shù),故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C,設(shè)g(χ)=e閔,此函數(shù)的定義域?yàn)闇?且g(τ)=e卜M=e閔=g(x),
故g(x)為偶函數(shù),
而x>0時(shí),g(x)=e',此時(shí)g(x)=e"在(0,+8)上為增函數(shù),故C滿足.
對(duì)于D,設(shè)〃(X)=In(JX?+1+χ),
因?yàn)椤?I)=In(√Σ+l)/O,∕z(-l)=ln(^-l)≠O,且〃(1)?!?一1),
故y=ln(√x2+l+x)不是偶函數(shù),
故選:C.
7.計(jì)算Iθg225?lθg52√∑=()
A.3B.4C.5D.6
【正確答案】A
【分析】
先化簡(jiǎn),再結(jié)合換底公式即可求解
2
[詳解]Iog225Iog52后=Iog25?log5=2×-×Iog25×Iog52=3
故選:A
本題考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值,屬于基礎(chǔ)題
8.已知關(guān)于X的不等式,則該不等式的解集為()
A.[-4,+∞)B.(-4,+∞)
C.(-∞,-4)D.(-4,1]
【正確答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.
[詳解]不等式(∣)jc^4>3-2v即3i>3'2X.
由于y=3*在R上單調(diào)遞增,所以4-xN-2x,xN-4,
所以不等式的解集為[-4,+8).
故選:A
二、選擇題:本題共2小題,每小題5分,共10分.在每小題給出的選項(xiàng)中,
有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得
0分.
?-x,x≤a“、“\
,若/(l)=2∕(0),則實(shí)數(shù)“可以為()
{,,X>Cl
A.-IB.OC.1D.2
【正確答案】AB
【分析】分加0、O≤a<l,α21三種情況討論,驗(yàn)證/(1)=2/(0)是否成立,綜合可
得出實(shí)數(shù)。的取值范圍,即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】若"0,則/⑼=1,/(1)=2,/⑴=2/(0)成立:
若0≤α<l,則/(O)=L/(1)=2,/(l)=2∕(0)成立;
若α21,則/(0)=l,/(l)=0,/(1)=2/(0)不成立
綜上所述,實(shí)數(shù)“的取值范圍是(-力』).
故選:AB.
10.若,<L<0,則下列不等式中正確的是()
ab
A.a+b<abB.∣β∣<∣^∣C.a<bD.
ba.
—+—>2
ab
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)不等式基本性質(zhì)得到b<α<O,則可判斷B,C選項(xiàng),而。+b<O,αb>O則可
判斷A選項(xiàng),根據(jù)基本不等式及其成立的條件則可判斷D選項(xiàng).
【詳解】?.?L<L<0ob<α<0,所以C錯(cuò)誤:
ab
Va-?-h<0.ah>0,.?a+h<abj所以A正確;
可知∣ɑ∣<∣b∣成立,.?.B正確;
可知2>o,g>o,2≠q,/+q>2JΣΞ=2,???D正確.
abababNab
故選:ABD.
三、填空題:本題共2小題,每小題5分,共10分.
1-2x,X≤0
H.設(shè)函數(shù)y(χ)=<2C八,則加(1))=_________
%+x-2,%>0
【正確答案】1
【分析】先求/(ι)再求y(∕(ι))?
[詳解】???/(1)=12+1-2=0,.?.?(/(l))?/(θ)=l-2×0=1
故1
2
12.若α>O,α≠1,則函數(shù)/(x)=3+Iogu(x+l)的圖象恒過定點(diǎn);當(dāng)α>1時(shí),
函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
【正確答案】①.(0,3)②.(-8,0)
【分析】⑴令/(x)=3+1Og(I(X2+1)中真數(shù)/+1=]求解即可
(2)利用同增異減的關(guān)系,/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間與/+1的單調(diào)遞減區(qū)間相同即可.
【詳解】⑴令/+ι=ι又χ=0,又/(O)=3+log“(02+1)=3,故圖象恒過定點(diǎn)(0,3)
(2)當(dāng)α>1時(shí)logαx為增函數(shù),故/(x)=3+Ioga(V+1)的單調(diào)遞減區(qū)間與/十1的單調(diào)
遞減區(qū)間相同,為(-8,0)
故答案為(1)(0,3)(2).(-8,0)
本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,屬于基礎(chǔ)題型.
四、解答題:本題共2小題,每小題20分,共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、證
明過程或演算步驟.
13.已知函數(shù)/(x)=2x+?-.
(I)試判斷函數(shù)/(χ)在區(qū)間(0,;上的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性定義證明;
C1^
(2)對(duì)任意Xe0,-時(shí),/(x)≥2-加都成立,求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍.
\2_
【正確答案】(1)在(o,g上單調(diào)遞減,證明見解析;(2)m≥0.
【分析】(1)利用單調(diào)性定義:設(shè)o<χ∣</<g并證明/(M),/(M)的大小關(guān)系即可.
(2)由(1)及函數(shù)不等式恒成立可知:/'(X)min22一加在已知區(qū)間上恒成立,即可求加
的取值范圍.
【詳解】(1)函數(shù)/(x)=2x+(在區(qū)間(θ,g上單調(diào)遞減,以下證明:設(shè)0<X∣<%≤g,
1
f(x,)-f(x2)^2(xl-x2)+---------=2(項(xiàng)-X2)一———=(x.-x2)2-
Xv2
??2)2xlx2\2xlx2
=(x1-x2)f4?l'
I2X1X2)
?.?0<F<%<5,
:.X1—x2<0,4X1X2-1<0,2X1X2>0,
?,?∕(xι)-∕(?)>0^
.?.∕(x)=2x+(在區(qū)間(0,;上單調(diào)遞減;
(2)由(2)可知/(x)在(0,;上單調(diào)減函數(shù),
1門、
,當(dāng)X=3時(shí),/(x)取得最小值,即/(XLl=/5=2,
(Il
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