2023-2024學年天津市高一年級下冊數(shù)學模擬試題

2023-2024學年天津市高一下冊過程性診斷數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知集合4={1,2,3,4},8={用丁=3尢—2,XGA},則AC8=

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

【正確答案】D

【詳解】因為集合B中，xGA,所以當x=l時，y=3—2=1；

當x=2時，y=3x2-2=4；

當x=3時，y=3x3—2=7；

當x=4時，>=3x4—2=10.

即B={1,4,7,10).

又因為A={1,2,3,4},所以4CB={I,4}.故選D.

2.復數(shù)二等于

\-1

A.1.2，B.l-2zC.2+iD.2-/

【正確答案】c

【詳解】因為F_9；+:=手=2+i,故選C.

1-1(l-z)(l+02

3.已知向量)=(2,4),b=(l,x),若向量4工人則實數(shù)x的值是().

A.—2B.—C.JD.2

22

【正確答案】B

【分析】利用向量垂直的坐標表示即可求解.

【詳解】alb,:.2+4x=0,解得x=-；.

故選：B

09

4.a=log080.9,^=logl20.9,c=1.2',則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【正確答案】D

【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計算可得.

【詳解】解：0=logosl<a=log。$°9<log0,80-8=1,

09

b=log,20.9<log,21=0,c=1.2>1.2°=1,

-a,b,c的大小關(guān)系為b<a<c.

故選：D.

5.ABC中，角A8的對邊分別為a,b,且河=《，a=屈,6=4,那么滿足條件的三角

形的個數(shù)有()

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

【正確答案】C

【分析】利用余弦定理求出。的值即可求解.

【詳解】因為在ABC中，A=q，a=屈,b=4,由余弦定理可得:

a1=b~+c2-2bccosA>所以14=16+。2-4。，也即(?-4c+2=0,

解得：c=2士夜，所以滿足條件的三角形的個數(shù)有2個，

故選.C

6.在中，NA、NB、/C所對的邊分別為a,b,c,若乙4=］，a=娓,b=2,則NB=

()

n-兀-37r?K3n

A.-B.-C.—D.一或一

64444

【正確答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合大邊對大角，即可求28的大小.

【詳解】由正弦定理三=占，得6nA從出A2x坐近,

sinAsinBsinb=------=—方—=—

4V62

又b〈a,所以8vA,則角5為銳角，所以=

4

故選：B.

7.已知sin()

_2_

A.c.如D

~33-4

【正確答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導公式和二倍角公式直接計算即可.

【詳解】sin(2a-cos(2a+—)=-l-2sin2(a+—)=-l+2x-=--.

63[_6J33

故選：A

8.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+1J+sin0x?>O),/(^)=0,=且|演-耳=兀，

則。的最小值為()

A.yB.\C.1D.2

【正確答案】A

【分析】利用三角恒等變換化筒函數(shù)解析式為〃”=百而(8+高，分析可知函數(shù)/(》)的

47r

最小正周期為T=M、(ZeN),利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得。的最小值.

5+*sinox」sin但由cosox+sinox

【詳解】因為〃x)=sin

3)22

=—sinct>x+-^cos(yx=V3sin|a>x+—I,

22I6)

又因為/(')=0,f(X2)=y/3,且后一百=兀，

ok-j-147r

所以，函數(shù)〃X)的最小正周期T滿足‘干7=兀，則7=篇(丘N),

27rDk-4-1i

所以，3=牛=WL(k€N),故當k=0時，。取最小值

故選：A.

9.若，ABC內(nèi)接于以。為圓心，1為半徑的圓，且30A+4OB+5OC=O，則OOAB的值為

()

1166

A.—B.-C.—D.一

5555

【正確答案】A

【分析】由己知等式可得(3OA+4OB『=25OC,，由向量數(shù)量積運算律可求得0408=0;

根據(jù)0C-AB=(_|0A_108)(0B_0A)可求得結(jié)果.

【詳解】AB,C在圓0上，.“。4卜畫=|困=1；

30A+40B+50C=0，;.3OA+4OB=-5OC(304+4。町=25OU,

即9|O4.+24O4O8+16|O8(=25+240403=25,則OAOB=0，

故選：A.

二、填空題

10.在.ABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且/=〃-c2+Gac,則角B的

大小是.

7T

【正確答案】-##30°

6

【分析】利用余弦定理的推論求解.

【詳解】解：因為/=從一仃2+J5ac,所以/+/-從=J5ac,

由余弦定理的推論，得cos8='+c'-"=?=@,

2ac2ac2

因為Be（（u）,所以8

n

故答案為

0

rr

11.已知向量“，匕滿足"=2,忖=1,卜+4=百，則1-6|=.

【正確答案】"

【分析】根據(jù)模長公式及向量的數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】由Ja+.=5^可得，忖+2“為+也|=3,即4+2a?￡>+1=3，解得：a-b=—1，

所以卜_〃卜=j4+2+l="

故〃.

12.已知a為銳角，i+W^=-!-,則。=________.

tan80°sma

【正確答案】50°

【分析】利用三角恒等變換求得1+4—=」一，從而得至Usina=sin50。，由此結(jié)合角a

tan80°sin50°

的范圍即可得解.

［詳解］i?sin800+73cos80°=2sin（80°+60°）=2sin140°

tan80°-sin80°-sin80°-2sin40。cos40。

sin40。_1_1_1

sin40°cos40°cos40°sin50°sinJ

所以sina=sin50。,

又因為。為銳角，

所以。=50。.

故50。

13.已知向量機二（T,2）,〃=（2,2）,若機_!_/?,則2m+〃在加上的投影向量為

【正確答案】（-2,4）

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得出％=1,再利用向量的投影的概念即得.

【詳解】m=（-l,2）,n=（2,A）,m±n,

=-2+2/1=0,

解得4=1，

w=（2,l）,

/.2/?t+n=（0,5）,同=Jl+4=石,

「.（2m+〃）?"？=10,

，2"2+"在加上投影向量為：

故答案為.（-2,4）

14.將函數(shù)〃x）=sin（2x+^）的圖像向右平移*（（）＜/＜兀）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的

圖像，若g（x）是奇函數(shù)，則。的可能取值是（只需填一個值）

【正確答案】夕（答案不唯一）

0

【分析】先通過平移求出g（x）,再通過g（（））=o求出*即可.

【詳解】將函數(shù)f（力=sin（2x+1）的圖像向右平移。（0＜?＜乃）個單位長度得

g(x)=sin(2(x_Q)+W=sin(2x-2^>+yj,

g(x)是奇函數(shù),

??.g(O)=sin卜2°+])=()

兀

:.-2(p+—=kn,keZ,

3

itlot.

:.(p=--------,kwZ,

62

則e的可能取值是

6

TT

故答案為

0

三、雙空題

15.如圖，梯形ABC。，A8〃CO且Afi=5,AD=2DC=4,ACBD^O,則

則AE-DE的最小值為.

【分析】利用向量線性運算可將AC的化為(AD+|AB：(AD-A8),由向量數(shù)量積的運

算律和定義可構(gòu)造方程求得cosNBA￡>,由此可得234)；作。尸以尸為坐標原點

建立平面直角坐標系，設(shè)BE=/18C，利用向量數(shù)量積的坐標運算可將AEOE化為關(guān)于幾的

二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)最小值的求法可求得結(jié)果.

2

【詳解】AB=5fC￡>=2,ABHCD,DC=-ABf

AC-BD=(AD+DC)(AD-AB)=^AD+^AB^(AD-AB)

=AD2-|AB-A￡)=|A￡)|2-||AB|：-||AB|-|A￡)|COSZBAD=6-12COSZBA￡>=0,

cosZBAD=-,又NBA。』。,馬，:"BAD=J

2I2)3

作￡>F_LAfi,垂足為F,

以F為坐標原點，尸8,尸3正方向為了"軸，可建立如圖所示平面直角坐標系,

則A(-2,0),8(3,0),。(0,2⑹，C(2,2V3),：.BC=[-1,2^),

777—3=—2

設(shè)￡(〃?,〃)，

B￡=/tBC(0<2<l),22四‘解得：'〃=3Yn=2出入，

.-.￡（3-2,2V3A）,.1AE=（5-4,26/1）,DE=（3-2,2^/l-2^）,

AE.OE=（5-/l）（3-;1）+2描（2扇-2@=13/12-204+15,

則當彳七時，AE.OE取得最小值，最小值為青

7195

故彳；77-

313

方法點睛：求解平面幾何中的平面向量數(shù)量積問題的常用方法有兩種：

（1）利用平面向量線性運算將所求數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為夾角和模長己知的向量數(shù)量積

的求解問題；

（2）建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算來進行求解.

四、解答題

16.已知向量a=(l,2x),6=(x,3),c=(—2,0).

⑴若(a+24〃(2a-c),求實數(shù)x的值；

⑵若(a+2@“24-c),求實數(shù)x的值.

【正確答案】(1?=-|或x=2

-4+714-4-V14

(2)%=-----------或x=------------

22

【分析】（1）求出。+242〃-c的坐標，再利用向量平行的坐標公式列方程求解即可;

(2)求出。+242。-c的坐標，再利用向量垂直的坐標公式列方程求解即可.

【詳解】(1)"=(1,2",人=(羽3),c=(-2,0),

.,.〃+2匕=(1+2x,2x+6),2Q-c=(4,4x),

(〃+2h)//(2Q-C)

/.4x(1+2x)=4(2x+6)

3一

?"=-5或％=2；

(2)由(1)知〃+2/?=(l+2x,2犬+6),2a-c=(4,4x),

(〃+2Z?)，

「.4(1+2x)+4x(2x+6)=0,

解得X=士母或x;土巫.

22

17.在非等腰45C中，a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且。=3,c=4,C=2A.

(1)求cosA的值；

(2)求b的值；

⑶求cos(2A+?的值.

2

【正確答案】(l)cosA=］；

7

(2)Z?=-；

小叫6+4亞

(3)cos2AH—=--------------.

I6j18

34

【分析】(1)由正弦定理得”?=1;，根據(jù)C=2A,解得cosA.

sinAsinC

(2)由余弦定理/=從+C2-2ACOSA,建立方程b2-yb+7=0,根據(jù)a,b,?；ゲ幌嗟龋?/p>

求得b.

(3)由cosA=彳，得sinA=2,應(yīng)用二倍角的三角函數(shù)求得sin2A,cos2A,應(yīng)用兩角和差的

33

三角函數(shù)求cos(2A+=).

【詳解】（1）在“BC中，由正弦定理三=工=$,。=3,c=4,

sinAsinBsinC

34

可得

sinAsinC

3

因為C=2A,所以告4即高4

sinAsin2A2sinAcosA

2

解得cosA=,.

（2）在_45c中，由余弦定理々2=/+/一2。（；854,

得從一"人+7=0,解得6=3或6=2.

33

7

由己知a,b,c,互不相等，所以b=g.

2R

(3)因為cosA=；,所以sinA=L,

33

~4x/s->1

所以sin2A=2sin4cosA=———,cos2A=2cos~A-l=--,

99

「匚I、〕f.71....7T(1^5/34\/51指+4逐

所以cos2A+—=cos2Acos——sin2Asm—=——x---------x—=----------

I6)66<9j29218

3

18.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,月.a=2,cosB=-.

⑴若b=4,求sinA的值;

⑵若△ABC的面積S〃BC=4,求4c的值.

2

【正確答案】（1）,；

(2)〃=JT7,c=5.

【分析】（1）先求出siW=；再利用正弦定理求解;

（2）利用面積求出。=5,再利用余弦定理求出力得解.

【詳解】(1)解：cosB=|>0,且0<8<L,，sin8=Jl—cos2B=..

4

由正弦定理得號二—與，所以asinB_2xg_2.

sinAsinBsin/1=---=---=—

b45

114

(2)解.S=-acsinB=4,.\-x2xcx-=4,.\c=5

AfiC225

由余弦定理得從=/+c2—2accos3=22+52-2x2x5x-=17,.16=5/17.

19.已知函數(shù)/(x)=J^sin。x+sinxcosx--丁.

(1)求/(x)的最小正周期；

⑵求“X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)設(shè)_ABC的三個角A、B、C所對的邊分別為。，匕，c,若曰+；)=1,且。=2,求6+c

的取值范圍.

【正確答案】(1)兀

⑵ff+板詈+"兀("€Z)

(3)(2,4]

【分析】(1)將/(x)利用三角恒等變換化簡后即可得到結(jié)果;

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)利用正弦定理表示出枚c,利用三角恒等變換將6+c化簡，再根據(jù)角度范圍求出結(jié)果.

/(x)=退sin。x+sinxcosx-^-=上■-~8s+—sin2x--

【詳解】⑴[6z,

=—sin2xcos2x=sin(2x——)

223

則丁=與=兀,

函數(shù)/(力的最小正周期為兀.

(2)由(1)可得f(x)=sin(2x一學,

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間需要滿足：

TTTT37r

—+2kjt<2x—<--1-2kji,keZ,

232

BP—+^7i<x<+kii.keZ,

1212

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為工+杭詈+E(AeZ).

(3)因為/仁+()=1，所以sin(A+t)=l,

因為Ae(O,兀)，所以A：3

因為。=2,

則由正弦定理可得b=竺見0=4^sing,c=4國11。

sinA33

-4^框^-(sin3+sinC)=~~~[sin3+sin(A+3)]=迪sin8+速sin但71+8

b+c=

333

而

I”4>/3.4>/3.兀rt兀?n現(xiàn)為nB+6R

所以二---sinB+------:sin—cosD+cos—sinB——cosB

3333322

71

=4sin(B+—)

6

因為A=，所以8叩,2兀

7T兀5K

所以8+十9

O6T

所以sin(8+F兀)e(g,l,則4sin(8+eje(2,4],

6

所以b+c的取值范圍為(2,4].

20.已知函數(shù)/(x)=sinx+cosx,g(x)=sin2x-/(x).

⑴求函數(shù)/(x)=sinx+8sx的最小正周期和對稱軸方程:

jr

⑵當XG--，0時，求函數(shù)g(X)的值域;

9V-1,當xe(0,48)時，不等式血弓)i(x)>0恒成立，設(shè)實數(shù)，"的取值范

⑶設(shè)/J(X)=

9V+1

圍對應(yīng)的集合為M,若在(1)的條件下，恒有ag(x)任M(其中。>0),求實數(shù)。的取值

范圍.

TT

【正確答案】⑴7=2兀'對稱軸方程為，學鵬”

5i

⑵*』

(3)(0,2)

【分析】(1)利用輔助角公式將〃X)化簡，即可求出結(jié)果：

(2)令〃=0sin(x+f),換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題；

(3)利用不等式加"、]-〃(x)>0恒成立，結(jié)合基本不等式求出集合為進而可以求出

結(jié)果.

【詳解】(1)因為/(x)=sinx+cosx=esin(x+；),

所以/("的最小正周期為7=2元,

令x+2=2+kn、keZ,解得x=—+kji,kGZ,

424

所以/(X)的對稱軸方程為x=：+E,keZ.

g(x)=sin2x-(sinx+c