圓綜合-數學2023六年級上冊思維拓展含答案

圓綜合-數學2023六年級上冊思維拓展

一、選擇題

L下列各圖中，空白部分與陰影部分的面積之比不等于1:3的是（）。

A.

211

-6

C.

2.如下圖，大正方形內有一個最大的圓，圓內有一個最大的正方形。那么，大正方形面積與小正方形面積

A.4:nB.4:1C.n:2D.2:1

3.一輛拖拉機前輪直徑80厘米，后輪直徑120厘米。行駛前，兩個輪胎的位置如下圖所示，當后輪轉動5

周時，前輪的位置是（）圖。

A.OB.。C.。D.一

4.下面三張正方形的紙邊長都是12cm。按下面的剪法，它們的余料相比，（）。

A.第一張最多B.第二張最多C.第三張最多D.同樣多

5.要剪一個面積是12.56cm2的圓形紙片，至少需要面積是（）的正方形紙片。

A.12.56cm2B.14cm2C.16cm2D.20cm2

6.如下圖所示，圓的面積與長方形面積相等，則陰影部分的周長與圓周長的比是（）。

A.5:4B.1:1C.3:4D.4:5

二、填空題

7.如圖中，在邊長是2cm的正方形內畫一個最大的圓，再在圓里畫一個最大的正方形，那么陰影部分的面

積是（Km?。

2cm

8.如圖：大圓半徑為8厘米，小圓半徑為4厘米，則大圓與小圓的直徑之比是（），周長之比是

（）,面積之比是（）。現在讓小圓沿著大圓的外側滾動一周后回到原處，那么小圓的圓心移

動的長度是（）厘米。

9.如圖，在一個長方形中畫有兩個一樣大的圓。已知長方形的周長是18厘米，那么一個圓的面積是（）

平方厘米。

10.小明周日下午參加體育鍛煉起止時間如圖所示，分針長8厘米，分針掃過的面積占陰影部分圓面積的

）%;分針針尖走過的路程是（）厘米。

11.下圖是由兩個相同的半圓疊拼而成的。已知AABC是一個等腰直角三角形，AB=BC=10分米。圖中涂

色部分的面積是（）平方分米。

12.運用轉化思想推導圓的面積的方法：如圖，把半徑為r的圓沿半徑剪開，分成了16等份，拼成了一個

近似的梯形，在這個轉化過程中，兩個圖形的（）相等，梯形的上下底之和相當于圓的（），梯

形的高相當于圓的（），梯形的面積=（上底+下底一高,所以圓的面積：S=^-----------兇-------=

22

（）。

13.把一個圓等分成若干個小扇形后拼成一個近似的長方形，周長比原來增加了12cm,這個圓的面積是

）cm2,拼成的長方形的周長是（）cm。

14.如圖，把一個半徑是6cm的圓沿半徑分成若干份，拼成近似的平行四邊形，這個平行四邊形的底大約

是（）cm,平行四邊形的面積大約是（

三、解答題

15.將一個邊長為3厘米的等邊三角形沿水平線滾動，B點從位置①到位置③所經過的路線總長度是多少

厘米？

16.如圖所示，AB是圓。的直徑，AB±BC,B為垂足。線段AC與圓。相交于點D,AB=BC=8厘米。

（1）求NAOD的度數

（2）求陰影部分的面積（rt取3.14）

17.中國建筑中經常能見到"外方內圓”的設計（如圖）。

請你按下列要求分步作圖，再計算。

（1）在正方形中畫一個最大的圓；

（2）在所畫圓中，畫兩條互相垂直的直徑；

（3）依次連接這兩條直徑的四個端點，得到一個小正方形；

（4）這個圓的面積是（）平方厘米，小正方形的面積是（）平方厘米。

lcm

18.2022年10月25日，國家林業(yè)和草原局等部門聯合下發(fā)了《"十四五"鄉(xiāng)村綠化美化行動方案》。方案持

續(xù)推進鄉(xiāng)村綠化美化，改善提升農村人居環(huán)境，建設生態(tài)宜居美麗鄉(xiāng)村。

（1）幸福新村修建了一個周長是37.68米的圓形花壇，在花壇周圍鋪了一條2米寬的石子路，石子路的面

積是多少平方米？

（2）幸福新村把一些樹苗分給三個綠化隊來栽種，第一隊栽種的棵數是總數的g,第二隊栽種的棵數是總

數的第三隊栽種了500棵。這批樹苗一共有多少棵？

4

19.一個半圓形花壇，一周的長是35.98米。

（1）這個花壇的面積有多大？

（2）如果擴建這個花壇，把半徑增加1米，花壇的面積增大多少？

20.如圖，一枚半徑是1厘米的游戲幣沿著邊長是4厘米的等邊三角形的邊繞一圈，它掃過的面積是多少

平方厘米？

參考答案:

1.c

【分析】A.根據分數的意義，把整個圖形看作單位"1”,平均分成4份，空白部分占其中的1份，陰影部分

占其中的3份；

B.從圖中可以看出，所有的三角形的高都相等，那么空白部分與陰影部分的面積之比等于它們的底邊之比；

C.設每個小正方形的邊長是1,整個圖形是一個長為4、寬為2的大長方形，根據長方形的面積=長、寬求

解；空白部分是一個底為3、高為2的三角形，根據三角形的面積=底、高+2求解；陰影部分的面積=大長

方形的面積一空白部分的面積；

D.空白部分是一個半徑為1的圓，根據圓的面積公式S=?2求解；陰影部分是一個圓環(huán)，根據圓環(huán)的面積

公式S環(huán)=7i(R2—r2)求解；

最后根據比的意義分別寫出四個選項中空白部分與陰影部分的面積之比，并化簡，找出空白部分與陰影部

分的面積之比不等于1:3的選項。

【詳解】A.把整個圖形平均分成4份，陰影部分占其中的3份，空白部分與陰影部分的面積之比是1:3,

不符合題意：

B.空白部分的底邊是1,陰影部分的底邊是2+1=3,空白部分與陰影部分的面積之比是1:3,不符合題

意：

C.設每個小正方形的邊長是1；

大長方形的面積：4x2=8

空白部分的面積：3x2+2=3

陰影部分的面積：8—3=5

空白部分與陰影部分的面積之比是3:5；

空白部分與陰影部分的面積之比不等于1:3,符合題意；

D.空白部分的面積：nxl2=n

陰影部分的面積：

nx(22—I2)

=nx(4—1)

=3n

空白部分與陰影部分的面積之比是n:3n=l:3：不符合題意。

故答案為：C

【點睛】先根據分數的意義、三角形與長方形的面積計算、圓與圓環(huán)的面積計算等，分別求出空白部分與

陰影部分的面積，再利用比的意義和化簡比解答。

2.D

【分析】根據題意，大正方形內有一個最大的圓，則圓的直徑與大正方形的邊長相等，設大正方形的邊長

是2,則圓的直徑是2；根據正方形面積=邊長x邊長，求出大正方形的面積。

小正方形是圓內的最大正方形，可以用對角線把它平均分成2個一樣的三角形，三角形的底等于圓的直徑，

高等于圓的半徑，根據三角形的面積=底、高+2,求出一個三角形的面積，再乘2,即是小正方形的面積。

最后根據比的意義，寫出大正方形面積與小正方形面積的比，再化簡比即可.

【詳解】如圖：

設大正方形的邊長是2,則圓的直徑是2。

大正方形的面積：2x2=4

圓的半徑：2+2=1

小正方形的面積：2xl+2x2=2

大正方形面積與小正方形面積的比是4:2=2:1

故答案為：D

【點睛】運用賦值法，直接計算出大、小正方形的面積，再求出它們的比；把小正方形的面積轉化成兩個

一樣的三角形的面積，是求小正方形面積的關鍵。

3.B

【分析】先根據圓的周長C=7Td求出前、后輪的周長；再用后輪的周長X5求出后輪轉動5周前進的路程：

根據前、后輪前進的路程相等可知前輪前進的路程；再用前輪前進的路程+前輪的周長求出前輪轉的周數;

最后根據前輪最初的位置確定轉動后的位置。

【詳解】前輪的周長:3.14x80=251.2（厘米）

后輪的周長:3.14x120=376.8（厘米）

后輪轉動5周前進的路程：376.8x5=1884（厘米）

前輪轉動的周數：1884+251.2=7.5（周）

前輪轉7周時，前輪的位置和最初的位置相同，再轉動半周，前輪的位置是。

故答案為：B

【點睛】明確前、后輪前進的路程相等是解決此題的關鍵。

4.D

【分析】觀察圖形可知，第一張余料面積=正方形的面積一圓的面積，第二張余料面積=正方形的面積一4

個圓的面積，第三張余料面積=正方形的面積一16個圓的面積；其中第一張圓的直徑等于正方形的邊長，

第二張2個圓的直徑等于正方形的邊長，第三張4個圓的直徑等于正方形的邊長，據此求出每張圖中圓的

半徑；然后根據正方形的面積公式S=a2,圓的面積公式S=nr2,代入數據計算，分別求出三張圖的余料面

積，最后比較大小，得出結論。

【詳解】第一張余料面積：

12x12-3.14x(12+2)2

=144-3.14x36

=144-113.04

=30,96(cm2)

第二張余料面積：

12x12-3.14x(12+2+2)2x4

=144-3.14x9x4

=144-113.04

=30.96(cm2)

第三張余料面積：

12x12-3.14x(12+4+2)2xl6

=144-3.14x2.25x16

=144-113.04

=30,96(cm2)

綜上所述，它們的余料同樣多。

故答案為：D

【點睛】本題考查組合圖形面積的計算，掌握正方形的面積、圓的面積公式是解題的關鍵。

5.C

【分析】根據題意可知，這是一個外方內圓的圖形，即在正方形內剪一個最大的圓，那么圓的直徑等于正

方形的邊長；已知圓的面積是12.56cm2,根據圓的面積公式S=nr2,求出圓的半徑的平方，進而求出圓的

半徑，半徑乘2即是圓的直徑，也就是正方形的邊長；最后根據正方形的面積=邊長x邊長，求出這個正方

形紙片的面積。

【詳解】12.56+3.14=4(cm2)

因為4=2x2,所以圓的半徑是2cm；

圓的直徑(正方形的邊長)：

2x2=4(cm)

正方形的面積：

4x4=16(cm2)

至少需要面積是16cm2的正方形紙片。

故答案為：C

【點睛】本題考查圓的面積、正方形的面積公式的靈活運用，明白在正方形內剪一個最大的圓，圓的直徑

與正方形邊長的關系是解題的關鍵。

6.A

【分析】觀察圖形可知，假設圓的半徑是2,長方形的寬和圓的半徑相等，同時面積也相等，所以長方形的

長是圓周長的一半。根據圓的周長公式，先求出圓周長，再除以2,求出長方形的長。用圓的周長除以4,

求出陰影部分的弧長。最后，利用加法將組成陰影部分的各邊(弧)相加，求出它的周長，進而求出陰影

部分的周長與圓周長的比。

【詳解】假設圓的半徑是2,

3.14x(2x2)+2

=3.14x4+2

=12.56+2

=6.28

3.14x(2x2)+4

=3.14x4+4

=12.56+4

=3.14

6.28+2+(6.28-2)+3.14

=8.28+4.28+3.14

=12.56+3.14

=15.7

15.7:3.14x(2x2)

=15.7:12.56

=(15.7x100):(12.56x100)

=1570:1256

=(1570+314):(12564-314)

=5:4

則陰影部分的周長與圓周長的比是5:4。

故答案為：A

【點睛】此題主要考查長方形的面積公式、圓的面積公式、圓的周長公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。

7.1.14

【分析】根據題意，在邊長是2cm的正方形內畫一個最大的圓，那么這個圓的直徑等于正方形的邊長，根

據圓的面積公式S=nr2,求出這個圓的面積；

在圓里畫一個最大的正方形，如下圖，用正方形的一條對角線把這個正方形平均分成2個三角形，三角形

的底等于圓的直徑，三角形的高等于圓的半徑，根據三角形的面積S=ah+2,求出一個三角形的面積，再乘

2,即是這個最大正方形的面積；

最后用圓的面積減去最大正方形的面積，即是陰影部分的面積。

圓的面積：3.14x1x1=3.14(cm2)

圓內最大正方形的面積：2xl+2x2=2(cm2)

陰影部分的面積：3.14-2=1.14(cm?)

陰影部分的面積是1.14cm2。

【點睛】本題考查圓的面積、三角形面積公式的運用，關鍵是把圓內最大正方形的面積轉化成兩個完全一

樣的三角形的面積求解。

8.2:12:14:175.36

【分析】根據圓的直徑d=2r,圓的周長C=2nr,圓的面積5=m2,可知兩個圓的直徑之比、周長之比等于

它們的半徑之比，兩個圓的面積之比等于它們的半徑的平方比。

從圖中可知，小圓的圓心移動的長度是以(8+4)厘米為半徑的圓的周長，根據圓的周長C=2nr,代入數

據計算即可求解。

【詳解】大圓與小圓的直徑之比是8:4=(8+4):(4+4)=2:1；

大圓與小圓的周長之比是8:4=(8+4):(4+4)=2:1；

大圓與小圓的面積之比是82：42=64:16=(64X6):(16+16)=4:1；

2x3.14x(8+4)

=2x3.14x12

=75.36(厘米)

小圓的圓心移動的長度是75.36厘米。

【點睛】本題考查圓的直徑、周長、面積公式的運用以及比的意義、比的化簡。

9.7.065

【分析】觀察圖形可知，長方形的長等于圓的直徑的2倍，寬等于圓的直徑；設圓的直徑是d厘米，則長

是2d厘米，寬是d厘米；根據長方形的周長=(長+寬)x2,列出方程，求出圓的直徑；進而求出圓的半

徑，然后根據圓的面積公式$=兀巴代入數據計算，求出一個圓的面積。

【詳解】解：設圓的直徑是d厘米。

(2d+d)x2=18

3dx2=18

6d=18

d=18+6

d=3

圓的半徑：3+2=1.5(厘米)

圓的面積：

3.14X1.52

=3.14x2.25

=7.065(平方厘米)

一個圓的面積是7.065平方厘米。

【點睛】本題考查圓的面積公式的運用，找出長方形的長、寬與圓的直徑的關系，然后根據長方形的周長

公式求出圓的直徑是解題的關鍵。

10.7537.68

【分析】從圖中可知，小明開始鍛煉的時刻是3時5時，結束的時刻是3時50分，那么小明參加體育鍛煉

的時間是45分鐘；因為分針轉一圈是60分鐘，用除法求出45分鐘占60分鐘的百分之幾，即是分針掃過

的面積占陰影部分圓面積的百分之幾；

已知分針長8厘米，即圓的半徑是8厘米；由上一題可知，經過45分鐘，分針針尖走過的路程是圓周長的

75%,先根據圓的周長公式C=2nr,求出圓的周長，再乘75%即可得解。

【詳解】3時50分一3時5分=45（分鐘）

45+60x100%

=0.75x100%

=75%

3.14x8x2x75%

3

=3.14xl6x—

4

=37.68（厘米）

分針掃過的面積占陰影部分圓面積的75%；分針針尖走過的路程是37.68厘米。

【點睛】本題考查經過時間的計算、百分數的應用以及圓周長公式的運用，明確求一個數是另一個數的百

分之幾，用除法計算。

11.28.5

【分析】觀察圖形可知，2個半圓可以組合成一個圓，涂色部分的面積=圓的面積一直角三角形的面積；根

據圓的面積公式S=nr2,三角形的面積公式S=ah+2,代入數據計算即可。

【詳解】圓的面積：

3.14x（104-2）2

=3.14x25

=78.5（平方分米）

三角形的面積：

10x104-2

=100+2

=50（平方分米）

涂色部分的面積：

78.5-50=28.5（平方分米）

圖中涂色部分的面積是28.5平方分米。

【點睛】本題考查圓的面積、三角形面積公式的運用，關鍵是找出涂色部分的面積是由哪些圖形面積相加

或相減得到，再運用圖形的面積公式解答。

12.面積；周長的一半；直徑；nr；2r；nr2

【分析】根據題意，把圓沿半徑r剪開，分成了16等份，拼成了一個近似的梯形，兩個圖形的面積相等。

從圖中可知，圓的周長平均分成了16等份，拼成梯形的上底占3份，下底占5份，一共占8份，可得梯形

上下底之和相當于圓周長的一半，即可；梯形的高相當于半徑的2倍，即2r；據此把含有字母的式子代入

梯形的面積公式中，推導出圓的面積公式。

【詳解】運用轉化思想推導圓的面積的方法：如圖，把半徑為r的圓沿半徑剪開，分成了16等份，拼成了

一個近似的梯形，在這個轉化過程中，兩個圖形的面積相等，梯形的上下底之和相當于圓的周長的一半，

梯形的高相當于圓的直徑，梯形的面積=（上底+下底一高,所以圓的面積：5=里芋=川2。

【點睛】本題考查運用轉化思想推導圓的面積的方法。

13.113.0449.68

【分析】把一個圓等分成若干個小扇形后拼成一個近似的長方形，長方形的面積等于圓的面積，長方形的

長等于圓的周長的一半，寬等于圓的半徑；那么長方形的2條長等于圓的周長，根據長方形的周長=（長

+寬）x2可知，拼成的長方形的周長比原來圓的周長增加了2條寬的長度，即增加了2個半徑的長度，用

增加的周長除以2,求出寬，也就是圓的半徑；然后根據圓的面積公式S=nr2,求出這個圓的面積；根據圓

的周長公式C=2nr,求出圓的周長，再加上12cm,即是拼成的長方形的周長。

【詳解】圓的半徑：

12+2=6（cm）

圓的面積：

3.14x62

=3.14x36

=113.04（cm2）

圓的周長：

2x3.14x6

=6.28x6

=37.68(cm)

長方形的周長：

37.68+12=49,68（cm）

這個圓的面積是113.0401?,拼成的長方形的周長是49.68cm。

【點睛】本題考查圓的面積公式推導過程的應用，明確把圓剪拼成近似長方形時，長方形的的面積等于圓

的面積，長方形的周長比圓的周長多了2個半徑的長度。

14.18.84113.04

【分析】將圓沿半徑分成若干份，拼成近似的平行四邊形，這個平行四邊形的底就是圓周長的一半，高就

是圓的半徑，再利用平行四邊形面積等于底乘高，得解。

【詳解】底：3.14x6x2+2

=18.84x2+2

=37.6822

=18.84（厘米）

平行四邊形的高就是圓的半徑6厘米。

平行四邊形的面積：18.84x6=113.04（平方厘米）

【點睛】解答本題的關鍵是知道拼成的近似平行四邊形與圓之間的關系，進而解決問題。

15.12.56厘米

【分析】等邊三角形的三個內角都是60。,由圖可知，等邊三角

形從位置①到位置②B點經過的路線長度是半徑為3厘米，圓心角為120。扇形的弧長，從位置②到位置

③B點經過的路線長度等于從位置①到位置②B點經過的路線長度，圓心角為120。扇形的弧長等于整個圓

周長的（，利用"C囪形=24”求出B點經過的路線總長度，據此解答。

【詳解】60°x2=120°

120°4-360°=-

3

2x3.14x3x-x2

3

=3.14x2x2x3x-

3

=3.14x（2x2）x（3x-）

3

=3.14x4x1

=12.56（厘米）

答：B點從位置①到位置③所經過的路線總長度是12.56厘米。

【點睛】本題主要考查圓的周長公式的應用，理解B點經過的路線長度的一半是整個圓周長的;是解答題

目的關鍵。

16.（1）90°

（2）20.56平方厘米

【分析】（1）觀察圖形可知，三角形AOD是等腰直角三角形，由此判斷NAOD的度數。

（2）觀察圖形可知，陰影部分的面積=!圓的面積+梯形DOBC的面積一三角形。BC的面積；

根據圓的面積S=nr2,梯形的面積=（上底+下底）x高+2,三角形的面積=底、高+2,代入數據計算求解。

【詳解】（1）線段AO=OD,且OD_LOA,所以zAOD=90。。

答：NAOD的度數是90。。

（2）圓的半徑：8+2=4（厘米）

!圓的面積：

4

1

x3.14x429

4

1

=-x3.14xl6

4

=12.56（平方厘米）

梯形的面積：

（4+8）X44-2

=12x44-2

=24（平方厘米）

三角形的面積：

4x8+2

=32+2

=16（平方厘米）

陰影部分的面積:

12.56+24-16=20.56(平方厘米)

答：陰影部分的面積是20.56平方厘米。

【點睛】本題考查組合圖形面積的求法，分析組合圖形是由哪些基本圖形組成，然后看是求幾種圖形的面

積和還是求面積差，根據圖形面積公式解答。

17.(1)見詳解

(2)見詳解

(3)見詳解

(4)28.26；18

【分析】(1)從圖中可知，正方形的邊長是6厘米，在正方形中畫一個最大的圓，那么這個圓的直徑等于

正方形的邊長6厘米；

先找到正方形的中心，以此為所畫圓的圓心，以正方形邊長的一半為圓的半徑，即可畫出這個最大的圓。

(2)在所畫圓中，過圓心畫兩條互相垂直的直徑即可。

(3)依次連接這兩條直徑的四個端點，得到一個小正方形。

(4)已知圓的直徑是6厘米，根據圓的面積公式$=71巴代入數據計算即可求出這個圓的面積；

小正方形的1條對角線把小正方形平均分成兩個小三角形，小三角形的底等于圓的直徑，高等于圓的半徑；

根據三角形的面積公式5=2卜+2,求出一個小三角形的面積，再乘2,即是這個小正方形的面積。

【詳解】(1)(2)(3)如圖:

1cm

(4)圓的面積:

3.14x(6+2)

=3.14x9

=28.26(平方厘米)

小正方形的面積:

6x(6+2)4-2x2

=6x34-2x2

=18(平方厘米)

這個圓的面積是28.26平方厘米，小正方形的面積是18平方厘米。(答案不唯一)

【點睛】本題考查在正方形內畫最大的圓、在圓內畫小正方形的作圖方法，圓的面積公式的運用，以及利

用轉化思想，把小正方形的面積轉化成兩個小三角形的面積之和求解。

18.(1)87.92平方米

(2)1200棵

【分析】(1)已知圓形的花壇的周長是37.68米，根據圓的周長公式C=2rtr可知，r=C+n+2,由此求出圓

形花壇的半徑；

已知在花壇周圍鋪了一條2米寬的石子路，求石子路的面積，就是求圓環(huán)的面積，用圓形花壇的半徑r加上

2米，即是外圓的半徑R：然后根據圓環(huán)的面積公式S環(huán)=7i(R2-r2),代入數據計算即可求解。

(2)把這批樹苗的總數看作單位“1”,已知第一隊、第二隊栽種的棵數分別占總數的!、!，那么第三隊栽

種的500棵樹占總數的(1-1-1),根據已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，用除法計算，即可

求出這批樹苗的總數。

【詳解】(1)37.68^3.144-2

=12+2

=