重慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年度（上）高2025屆期中考試數(shù)學(xué)試題含答案解析

重慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校

2023-2024學(xué)年度(上)高2025屆期中考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題(共24分)

1.若N(2,?n+1,3),P(2,2,n+1)三點(diǎn)共線(xiàn)，則zn+n=()

A.4B.-2C.lD.3

【答案】D

【分析】

利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算，求出山,九即可.

【詳解】

若M(l,0,2),N(2,m+1,3),P(2,2,九+1)三點(diǎn)共線(xiàn)，

由麗=(l,m+Ll)，MP=(1,2,n-1),則有兩〃而，W-=-=—,

12n—1

解得zn=l,n=2,所以zn+TI=3.

故選：D

2.兩條平行直線(xiàn)3%-y+3=0和ax-2y+4=0間的距離為d,則d=()

A±B.也C.遮D.2

10101010

【答案】B

【分析】

首先根據(jù)兩直線(xiàn)平行求a,再求平行線(xiàn)間的距離.

【詳解】

因?yàn)閮芍本€(xiàn)平行，則。=三釬，解得：a=6,

a-24

所以?xún)善叫芯€(xiàn)分別為3%—y+3=0和3%—y+2=0,

,_|3-2|_V10

-V32+(-l)z一年

故選：B

3.直線(xiàn)xsinl5。+ycos75。+2=0的傾斜角是()

A.150B.750C.450D.1350

【答案】D

【分析】

根據(jù)直線(xiàn)的方程求出斜率，由斜率求出直線(xiàn)傾斜角.

【詳解】

由xsinl50+ycos75°+2=0,

sinl5。sinl5。

可得k=

cos75°sinl50

所以k=tan135°=-1,

故直線(xiàn)的傾斜角為135。.

故選：D

22

4.已知P是橢圓會(huì)+棄=l(a>b>0)上一點(diǎn)，&、員分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若的周

長(zhǎng)為6.且橢圓的離心率為5則橢圓方程為()

A.—+y2=1B.—+y2=1

2)4：

42y2%2y2

C.—+—=1D.—+—=1

4334

【答案】C

【分析】

根據(jù)橢圓定義結(jié)合離心率列式求解即可.

【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為c>0,

'2a+2c=6(a=2

由題意可得.=1,解得b=V5，

,a2=b2+c2(c=1

22

所以橢圓方程為—+-=l.

43

故選：c.

5.直線(xiàn)y=kx+1與圓(％-1)2+(y-2)2=4相交于M、N兩點(diǎn)，若|為=2次，則k等于

()

A.OB.-2C.2或0D.-2或0

【答案】A

【分析】

根據(jù)圓的方程及弦長(zhǎng)，可以求得圓心到直線(xiàn)的距離，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求得.

【詳解】

由圓(％-I)2+(y-2)2=4的方程可知，圓心為(1,2),半徑R=2,

則圓心到直線(xiàn)的距離為d=震手又因?yàn)橄议L(zhǎng)|而|=2V3,所以d=1,

即d==1，解得k=0.

Vl+k2

故選：A

6.在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論，甲：該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,3)；乙：該圓的圓

心為(2,-3)；丙：該圓的半徑為1；T：該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-3).如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤

的，那么這位同學(xué)是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【分析】

假設(shè)乙、丙同學(xué)結(jié)論正確得出圓的方程，利用圓的方程檢驗(yàn)甲、丁結(jié)論可得解.

【詳解】

假設(shè)乙、丙同學(xué)的結(jié)論正確，

則該圓的方程為(％-2)2+(y+3)2=1,

代入點(diǎn)(3,3),方程(3-2)2+(3+3產(chǎn)=1不成立，此時(shí)甲結(jié)論錯(cuò)誤，

代入點(diǎn)(3,-3),方程(3-2)2+(-3+3)2=1成立，此時(shí)丁的結(jié)論正確.

故選：A

7.如圖，平行六面體力Q中，乙=乙41AB=45。，AD=AB,AC與BO交于點(diǎn)。，則下列說(shuō)法

不正確的有()

A.直線(xiàn)，直線(xiàn)BO

B.若出。|=\A0\,則&C，平面

C.A-^O=AB+AD+AA^

D.若NBA。=60°,則cosz4力C=y

【答案】C

【分析】

A選項(xiàng)，根據(jù)空間向量計(jì)算出前?畫(huà)=0,得到BD144>A正確；B選項(xiàng)，作出輔助線(xiàn)，證

明出BD1平面ACC1人,得到BO1&C,根據(jù)|40|=歷0|得到△A&C為直角三角形，即&C_L

441，結(jié)合B0_L44「證明出線(xiàn)面垂直；C選項(xiàng)，根據(jù)空間向量基本定理得到乖=中+

AO=A^A+^AB+^AD-,D選項(xiàng)，利用空間向量計(jì)算出西?函+而）=魚(yú)赤從而得到

cosZ-AyAC=9.

【詳解】

對(duì)于A(yíng),因?yàn)镹/遇D=Z/1AB=45。，AD=AB,

所以而-京=|而|?|京|cos45。，AB-AA[=I方1I碼|COS45。，

所以標(biāo).標(biāo)=荏.直\

因?yàn)榍?AD-AB,所以前-AA^=（AD-AB）-AA^=AD-AA^-AB-AAi=O,

所以說(shuō)1百，所以BDJ.441，A正確，

對(duì)于B,連接&C,

由選項(xiàng)A知BDJ.441，

因?yàn)樵谄叫兴倪呅?BC0中，AD=AB,所以四邊形/BCD為菱形,

所以BDJLAC,

因?yàn)?Cn/L4i=/,AC,/Aiu平面ACC1a,

所以BD1平面ACG4，

因?yàn)閡平面/CGAi，所以BO1AiC,

因?yàn)閨40|=|40|,\A0\=\C0\,所以|40|=|C0|=出0|,

所以zAi/O=/.AA1O,Z.CA1O=N&CO,由于24送。+Z.AA1O+“&O+/.A1CO=n,

所以乙4A1。+z.CA-^0=—>

所以△A&C為直角三角形，即/iC_L44「因?yàn)?4/BBi，所以/停_18/，

因?yàn)锽BiCBD=B,BB],BDu平面所以4C1平面BOO?

所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)樗倪呅蜛BCO為平行四邊形，所以。為BD的中點(diǎn)，

所以近=1萬(wàn)+1而，所以項(xiàng)=羽+而=布+：荏+:而，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,設(shè)/B=a,AA1=b,因?yàn)樵诹庑蜛BC。中，^BAD=60°,

所以/C=2A0=2ABcos30°=島，

因?yàn)?4遇。=ZA1AB=45°,

所以河?(AB+AD)=AAi-AB+AA^-AD=\AA^\-|AB|COS45°+\AA^\-|^D|cos45°

=-ab+—ab=y/2ab,

22

所以3為衣=篇=筆醇=黑=日,所以D正確，

故選：C

8.已知點(diǎn)P(t+l,t)，teR,點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。是圓-3尸+(y+1)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，則

|PQ|-|PO|的最大值為()

A.3B.V19C.V15D.4

【答案】D

【分析】

求出點(diǎn)P的軌跡，把|PQ|的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心距離加半徑，再求出到兩個(gè)定點(diǎn)距離差的最

大值即可作答.

【詳解】

令點(diǎn)P(X,y),則于是y=%-l，即點(diǎn)P的軌跡是直線(xiàn)Z：x-y-1=0,圓

(%-3)2+(y+l)2=1的圓心C(3,—l),半徑T=l,而點(diǎn)Q在圓。上，則|PQlmax=伊。+八

因此(IPQI-|PO|)max=丁+(IP。一iPODmax，令點(diǎn)。關(guān)于直線(xiàn)2對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'S,b),\PC\=\PC'\,

(二=_i

則有%+3a了7，解得a=0,b=2,即C<0,2),

I---------1=0

V22

因此|PC|-|PO|=|PC1-|PO|W|OC1=2,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P,O,C'共線(xiàn),且點(diǎn)。在線(xiàn)段PC'上

時(shí)取等號(hào)，

直線(xiàn)OU方程為％=0,由解得］二_01，即直線(xiàn)％=o與直線(xiàn)/交于點(diǎn)P(o,—D，所

以當(dāng)點(diǎn)P與P'重合時(shí),(|PC|-|P0|)max=2,(|PQ|-|PO|)max=2+2=4.

故選：D

二、多選題(共12分)

9.已知直線(xiàn)2：(a+l)x+ay-2=0與九：(a+3)x+2y-3=0,下列選項(xiàng)正確的是()

A.若/||n,則a=—2或a=1

B.若11n,則a=—3+V6

C直線(xiàn)2恒過(guò)點(diǎn)(2,-2)

D.若直線(xiàn)n在x軸上的截距為6,則直線(xiàn)n的斜截式為y=-^%+1

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)直線(xiàn)的平行與垂直判斷AB,由直線(xiàn)系求出定點(diǎn)判斷C,根據(jù)截距及直線(xiàn)方程的斜截式判斷

D.

【詳解】

因?yàn)榭诰?，所?(a+l)-(a+3)a=0,解得a=-2或a=1,代入直線(xiàn)方程檢驗(yàn)，不重

合，故A正確；

因?yàn)閯t(a+l)(a+3)+2a=0,解得(2=-3±乃，故B錯(cuò)誤；

由(a+l)x+ay-2=0可得a(x+y)+x-2=0,由儼士：一?解得?一,

所以直線(xiàn)，恒過(guò)點(diǎn)(2,-2),故C正確；

由71：(a+3)x+2y-3=0,令y=0,可得％==6,解得a+3=:

所以n：|x+2y—3=0,即y=—：%+序故D正確.

故選：ACD

10.已知不同直線(xiàn)a,b,不同平面a,0,y,下列說(shuō)法正確的是()

A.若a||/?,aua,bu0,則a與b是異面直線(xiàn)

B.若a||b,bua,則直線(xiàn)a平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)

C.若aJLy,￡ly,aC\/3=a,則aJLy

D.若an夕=a,alb,be/?,則a_L/?

【答案】BC

【分析】

根據(jù)面面平行的定義判斷A,根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)判斷B,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定判斷C,根據(jù)面

面垂直的判定判斷D.

【詳解】

若a||夕，aua,be/?,則a,b可能異面也可能平行，故A錯(cuò)誤；

若a||b,bca,貝布〃戊或@ua,都有直線(xiàn)a平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，故B正確；

若aly,/?ly,an^=a,不妨設(shè)any=m,0ny=n,如圖，

假設(shè)a1y不成立，過(guò)直線(xiàn)a上一點(diǎn)/作AB1九于點(diǎn)B,作力C1TH于點(diǎn)C,

由a_Ly,/?JLy,a=m,pf}y=n,ABu/?,/Cua可知，AB1y,AC1y,

這與"過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)與該平面垂直"矛盾，所以假設(shè)不正確，故a1y,故C正

確；

若ang=a,alb,bu由面面垂直的判定定理，不能推C出a1氏故D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.在長(zhǎng)方體/BCD-Ai/QDi中，AB=3,AD=AAX=4,P是線(xiàn)段BQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.&P〃平面/DiC

B.A$與CO所成角的正切值的最大值是雷

C.以4為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCGa的交線(xiàn)長(zhǎng)是2n

D.若P為靠近8的三等分點(diǎn)，則該長(zhǎng)方體過(guò)4,P,C的截面周長(zhǎng)為4%+2m

【答案】ACD

【分析】

對(duì)于A(yíng),由長(zhǎng)方體性質(zhì)及線(xiàn)面平行判定證4G〃面/DiC、〃面/。傳，再由面面平行的判定

和性質(zhì)判斷；對(duì)于B,由CD〃4Bi及異面直線(xiàn)夾角的定義得到aP與CD所成角即為ZPaB1（銳

角），根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)有&B11PB1，則tanzPA/i=魯即可確定其最大值；對(duì)于C,首

先確定以A為球心，5為半徑的球面與面BCG%的軌跡，再判斷球面與側(cè)面BCG/的交線(xiàn)圖形，

即可求長(zhǎng)度；于D,應(yīng)用平面基本性質(zhì)畫(huà)出截面，結(jié)合長(zhǎng)方體性質(zhì)判定其為平行四邊形，結(jié)合已

知求邊長(zhǎng)即可判斷.

【詳解】

由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：AC〃&Q,ACu面4DiC,&QG面AQC,則&刃〃面AZ\C,

同理可證4$〃面4&C又4cB=4,同。1可$u面A/Q,則面//Q〃面40住，

又4PU面4/6，則&P〃平面/DiC,A對(duì)；

由CD〃71/I，則&P與CD所成角即為ZP&B1（銳角），

由J?面BCC/i，PBi（=面BCC/i，則4Bi_LPBi，

所以tanzP/iBi=普，而公%=3,只需P%最大，即為4,

4TBi

故&P與CD所成角的正切值的最大值是京B錯(cuò)；

以4為球心，5為半徑的球面與面BCGa的軌跡是以B為圓心，半徑為球52—32=4的圓,

所以球面與側(cè)面BCG/的交線(xiàn)是:個(gè)圓弧，則交線(xiàn)長(zhǎng)為8TT=2TT,C對(duì)；

如圖I,延長(zhǎng)CP交BBi于E,過(guò)4作A/〃CP交于F,連接&E,CF,

結(jié)合長(zhǎng)方體性質(zhì)知：四邊形&ECF為平行四邊形，且為該長(zhǎng)方體過(guò)4，P,。的截面，

又P為靠近B的三等分點(diǎn)，則BE=^CCi=2,故BiE=2,

22

所以CE=722+42=2后，AXE=V2+3=V13,則&ECF的周長(zhǎng)為4遍+2713,D對(duì).

故選：ACD

12.已知AABP的頂點(diǎn)P在圓C：-3尸+(y-4尸=81上，頂點(diǎn)A,8在圓。：x2+y2=4±.

若|AB|=2百，則()

A.AABP的面積的最大值為158

B.直線(xiàn)PA被圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為仇反

C.過(guò)尸作圓。的切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為2百

D.不存在這樣的點(diǎn)P,使得△力BP為等邊三角形

【答案】AC

【分析】

首先設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為心利用幾何圖形得到不等關(guān)系八<\PD\<\P0\+\0D\<\PC\+

\OC\+\OD\,即可求解點(diǎn)P到力B距離的最大值，即可判斷A；

利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)和切線(xiàn)長(zhǎng)公式，即可判斷BC；

利用A/BP為等邊三角形，轉(zhuǎn)化為判斷是否存在點(diǎn)P,滿(mǎn)足|PD|=3,利用與圓有關(guān)的最值問(wèn)

題，即可判斷D.

【詳解】

設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D,因?yàn)閳A。的半徑為2,\AB\=2V3,

所以|。。|=J22-(V3)2=1,且|0C|=5,

A.設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為九，則八<\PD\<\P0\+\0D\<\PC\+\0C\+\0D\=9+5+1=

15,

所以當(dāng)且僅當(dāng)P,GO,0四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)48距離的最大值為15,所以A/BP的面積的最大

值為［x2gx15=15b，故A正確；

B.點(diǎn)C到直線(xiàn)24的距離小于等于|C/|,當(dāng)PA_LC/時(shí)，等號(hào)成立，又|C/|的最大值為5+2=7,

所以點(diǎn)C到直線(xiàn)P4的距離的最大值為7,這是直線(xiàn)PA被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為2何K=

8vL故B錯(cuò)誤；

C.如圖，過(guò)點(diǎn)P作圓。的切線(xiàn)PM,連結(jié)OP,PM1OM,\PM\=yj\OP\2-\OM\2=J|OP|2一二

|0P|的最小值為9一5=4,

所以出河|的最小值為“^二2=28，故C正確；

D.若AABP為等邊三角形，則需PD_L4B,|PD|=3,

因?yàn)閨OD|=1,所以點(diǎn)。的軌跡是以。為圓心的單位圓，所以iPOlmin=由。1一1，

又|PO|的最小值為4,所以|PD|min=3,當(dāng)且僅當(dāng)P,D,O,C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)成立，

因此有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AABP為等邊三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)與圓，直線(xiàn)與圓，圓與圓，以及軌跡和最值的綜合應(yīng)用問(wèn)題，D選項(xiàng)是本

題的難點(diǎn)，需轉(zhuǎn)化為判斷點(diǎn)P與點(diǎn)。的軌跡的位置關(guān)系問(wèn)題.

三、填空題（共12分）

13.過(guò)平面外一點(diǎn)P的斜線(xiàn)段是過(guò)這點(diǎn)的垂線(xiàn)段的竽倍，則斜線(xiàn)與平面a所成的角是.

【答案】60。#%

【分析】

如圖，根據(jù)線(xiàn)面角的定義可知ZPAB是線(xiàn)段以與平面a所成角，解直角三角形即可.

【詳解】

如圖，

連接A3,由

知ZPAB是線(xiàn)段PA與平面a所成角,

在RtZkPAB中，因?yàn)镻A=￥PB,

所以sinzPAB=詈=今Z.PABG所以NPAB=g,

即線(xiàn)段必與平面a所成角為全

故答案為：泉

22

14.已知橢圓亍+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為&,尸2，點(diǎn)M在橢圓。上，且“MF2=60。，（。

為原點(diǎn))，則|0M|=.

【答案】V3

【分析】

由題意可知，求得a,b和c的值，設(shè)|MFi|=zn,|MF2I=n,根據(jù)橢圓的定義和余弦定理得m=

n,則點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，可求|0M|的值.

【詳解】

由橢圓方程可知，a2=4,b2=3,c2=a2—b2=1,則a=2,b=V3,c=1,

設(shè)|MFi|=7n,\MF2\=n,有m+?i=2a=4,

2

△&MF2中，由余弦定理，有|鼻尸2/=IMF1/+\MF2\-2\MFX\-\MF2\'COSZF1MF2，

即(2c)2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2—3mn,得4=16—3mn,有小九=4,

由+解得：m=n=2,

則點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，有|OM|=b=國(guó).

故答案為：V3

15.已知直線(xiàn)心(a4-2)%—ay—3a—8=0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)/與x軸、y軸的正半軸分別

交于A(yíng),B兩點(diǎn),當(dāng)|0川+|。8|最小時(shí)，a=.

【答案】V

【分析】

由直線(xiàn)系方程求出定點(diǎn)，再由截距式可得'+>=1,根據(jù)均值不等式等號(hào)成立的條件求解即可.

st

【詳解】

由(a+2)x—ay—3a—8=0可得—y—3)+2%—8=0,

由『［、三：。，解得即直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)P(4,I)，

l2%—8=05=4

假設(shè)直線(xiàn)/的截距式方程為(+"l(s>0,t>0),則“}=1,二|0川+|。8|=s+t=

(s+0(;+1)=7+7+5>2^+5=9,

當(dāng)且僅當(dāng)竺=三，即s=6,t=3時(shí)，等號(hào)成立，

st

此時(shí)直線(xiàn)/的方程為x+2y—6=0,

所以

a23

故答案為：-1

16.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖瞄提出了一條原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異'’.意思是：夾在兩個(gè)

平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相

等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.根據(jù)祖唯原理，現(xiàn)在要用3。打印技術(shù)制造一個(gè)零件，其在高

為〃的水平截面的面積為S(/I)=TT(5—/I)2,(0<h<5),則該零件的體積為.

［答案］也

【分析】

該零件在高人為的水平截面的面積為S(/i)=n(5—/i)2,(0W/IW5),總與一個(gè)半徑為5,高為

九=5處的圓錐水平截面面積相等，由祖眶原理即可求解.

【詳解】

該零件在高為h的水平截面的面積為S(/i)=n(5-h)2,(0</i<5)

其體積總與一個(gè)半徑為5,高為八=5處的圓錐水平截面面積相等，

由祖咽原理，該零件的體積即為圓錐的體積:x25nx5=等.

故答案為：等.

四、問(wèn)答題(共12分)

直線(xiàn)k：ax+3y—1=0,直線(xiàn)。的一個(gè)方向向量為(一2,6),直線(xiàn)54%+by-2=0與已知直

線(xiàn)2%—y+5=0垂直.

17.求a,。的值；

18.已知點(diǎn)P(-L-3),求點(diǎn)P到直線(xiàn)。的距離及點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)G對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】17.a=9,b=8

【分析】

(1)確定匕的斜率為七=-3,根據(jù)直線(xiàn)垂直得到斜率，計(jì)算得到答案.

(2)利用公式計(jì)算距離，根據(jù)垂直得到直線(xiàn)方程，計(jì)算交點(diǎn)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算得到答

案.

【17題詳解】

直線(xiàn)，1的一個(gè)方向向量為(—2,6),所以I1的斜率為七=一3,所以—：一3,故a=9.

直線(xiàn)，2：4x+by-2=0與已知直線(xiàn)2x—y+5=0垂直，則4X2+bx(―1)=0,故b=8.

【18題詳解】

點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離d=喘掾=喑，

設(shè)過(guò)點(diǎn)尸與直線(xiàn)。垂直的直線(xiàn)方程為：2%—y+m=0,故—2+3+m=0,解得m=—L

故直線(xiàn)方程為2%-y-1=0,

解得｛；二，故該直線(xiàn)與直線(xiàn)。的交點(diǎn)坐標(biāo)為G，。)，

XQ-1_1

設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,%),故后一"解得仔

以，=oUo=3

k2

故對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2,3).

在△力BC中，sinC=V3(l—cosC).

19.求角C的大?。?/p>

20.若4B=2,且sinC+sin(B-力)=2sin2A,求△ABC的面積.

【答案】19.C==

20.也.

3

【分析】

(1)由三角恒等變換化簡(jiǎn)可得sin(C+9=與，根據(jù)角的范圍即可得解；

(2)化簡(jiǎn)條件根據(jù)cosA分類(lèi)討論，分別根據(jù)正余弦定理求解即可.

【19題詳解】

在4中，sinC=V3(l—cosC).

所以sinC+V3cosC=V3,可得2sin(C+；)=V3,即sin(C+；)=y,

由ovccm故所以c+”g，即C=；.

【20題詳解】

由于sinC+sin(B-4)=2sin24,所以sin(4+B)+sin(B—A)=2sin24

展開(kāi)化簡(jiǎn)得2sinBcosA=4sia4cos4

若cosA=0時(shí),AE(O,TT),則4=；,C=；,得B=g貝！J4C=

所以SAABC=：X2X￥=竽.

若cos4H0時(shí)sinB=2sin4由正弦定理得b=2a,

a2+b2-c25a2-4

又cosC二l，解得a=竽，6=*

2ab4a2

、，、，、，遮

所fX以KIScuec——1ab,si.nC=—1x—2gx—4gx———2V3.

△A*223323

綜上，s4ABe=誓.

五、證明題（共6分）

如圖，四棱錐P-ABCD的底面4BC0是邊長(zhǎng)為2a的菱形，/.ABC=60°,AP=AB,PB=4,

平面PAB_L平面ABCD,E,尸分別為CD,PB的中點(diǎn).

21.證明：CD_L平面P/E；

22.求點(diǎn)A到平面PEP的距離.

【答案】21.證明見(jiàn)解析

22.”

5

【分析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)得出線(xiàn)面垂直，再由線(xiàn)面垂直的判定定理求證;

（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離即可.

【22題詳解】

???AP=AB=2V2,PB=4

AP2+AB2=PB2,???AP1AB.

???平面P/BJ?平面4BC0,且交線(xiàn)為4B,/Pu平面P/B,

.-.APJ_平面力BCD,

???CDu平面/BCD,:.AP1CD.

連接/C,AF,如圖，

p

因?yàn)樗倪呅蜛BCO是邊長(zhǎng)為2a的菱形，Z.ABC=60°,

所以△力CD為等邊三角形.

又因?yàn)椤阾為CD的中點(diǎn)，所以CDJ_AE,

5LAPC\AE=A,/Pu平面P/E,AEu平面PAE,

所以CO_L平面PAE.

[22題詳解】

設(shè)點(diǎn)/到平面PEF的距離為兒則匕_PEF=VE-PAF^

因?yàn)閨|CD,所以又由（1）知/E1AP,

5LAPOAB=A,APu平面PAB,48u平面P/B,所以AEJ?平面P4B,

又PFu平面PAB,7l尸u平面P/B,所以AEJLPE,AE1AF,

又AF=-PB=2,AE=2s[2xsin60°=V6,

2

又由PFJ./E,PFLAF,AEC\AF=A,AFu平面/EF,AEu平面/EF,

所以PF1平面AEF,且PF=2,FE=y]AE2+AF2=V10,

UU[、[AL4

所以1-x-1nPrF-txFr-trE-ixhJ=1-x1-xnPr-FtxAFxAFtE,Q即HJh=A-F-^-A-E-=—2X='\/6---2-7-1-5,

3232FEy/lQ5

所以點(diǎn)/到平面PEF的距離為胃.

六、問(wèn)答題（共18分）

我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通

過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5）,[0.5,1）,…

,[4,4.5]分成9組，制成了如圖的頻率分布直方圖.

ffljf

23.求直方圖中a的值；

24.該市決定設(shè)置議價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)m,用水量低于血的居民按照“民用價(jià)”收費(fèi)，高于m的按照“商業(yè)

價(jià)”收費(fèi)，為保障有90%居民能享受“民用價(jià)”，請(qǐng)?jiān)O(shè)置該標(biāo)準(zhǔn)加.

25.以每組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值作為該組數(shù)據(jù)代表，分別是.規(guī)定“最佳穩(wěn)定值々是這樣一個(gè)量:

x與各組代表值的差的平方和最小.依此規(guī)定，請(qǐng)求出》.

【答案】23.0.30

24.m=—

6

25.2.25

【分析】

(1)根據(jù)所有矩形面積和等于1,列方程可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法求解即可；

(3)設(shè)x與各數(shù)據(jù)的差的平方和為y,由題意可得y=ri/-2(/+不+…+%n)%+

(好+好+…+城)，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

[23題詳解】

由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08x0.5=0.04,

同理，在[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的頻率分別為

0.08,0.5a,0.20,0.26,0.5a,0.06,0.04,0.02.

由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1?

解得a=0.30.

【24題詳解】

由(1)知，前六組的總頻率為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88,

前七組的總頻率為0.88+0.06=0.94,

所以mG(3,3.5],

所以根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法有：0.88+(m-3)x0.12=0.9,

解得m

6

【25題詳解】

設(shè)x與各數(shù)據(jù)的差的平方和為>,

222

則y=(%—x)+(x—x2)+…+(%—xn)

2

=nx-2(%i+x2+…+xn)x+(xf+%2+…+W)，

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)％=+%2+…+%n)時(shí)，y取得最小值，

故％=2(%1+%2+…+%9)=(0.25+0.75H-+4,25)=2.25.

已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(5,1)和點(diǎn)且圓心落在直線(xiàn)%+y=10上，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn).

26.求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

27.若直線(xiàn)27nx+ny=6(m>0,n>0)被圓C截得的弦長(zhǎng)為8,求'+；的最小值；

28.若C(4,0),0(0,2),當(dāng)NPOC最大或最小時(shí)，求|PD|的長(zhǎng).

【答案】26.(x-5)2+(y-5)2=16

2745+20企

■6

28.3V2

【分析】

(1)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意，得出圓心和半徑，進(jìn)而得解；

(2)由弦長(zhǎng)為8,得圓心在直線(xiàn)上，代入得10機(jī)+5九=6(m>0,九>0),再結(jié)合基本不等式的

乘1法即可求；

(3)由NPOC最大或最小，判斷出此時(shí)直線(xiàn)與圓相切，即求切線(xiàn)長(zhǎng).

【26題詳解】

因?yàn)閳A心落在直線(xiàn)%+y=10上，所以設(shè)圓心為(a,10-a),半徑為r,

又圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(5,1)和點(diǎn)

則(5—a)2+(1—10+a)2=(1—a)2+(5—104-a)2,半徑r=^/(l—a)2+(—5+a)2,

解得a=5,r=4,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(％—5/+(y—5?=16

【27題詳解】

弦長(zhǎng)為8=2r,即直線(xiàn)27nx+ny=6(m>0,n>0)過(guò)圓心，

則10m+5n=6(m>O,n>0),

41_141120n10m

一十一=(+-)(10m+5n)=-(45H--------F

mn6mzi67n

2145+2杵.唔=|(45+20V2),

當(dāng)且僅當(dāng)答=詈