2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸解答題常考套路歸類(原卷版)

專題17函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸解答題?？继茁窔w類

【命題規(guī)律】

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，同時也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其試題的難度呈逐年上升趨勢，

通過對近十年的高考數(shù)學(xué)試題，分析并歸納出五大考點(diǎn)：

(1)含參函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；

(2)函數(shù)的零點(diǎn)問題；

(3)不等式恒成立與存在性問題；

(4)函數(shù)不等式的證明.

(5)導(dǎo)數(shù)中含三角函數(shù)形式的問題

其中，對于函數(shù)不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問題、含三角函數(shù)形式的問題探究和不等式的放縮

應(yīng)用這四類問題是目前高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱點(diǎn).

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論

核心考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題

核心考點(diǎn)三：雙變量問題

核心考點(diǎn)四：證明不等式

核心考點(diǎn)五：極最值問題

核心考點(diǎn)六：零點(diǎn)問題

核心考點(diǎn)七：不等式恒成立問題

核心考點(diǎn)八：極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題

核心考點(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題

核心考點(diǎn)十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題

核心考點(diǎn)十一：洛必達(dá)法則

核心考點(diǎn)十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題

【真題回歸】

1.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a,OeR,函數(shù)/(x)=e*-asinx,g(x)=64

⑴求函數(shù)y=在(()"(0))處的切線方程；

⑵若y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn)，

(i)當(dāng)1=0時,求1的取值范圍;

(ii)求證：a2+b2>e.

2.(2022.北京.統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e，ln(l+x).

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(o,/(o))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對任意的s/e(0,+oo),有/(s+f)>/(s)+〃f).

3.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=±+lnx(x>0).

2x

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知。/eR,曲線y=/(x)上不同的三點(diǎn)(%,/(%)),(%J(xj),(0/(x3))處的切線都經(jīng)過點(diǎn)(a/).證

明：

(i)若a>e,則

..j,2e-a112e-a

(n)右0vave,%v無v4，則一+，〉<一+—<--------.

e6e~X)x3a6e

(注：e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))

4.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)"x)=xe“-e”.

⑴當(dāng)4=1時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時，/(x)<-l,求a的取值范圍；

1I+/J>ln(〃+l).

⑶設(shè)〃村，證明：藥+R+

7〃+n

5.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=ar-'-(a+l)lnx.

X

⑴當(dāng)〃二0時，求/(1)的最大值;

(2)若/(x)恰有一個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

6.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)—lnx+x—

X

⑴若」(取0,求4的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個零點(diǎn)吃,為，貝1］項芍＜1.

7.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e，-or和g(x)="-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=，(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【方法技巧與總結(jié)】

1、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值

點(diǎn)為七),即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)xo.

(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對稱函數(shù)尸(%)=/(%)-/(2%0一%),若證再%＞看，則令

X

(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)/(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出/(x)與/(2%-%)的大小關(guān)系.

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/(x)的單調(diào)性，將/(x)與/(2%0-%)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為工與2%一\之間的

關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.

【注意】若要證明:空殳的符號問題，還需進(jìn)一步討論”殳與X0的大小，得出五歲所在的

單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù).

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿

于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)

在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單

調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個

適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能

獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效

2、應(yīng)用對數(shù)平均不等式后〈工愛證明極值點(diǎn)偏移：

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到?,

inX）—mX-,

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

3、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明

題中的不等式即可.

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論

【規(guī)律方法】

1、導(dǎo)函數(shù)為含參一次型的函數(shù)單調(diào)性

導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)時，首先討論一次項系數(shù)為0,導(dǎo)函數(shù)的符號易于判斷，當(dāng)一次項系數(shù)不

為雪，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間.

2、導(dǎo)函數(shù)為含參二次型函數(shù)的單調(diào)性

當(dāng)主導(dǎo)函數(shù)（決定導(dǎo)函數(shù)符號的函數(shù)）為二次函數(shù)時，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為探究該二次

函數(shù)在給定區(qū)間上根的判定問題.對于此二次函數(shù)根的判定有兩種情況：

（1）若該二次函數(shù)不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；

（2）若該二次函數(shù)容易因式分解，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定

導(dǎo)函數(shù)的符號，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性.

3、導(dǎo)函數(shù)為含參二階求導(dǎo)型的函數(shù)單調(diào)性

當(dāng)無法直接通過解不等式得到一階導(dǎo)函數(shù)的符號時，可對“主導(dǎo)”函數(shù)再次求導(dǎo)，使解題思路清晰.“再

構(gòu)造、再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的強(qiáng)大武器.

在此我們首先要清楚,"（X）、/'（X）、/（x）之間的聯(lián)系是如何判斷原函數(shù)單調(diào)性的.

(1)二次求導(dǎo)目的：通過了"(X)的符號，來判斷尸(X)的單調(diào)性；

(2)通過賦特殊值找到r(x)的零點(diǎn)，來判斷廣(X)正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得出/(x)單調(diào)性.

【典型例題】

例1.(2023春?山東濟(jì)南?高三統(tǒng)考期中)己知三次函數(shù)/(x)=g??+；(2"-l)x2-2x-J.

⑴當(dāng)。=3時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程，

⑵討論y=/(x)的單調(diào)性.

例2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(耳=[/+(。-2卜+2-。卜1,aeR,討論函數(shù)/(x)單調(diào)性;

例3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2alnx+；x2-(2a+l)x,aeR,求/Q)的單調(diào)區(qū)間.

例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=21nx-ar2-2(“-i)x+i(aeR).求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

核心考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題

【規(guī)律方法】

在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過

程中要樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么“，并適時地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法.可以達(dá)到減

少運(yùn)算量的目的.

【典型例題】

例5.(2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=x-'-alnx.

X

(1)若不等式/(xRO在(1，口)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

n1)(〃+2乂”1)

⑵證明：E；

i=2尸Ini2幾(幾+1)

例6.(2023春?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e，(x-2a)+or+2MeR.

(1)當(dāng)。=1時，求曲線/(X)在點(diǎn)(11(1))處的切線方程；

(2)若不等式f(x)20對Vx?()恒成立，求實數(shù)。的范圍；

(3)證明：當(dāng)"eN*,l+,+1++-<ln(2/?+l).

23n

例7.(2023春?福建寧德?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e"-x(a>1).

(1)XG(0,1),求證：sinx<x<ln—；

1—x

(2)證明：sin《+sin2++sin-</(?).(In2y0.693,In3?1.099)

23n

核心考點(diǎn)三：雙變量問題

【規(guī)律方法】

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由己知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【典型例題】

例8.(2023春?江蘇蘇州?高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-w+l(a￡R).

(1)若過原點(diǎn)的一條直線/與曲線y=/(x)相切，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

⑵若/'(x)有兩個零點(diǎn)玉，x2,且2>2可，證明：

右8

①W；

②片+4>|^.

2

例9.(2023春?湖南長沙?高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e，-等,meR.

⑴討論f(x)極值點(diǎn)的個數(shù)；

(2)若/(X)有兩個極值點(diǎn)玉,吃，且X1<*2，證明：/(占)+/(蒼)v2e-m.

例10.(2023?全國高三專題練習(xí))巳知函數(shù)/(x)=ln(x+3)-x.

(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

⑵若關(guān)于x的方程ae'+In」」=3,(〃>0)有兩個不等實數(shù)根a%證明：爐+科>工?

x+3a

核心考點(diǎn)四：證明不等式

【規(guī)律方法】

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式［(x)>g(x)(或〃x)vg(x))轉(zhuǎn)化為證明“X)-g(x)>。(或

/(x)-g(x)<o),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)為(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

【典型例題】

例11.(2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=21nx-渥+&r(a/cR).

⑴當(dāng)b=0時，討論八%)的單調(diào)性；

v,2

(2)設(shè)內(nèi)為/(X)的兩個不同零點(diǎn)，證明：當(dāng)xw(0,+oo)時,f(xK4-x2)<4sin(x,+x2)+2e^.

例12,(2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知/(")="(而"+1).

⑴求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

4

(2)若/(玉)+/(工2)=—，且王〈W，證明加(辦+々)>1。2-1.

例13.(2023?江蘇?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=*F在(ij⑴)處的切線方程為y=i.

(1)求實數(shù)m和n的值；

(2)已知A(a"(a)),B僅,/(/?))是函數(shù)/(X)的圖象上兩點(diǎn)，且,求證：ln(a+Z?)vln(")+l.

核心考點(diǎn)五：極最值問題

【規(guī)律方法】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題.解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最

值.只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，

確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新

函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作.

【典型例題】

例14.(2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=；x3—以+q,acR.

⑴當(dāng)。=-10寸，求/CO在［-2,2］上的最值；

⑵討論/(x)的極值點(diǎn)的個數(shù).

例15.(2023?江西景德鎮(zhèn)?高三統(tǒng)考階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=(x-2)e'+e,g(x)=a(；x2-x),其中“為大

于0的常數(shù)，若F(x)=/(x)-g(x).

⑴討論尸(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若戶(x)在x=f(rxl)取得極小值，求g(r)的最小值.

例16.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知”>0,函數(shù)F(x)=3(x)-g(州的最小值為2,其中了。)=尸,

g(x)=ln(ox).

(1)求實數(shù)。的值；

(2)Vxe(0,+oo),f(x+l-ni)>kx+k-l>g(,ex),求〃洗-A?的最大值.

核心考點(diǎn)六：零點(diǎn)問題

【規(guī)律方法】

函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參

數(shù)的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與X軸(或直線丫=左)在某區(qū)間上的

交點(diǎn)問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).

【典型例題】

例17.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'+Tx2(，*eR).

⑴若存在X>0,使得f(x)<0成立，求z的取值范圍；

(2)若函數(shù)尸(x)=m'+e2-/(x)有三個不同的零點(diǎn)，求2的取值范圍.

例18.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)a>0,已知函數(shù)〃*)="、_*_2,和g(x)=x—ln[a(x+2)]+2.

⑴若/(x)與g(x)有相同的最小值，求。的值；

⑵設(shè)戶(x)=/(x)+g(x)+21na-2有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Y

例19.(2023春廣西?高三期末)已知函數(shù)/(X)=F，g(x)=lru-or.

⑴當(dāng)。=1時，求函數(shù)/(X)的最大值；

(2)若關(guān)于x的方/(x)+g(x)=l有兩個不同的實根，求實數(shù)。的取值范圍.

核心考點(diǎn)七：不等式恒成立問題

【規(guī)律方法】

1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后

構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法

和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：

(1)V%€￡)>(x)mjn；

(2)X/xwD,=帆N/(x)a；

(3)3xeD,

(4)BxeD,(x)<=>m>/(x)m.n.

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/O),xe[a,b],y=g(x),xc[c,4].

⑴若VAje[c,d],有〃用)vg&)成立，則vg(x).而；

(2)若％7"向，叫W&d],有“xjvg(芍)成立，則/(x)2Vg(x)2；

⑶若玉1a4,可，3%2e[c,d],有/(冬)<8(受)成立，則/(x).vg(x)a；

(4)若vxiM句，3x2e[c,d],有〃4)=8(芍)成立，則/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

【典型例題】

例20.(2023?廣西南寧?南寧二中?？家荒?已知函數(shù)/(x)=lnx+l.

⑴若函數(shù)g(x)=〃礦(x)+x-l的圖象在X=1處的切線與直線y=2x平行，求函數(shù)g(x)在x=l處的切線方程;

(2)求證：當(dāng)時，不等式5(x)+1v在[l,e]上恒成立.

2

例21.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-l)e，-ax(aeR且。為常數(shù)).

(1)當(dāng)4=0,求函數(shù)/(X)的最小值：

(2)若函數(shù)/(X)有2個極值點(diǎn)，求，，的取值范圍；

⑶若AX)>lnx-e'+1對任意的xw(0,+8)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

例22,(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'+(l-a)x-lna.lnx(a>0).

⑴若〃=e,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/(6<1在區(qū)間。,內(nèi))上有解，求實數(shù)。的取值范圍.

核心考點(diǎn)八：極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題

【規(guī)律方法】

1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念

所謂極值點(diǎn)偏移，是指時于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性.若函數(shù)“X)在％=/處取得極值，且函數(shù)y=f(x)與直線y=b交于4為向,3(々向兩點(diǎn)，則AB

的中點(diǎn)為例(七衛(wèi)，勿，而往往與中五產(chǎn).如下圖所示.

圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移

極值點(diǎn)偏移的定義：對于函數(shù)V=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點(diǎn)方,方程/(x)的解分別為

樸々，且。VX|<9vb,(1)若?J1,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(西,*2)上極值點(diǎn)1o偏移；(2)

若土產(chǎn)>x°,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(x,,x2)上極值點(diǎn)/左偏，簡稱極值點(diǎn)/左偏；(3)若笑&<而,

則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(西,電)上極值點(diǎn)了。右偏，簡稱極值點(diǎn)/右偏.

【典型例題】

例23.(2022?浙江期中)已知函數(shù)/(x)=x-/nx-a有兩個不同的零點(diǎn)x,,x2.

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：玉+毛>a+l.

例24.(2021春?汕頭校級月考)已知，函數(shù)/(x)=/nx-ax,其中ae/?.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點(diǎn)，

⑴求a的取值范圍；

2

(。)設(shè)/(x)的兩個零點(diǎn)分別為百，x2>證明：x,x2>e■

例25.(2022?浙江開學(xué))已知aeR,(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(I)求函數(shù)y=〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若4>0,函數(shù)y=/(x)-a有兩個零點(diǎn)x,與，求證：x：+x；>2e.

核心考點(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題

【規(guī)律方法】

分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離

【典型例題】

例26.已知函I數(shù).，(x)=x-lnx-2.

(1)求函數(shù)在處的切線方程

(2)證明：/(X)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

(3)若對于任意的xv(l,xo),都有xlnx+x>A(x-1),求整數(shù)上的最大值.

例27.已知函數(shù)/(x)=：x2+lnx-(2+；)x,(。W0).

(1)當(dāng)時，求函數(shù)/(X)在點(diǎn)(U⑴)處的切線方程；

4

(2)令戶(x)=4(x)-V若尸⑶<]_2如在xw(l,“)恒成立，求整數(shù)〃的最大值.(參考數(shù)據(jù)：皿3<葭

ln4<-).

4

例28.已知函數(shù)/(x)=x-lnx-2.

(1)證明：/(x)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

(2)若對于任意的xc(l,+8),都有xlnx+xM(x-l),求整數(shù)上的最大值.

核心考點(diǎn)十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題

【規(guī)律方法】

1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式

2、同構(gòu)式的應(yīng)用：

(I)在方程中的應(yīng)用：如果方程/(4)=0和/(。)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程/(%)=0

的兩個根

(2)在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進(jìn)而

和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系.可比較大小或解不等式.〈同構(gòu)小套路》

①指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用"母函數(shù)”：/(x)=x-e*,f(x)=ex+x-,尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵;

③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、x、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)(親戚函數(shù))比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍.

(3)在解析幾何中的應(yīng)用：如果4(%1,%),3(%2，y2)滿足的方程為同構(gòu)式，則A,B為方程所表示曲線

上的兩點(diǎn).特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線AB的方程

(4)在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于(4,〃)與的同構(gòu)

式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解

【典型例題】

例29.(2022?河北?高三階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

211

(2)設(shè)小。為兩個不相等的正數(shù)，且〃二/，證明：-<-+7<l.

zab

例30.(2022.河南鄭州?二模(文))己知函數(shù)"x)=ee-：+l,g(x)=?+2.

(1)求函數(shù)的極值；

(2)當(dāng)x>0時，證明：/(x)>g(x)

例31.(2022?河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)/(x)=e*-or(aeR).

(I)討論/(X)的單調(diào)性.

(2)若4=0,證明：對任意的x>l,都有/(x)Nx4-3Vlnx+x3.

核心考點(diǎn)十一：洛必達(dá)法則

【規(guī)律方法】

法則1、若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim〃x)=O及l(fā)img(x)=O；

(2)在點(diǎn)”的去心鄰域5a,“+￡)內(nèi),/(x)與g(x)可導(dǎo)且g，(x)關(guān)0;

(3)hm—法=1,那么hm'(Tim—汰=1?

ig(x)…g'(x)

法則2、若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：(1)lim/(x)=O及l(fā)img(x)=O；

X-rOOA*-?OO

(2)3A>0,/(x)和g(x)在(—8,A)與(A+co)上可導(dǎo)，且g，(x)#O；

(3)lirn-----I,

…g'(x)

那么1加44=1而44=/.

法則3、若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=oo及l(fā)img(x)=8；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域(.一￡,a)<j(a,a+￡)內(nèi)，/(戈)與g(x)可導(dǎo)且短。)W0;

(3)=

-1g'(x)

那么lim型=1油坐=/.

注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：

(1)將上面公式中的Xfa,XfgXfYO,x->a+，x.q-洛必達(dá)法則也成立.

(2)洛必達(dá)法則可處理2,9，0.00-r-g°，n°，8-8型.

00018U

(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足9,--0.00.1%on0.n°，8-8型定式，否則

00018U

濫用洛必達(dá)法則會出錯.當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)

從另外途徑求極限.

(4)若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

Iimg"=lim4?=lim1,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

…g(x)…g'(x)-?g"(x)

【典型例題】

例32.已知函數(shù)/(x)=alnx+6x(“,6eR)在x='處取得極值，且曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,7(D)處的切

2

線與直線x—_y+l=O垂直.

(1)求實數(shù)見。的值；

777

(2)若Vxe[l,+8),不等式/*)4(機(jī)—2)x——恒成立，求實數(shù)用的取值范圍.

x

例33.設(shè)函數(shù)/(%)=1-f二

X

(1)證明：當(dāng)x>-l時，/(x)>--；

X+1

X

(2)設(shè)當(dāng)尤之。時，/(%)<——求。的取值范圍.

ar+1

例34.設(shè)函數(shù)小)=/.如果對任何Q。，都有個)<3求，的取值范圍.

=2sin2x-2xsinx=2sinx(sinx-x)

核心考點(diǎn)十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題

【規(guī)律方法】

分段分析法

【典型例題】

y-1jr

例35.(2023?河南鄭州?高三階段練習(xí))已知函數(shù)，(x)=sinx+丁，》十七

⑴求證：/(x)在-似,上單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)xe[-7t,O]時，[/(x)-sinx]e*-cosx,Asinx恒成立，求女的取值范圍.

例36.(2023春?江蘇蘇州?高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinx-(x+a)cosx(a為常數(shù))，函

(1)證明：(i)當(dāng)x>0時，x>sinx；

(ii)當(dāng)x<0時,x<sinx；

(2)證明：當(dāng)aNO時，曲線y=/(x)與曲線y=g(x)有且只有一個公共點(diǎn).

例37.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e，sinx-"jsin(x-*xe[O,jt].

⑴若判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(2)證明：e'(7r-x)+1Nsinx-cosx.

【新題速遞】

InV

1.(2023?北京?高三專題練習(xí))已知％=1是函數(shù)/(x)=W-hu+ln(奴+2)的一個極值點(diǎn).

⑴求。值；

⑵判斷/(x)的單調(diào)性;

(3)是否存在實數(shù)，"，使得關(guān)于x的不等式的解集為(0,+8)？直接寫出〃z的取值范圍.

2.(2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知/(x)=gx2-4x+alnx.

(1)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個極值點(diǎn)不芍,證明：/(孑)+/(8)>-10+1必.

3.(2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e'(2x2+ar—1),其中aeR,若/(x)的圖象在

點(diǎn)(。，/(。))處的切線方程為2x+6y+l=0.

⑴求函數(shù)/'(x)的解析式；

⑵求函數(shù)/(x)在區(qū)間［