2023-2024學(xué)年上海市高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年上海市高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.設(shè)全集U={-1,0,1,2,3},若集合A={-1,0,2},則久=

【正確答案】{1,3}

直接利用補(bǔ)集定義進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)槿疷為-1集,1,2,3},若集合A={-1,0,2},

所以,={1，3}.

故答案為.{1,3}

2.已知扇形的弧長(zhǎng)是6,圓心角是2弧度，則該扇形的半徑是.

【正確答案】3

【分析】結(jié)合扇形弧長(zhǎng)公式可直接求解.

【詳解】由/=a"nr='=g=3.

a2

故3

9

3.函數(shù)y=1+—(工>0)的最小值是.

x

【正確答案】6

【分析】利用基本不等式即可求得答案.

【詳解】由題意可知x>0,故y==

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào)，

即函數(shù)y=x+=(x>0)的最小值是6,

x

故6.

4.化簡(jiǎn)cos20。8s(夕―20。)+$也200。411(口-20。)，得其結(jié)果為.

【正確答案】cosa

【分析】利用誘導(dǎo)公式和余弦的兩角和公式化簡(jiǎn)即可.

【詳解】cos20°cos(&-20°)+sin200°sin(a—20°)

=cos20。cos(a-20°)+sin(180°+20°)sin(?-20°)

=cos20°cos(a-20°)-sin20°sin(a-20°)

=cos[20°+(a-20°)]

=cosa

故cosa

5.終邊在x軸上角的集合為

【正確答案】{a|a=A肛左eZ}

【分析】根據(jù)終邊在x軸上角的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)角a終邊在x軸正半軸上時(shí)，a=2^eZ),

當(dāng)角。終邊在x軸負(fù)半軸上時(shí)，oc=2k/r+/r=(2k+\)7r{kGZ),

因此終邊在x軸上角的集合為：{a|a=b?￡Z},

故=攵GZ}

6.已知sin(兀+a)=q,a￡(一],0),貝ijtana=_.

3

【正確答案】-亍##-0.75

4

【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

【詳解】sin(7T4-cr)=-sina=|,cr,所以sina=-1,cosa=',

sina3

所以tana=-------=一一.

cosa4

3

故答案為.

4

7.若函數(shù)y(x)=j8—以一2丁是偶函數(shù),則該函數(shù)的定義域是.

【正確答案】[-2,2]

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=，8-奴-2*2是偶函數(shù),則〃=0,函數(shù)〃切=仆-2丁的定義域

8-2X2>0解得-24x42,故函數(shù)的定義域?yàn)閇—2,2].

為[-2,2].

8.己知4=卜母=愴1一%-2)},8=.川廣(￡),那么4B=

【正確答案】(2,+?))

【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B,再利用交集運(yùn)算求解.

【詳解】解：因?yàn)?=卜|丫=愴，7-2)}=(-8,-1)(2,+8),B=,y|y=(g)-=(0,+oo),

所以A8=(2,y).

故答案為.(2,+8)

A

9.在AA3c中，若sinBsinC=cos2—，則A/WC是__________三角形.

2

【正確答案】等腰

【詳解】由題意得sinBsinC=1+,gpsinBsinC=l-cosCcosB,得cos(C-8)=l,

為三角形的內(nèi)角，.?.8=C,即AABC是等腰三角形，故答案為等腰.

10.已知苫20,丫20,且*+丫=1,則\2+),2的取值范圍是.

【正確答案】七,1]

【詳解】試題分析：x2+r=x2+(1-x)2=2x2-2x+l,xe[0,1],所以當(dāng)x=0或1時(shí)，取最大

值1；當(dāng)x時(shí)，取最小值[因此F+產(chǎn)的取值范圍為[；/].

【名師點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，除了像本題的方法，即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求取值

范圍，也可以轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系求取值范圍，即x20,yN0,x+y=l表示線段，那么f+產(chǎn)的

幾何意義就是線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，這樣會(huì)更加簡(jiǎn)單.

11.若函數(shù)/(力=*.、(*>0),在x<9,??)上為嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是_.

【正確答案】(1g

【分析】根據(jù)增函數(shù)的定義及所給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)〃的不等式組，解之即可求得實(shí)數(shù)〃的

取值范圍.

【詳解】函數(shù)，在上為嚴(yán)格增函數(shù)，

可得'解得1<〃4一故實(shí)數(shù)。的取值范圍為1,工，

[3a-3<\3I3_

故心

12.設(shè)命題P：函數(shù)/（力=恒（/-?、4的值域?yàn)樾拿}9：不等式3,-9,<a對(duì)一切正

實(shí)數(shù)x均成立，若命題。和4不全為真命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【正確答案】（-oo,0）l（2,xo）

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域可知（0,+8）是丫=〃2-》+白。的值域的子集，根據(jù)二次

函數(shù)圖象分析可得不等關(guān)系，求得命題P為真時(shí)，（）WaW2；利用換元法將3工-9'<a轉(zhuǎn)化

為。>/-廠（/>1）,求解「-產(chǎn)的最值可求得命題q為真時(shí)，?>（）；求出當(dāng)PM全為真時(shí)。的

范圍，取補(bǔ)集得到結(jié)果.

【詳解】若命題P為真，即/（"=他（加7+\“值域?yàn)??

當(dāng)。=0時(shí)，-x>0,解得：x<0,滿足題意

>0

當(dāng)。wO時(shí)，,1.解得：0<a<2

I4

綜上所述：若命題〃為真，則0KaW2

若命題9為真，即不等式3'，-9、<a對(duì)x?0,一）恒成立

令f=則-產(chǎn)

Q?>1:.t-t2<1-1=0:.a>0

即若命題。為真，則

,當(dāng)命題全為真命題時(shí)，0Va42

命題p，q不全為真命題二。的取值范圍為：（7°,。）（2,+<?）

故答案為（《,0）（2,+8）

本題考查根據(jù)命題的真假性求解參數(shù)范圍，涉及到根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求解參數(shù)范

圍、不等式恒成立問(wèn)題的求解等知識(shí).

二、單選題

13.“x>l”是的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到x>l時(shí)，2、>2>1，解2*>1得到x>0,從而判斷出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閥=2,在R上單調(diào)遞增，故當(dāng)x>l時(shí)，2'>2>1，充分性成立，

2V>1，解得：x>0,其中x>O&v>l,故必要性不成立,

所以“x>1”是“2,>1”的充分而不必要條件.

故選：A

14.已知點(diǎn)P(tanaf,cosa)在第三象限，則角a的終邊位置在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】B

【分析】由P所在的象限有tana<0,cosa<0,即可判斷a所在的象限.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P(tana,cosa)在第三象限，

所以tanav0,cosa<0,

由tana<0,可得角a的終邊在第二、四象限，

由cosc<0,可得角a的終邊在第二、三象限或x軸非正半軸上，

所以角a終邊位置在第二象限，

故選：B.

15.設(shè)。則sin6+cos6的一個(gè)可能值是()

A.B.1C.—D.-

273

【正確答案】A

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)sin。+cos”,結(jié)合三角函數(shù)值域的求法確定正確答案.

【詳解】因?yàn)橄?1g),所以sine+cose=&sin,+2),

JIJi3冗、

由于。+力

所以孝,

sin(6?+：)w1,0sin(e+：Jw(l,&],

所以A選項(xiàng)符合，BCD選項(xiàng)不符合.

故選：A.

16.已知Ax)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，/(-1)=3,且當(dāng)xNO時(shí)，〃x)=2，+x+c(c是常數(shù)),

則不等式/(*-1)<6的解集是

A.(-3,1)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-1,3)

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)/(T)=3以及奇偶性計(jì)算c的值，然后根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式.

【詳解】因?yàn)椤▁)是偶函數(shù)，所以/(一1)=〃1)=3,所以/⑴=3+c=3,所以c=()；又

因?yàn)楣?0,+?))時(shí)/(同=2，+》是增函數(shù)且/(2)=22+2=6,所以X?F,O)時(shí)是減函

數(shù)且/(—2)=〃2)=6；所以—2<x—l<2,解得：xe(-l,3),

故選D.

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，難度一般.對(duì)于利用奇偶性、單調(diào)性解不等

式的問(wèn)題，除了可以直接分析外，還可以利用函數(shù)圖象分析.

三、解答題

17.設(shè)集合A={xh-a|<2},B=

(1)求集合A、B

(2)若Au8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

【正確答案】(1)A=(a-2,a+2),8=(—2,3)；(2)[0,1]

【分析】(1)直接解不等式得到集合AB.

fa+2<3

(2)根據(jù)AqB得到不等式.計(jì)算得到答案.

[a-2>-2

【詳解](1)4={小-。|<2}=?-2<xv〃+2},

八卜|"1卜，=卜層<。}3{42<、<3}

a+2<3

(2)AB,則滿足c、.解得04a41

￡[a-2>-2

本題考查了求集合，根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

18.已知基函數(shù)/(x)=(nr-2m+2)/..

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)的定義域、值域；

(3)判斷，(x)的奇偶性.

【正確答案】(1)/。)=/

⑵定義域?yàn)?-s,0)U(0,一),值域?yàn)?0,+8)

(3)偶函數(shù)

【分析】(1)根據(jù)基函數(shù)的定義運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)幕函數(shù)解析式求定義域和值域；

(3)根據(jù)偶函數(shù)的定義分析證明.

【詳解】(1)函數(shù)/'*)=(加1-2,〃+2)x為幕函數(shù)，則M-2AM+2=1,解得加=1,

則l-3m=l-3=-2,所以函數(shù)〃x)=x-2；

2

(2)f(x)=x-=^,令爐#0,解得XHO

XT

故函數(shù)/(X)=x-2的定義域?yàn)锳=(-QO,0)I(0,+oo),

Vx2>0,則，(幻=4>0,

故函數(shù)/(x)=X-2的值域?yàn)?0,+8);

(3)任取xeA,〃—x)=(-x)-2=x-2=/(x),所以函數(shù)，(x)是定義域上的偶函數(shù).

19.已知打)，且sinq+cost=冬8.

(1)求cosa的值；

3TC

(2)若sin(a+夕)=-<46(0,萬(wàn))，求sin夕的值.

【正確答案】(1)-逑；(2)逑土土

315

【詳解】試題分析：⑴將sin4+cos4=2叵兩邊平方可求得sina=!，根據(jù)ae(g㈤判

22332

斷出cosa的符號(hào)，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得cosa的值；(2)由ae(5,;r),

■7T34

ySG(O,-),sin(a+〃)=—不可得得cos(a+/7)=-g,利用兩角和的正弦公式可得

sinp=sin[(a+p)-a\的值.

試題解析：(I),**sin—+cos—=,

223

aa41

??l+2sin—cos—=—,sina=—.

2233

因?yàn)?/p>

所以cosa=-Jl-sin?a--

(2)?ex.e(—,/?￡(0,彳)，—

2222

3,4

又sin(cr4-(})=--,得cos(a+4)=,

sin/?=sin[(a+/?)-?]=sin(a+f3)cosa-cos(a+(3)sina

60+4

15

1、正弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系；2、兩角和的正弦公式.

20.已知函數(shù)/(》)=。-21+27(〃為常數(shù)，xeR)為偶函數(shù).

(1)求〃的值；并用定義證明.f(x)在［0,+A)上是嚴(yán)格增函數(shù)；

(2)解不等式：/(21og?x-l)>/(log?x+l).

【正確答案】(l)a=2,證明見(jiàn)解析

(2)(0,1)54,+8)

【分析】(1)根據(jù)/(X)為偶函數(shù)，由/⑴=/(-1),求得4=2,再利用單調(diào)性的定義證明其

單調(diào)性；

(2)根據(jù)/(X)為偶函數(shù)，得到/(1210g2x-l|)>/(|log2x+l|),再根據(jù)f(x)=2*+2T在［0,+oo)

上嚴(yán)格增，得到所I21og2x-l|>|log,x+l|求解.

【詳解】(1)解：因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，所以"1)=/(T),^a+-=-a+2,解得a=2,

24

故〃x)=2'+2T,則〃-》)=2-*+2*=/(》)且定義域?yàn)榭?，滿足題設(shè);

任取士,七e[0,+oo),且王<當(dāng)，

則/U,)-/(兌)=2"+2』-2*-2f=⑵-2-)(1-—),

212

因?yàn)檎?lt;七，所以2*-2*2<0,

因?yàn)橛?e[0,??),所以所以/(X1)-/(x,)<0,

所以/U,)</(%,),所以/(X)=2,+2T在?！?上是嚴(yán)格增函數(shù).

(2)因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，。=2,

所以不等式/(21og?x-l)>/(k>g0x+1),即為/(|210g2x-11)>/(|log2x+i|),

因?yàn)?(x)=2*+2-c在10,+8)上嚴(yán)格增，

所以1210g2》-1|>|唯2X+1|,

兩邊平方，得log；x-21og2X>0,

解得log,x<0或log2x>2,

所以0<x<1或x>4,

故解集為(0,1)=(4,+8).

21.若函數(shù)f(x)滿足:對(duì)于任意正數(shù)s/,都有/(s)>0J(f)>0,且〃s)+/(f)</(s+/),

則稱函數(shù)/(x)為乜函數(shù)

(1)試判斷函數(shù)工(x)=f與=)是否是乜函數(shù)”;

(2)若函數(shù)g(x)=3*-1+。(3-、-1)為乜函數(shù)”，求實(shí)數(shù)0的取值范圍;

(3)若函數(shù)〃x)為乜函數(shù)“，且"1)=1,求證：對(duì)任意x?2i,2")(/eN*),都有

x2

小)一個(gè)>----

2x

【正確答案】(1)工")=/是乜函數(shù)”.力。)=五不是“Z,函數(shù)(2)H，l](3)見(jiàn)解析

【詳解】試題分析：利用“L函數(shù)”的定義判斷函數(shù)<(x)=Y符合要求，而力0)=五不符合

要求(只需舉一個(gè)反例說(shuō)明)；函數(shù)g(x)=3、-1+4(3一*-1)為“L函數(shù)”，則g(x)滿足“Z,函數(shù)”

的定義，當(dāng)，>0,s>0時(shí)，g(s)>O,g(f)>O,g(s)+g(f)vg(s+f)成立;根據(jù)要求可以求出。的

范圍；令s=f得/(2s)>2/(s),即乎?>2,故對(duì)于正整數(shù)％與正數(shù)s,都有

/(s)

需=需[?夕鬻,?甯>文x?2i，2,)(丘N*),則卜(2力2力，利用

"1)=1,借助〃x)>/(x-2i)+/(2"T)及借助不等關(guān)系證

明.

試題解析：(1)對(duì)于函數(shù)/(x)=x2,當(dāng)f>0,S>0時(shí)，/⑺=/>0J(s)=s2>0,又

工⑺+工⑹-工(￡+5)="+$2_?+6)2=一如<0,所以工(s)+/；(f