2023-2024學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二上冊(cè)期末檢測(cè)數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.若直線的傾斜角為60。，則直線的斜率為()

A.√3B.-√3C.2D.-3

33

【正確答案】A

【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為60。，所以直線的斜率A=tan60=√L故選A.

2.若直線2x+y-l=0與直線x-my=0垂直，貝IJm=()

A.—2B.—C.2D.~

【正確答案】C

【分析】利用兩直線垂直，斜率相乘為-1,列出方程求解即可.

【詳解】???直線2*+丫-1=0與直線》-m),=。垂直，

/.-2×—=-1(A∕Z≠0)

tn

/.m=2

故選：C

3.已知拋物線C:V=4.y,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A?GMβ?(0?)C.(1,0)D.(0,1)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的方程直接求出焦點(diǎn)即可.

【詳解】由拋物線C:/=分可得其焦點(diǎn)在＞軸上，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).

故選:D.

4.若點(diǎn)A(l,2,3),點(diǎn)B(4,T0),且AC=2CB,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(3,0,1)B.(2,1,2)

)(

c?[132'~23'~32]D-[25^123)1

【正確答案】A

【分析】設(shè)C(X,y,z),根據(jù)AC=2CB列方程組即可求解.

【詳解】設(shè)C(X,y,z),則Ae=(X—l,y—2,z—3),C?=(4-x,T—y,—Z),

x-l=2(4-x)x=3

因?yàn)锳C=2CB,所以,>-2=2(-l-y),解得y=o.

z-3=2(-z)Z=1

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,0,1).

故選:A.

5.若圓O∣d+y2=/與圓O√(x-2)2+y2=9相內(nèi)切，則"為()

A.1B.2C.5D.1或5

【正確答案】D

【分析】根究?jī)蓤A內(nèi)切滿足的圓心距和半徑差的關(guān)系即可求解.

【詳解】圓。I：V+V=產(chǎn)的圓心和半徑為α(O,O),r,圓。2：(X—2)2+V=9的圓心和半徑

為Q(2,0),R=3,由兩圓內(nèi)切，所以IQQITRfn2=∣3Tnr=I或r=5,

故選：D

6.將單位圓χ2+丁=1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得

到的曲線方程為()

A.9x2+4∕=1B.-+4/=1

9

D.9X2+-^-=1

c+1

?TT=4

【正確答案】C

y=3x

【分析】由題意可知：?jiǎn)挝粓AY+尸=1經(jīng)過伸縮變換3-2/將其整理代入圓的方程即

可求解.

【詳解】設(shè)得到曲線上任意一點(diǎn)(χ',y'),由題意可知：?jiǎn)挝粓AY+V=ι經(jīng)過伸縮變換

_x,

(x,=3xx~3??

,C，整理可得：)，又(x,y)在單位圓/+y2=ι上，

I2

所以(!)2+(()2=1，整理變形可得:-+^-=?,

3294

所以單位圓f+V=I上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得

到的曲線方程為《+t=1,

94

故選.C

2

7.已知雙曲線UY—方=1僅>0）的離心率是2,則其漸近線的方程為（）

A.x±y∕3y-OB.>∕3x±y=O

C.x±3y=0D.3x±y=O

【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求出b的值，進(jìn)而可得答案.

【詳解】由雙曲線C:χ2-/=le>o）可得ɑ=l,c=Ji市，

；.e，=叵=2nb<,

a1

所以雙曲線的漸近線方程為y=±,x=±JGx,

即6X±jy=O.

故選：B

8.在長(zhǎng)方體ABCo-A耳GR中，AB=√3,BC=Q,AA=L則直線Ael與平面BBCC

內(nèi)直線所成的角中最小角為（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【正確答案】B

【分析】設(shè)/是平面88CC內(nèi)任一直線，”是/的一個(gè)方向向量.

當(dāng)〃/BC或/與BC重合時(shí)，NBeA即等于線線角，在RlZV14G中，求出即可；當(dāng)/與BC

不平行且不重合時(shí).設(shè)84=α,BC=b,BBt=c,則｛4涉,c｝可以作為空間向量的一個(gè)基底.

則AG=-α+b+c,根據(jù)平面向量基本定理以及共線向量可得到/的一個(gè)方向向量

4=9+2.設(shè)線線角為6?,則CoS6*=kos（AG,叫一..令f=（。"~■],用

1'71√6√2∕∕Z2+1L√6√2∕n2+1）

1萬

判別式法求出0≤f≤;,即可得到0≤cos9≤在,從而求出結(jié)果.

22

【詳解】如圖，連接44.

設(shè)/是平面BACC內(nèi)任一直線，”是/的一個(gè)方向向量.

①當(dāng)〃/3C或/與BC重合時(shí)，NBCA即等于直線AG和/所成的角.

又BClLABI,BC=∣AB2+BB^=2,

11=√2,AB1y

A8f—

則在RtZ?A8C中，tanNBCA="U=及；

BC

②當(dāng)/與3C不平行且不重合時(shí).

設(shè)8A=α,BC=b,BBl=c,貝∣J{〃力,。}可以作為空間向量的一個(gè)基底,

且Id=G,W=0,H=1,α,瓦(:兩兩垂直，

貝IJACl=-BA+BC+BBl=-a+b+c,且IAG卜后.

根據(jù)平面向量基本定理，可知m∕l,∕∕∈R,n=λBC+μBBγ,顯然〃*0,

貝iJ〃=XBC+〃34與向量々BC+BBt共線，

所以％=ABC+8用也是/的一個(gè)方向向量.

設(shè)機(jī)=',貝I]%=mBC+BB∣=mb+c.

設(shè)直線和/所成的角為則

AG6,cos0=∣cos(ACI,H1)∣.

-a+b+[mbmb+c=2m∣ACj∣=>∕6,

AC1.n1=c)?+c)=+1

m2h+c2=2m2所以裙

Iπ11=(ι%b+c)=+1,W=，2+1,

2∕H+1

?∕6λ∕2m2+1

Z?22

令/=_2"'+1=4w^~4w+1,整理可得(12r-4)∕√-4m+6f-l=0,

;√6√2wr+l)12/+6

該方程有解，即△=(-4)2-4(⑵-4)(6r-1)=-144(2r2-z)≥0,

I?>774-1

解得0≤f≤-,即04-泮3<—

2<√6√2WJ2+1-2

5

所以04Cosθ≤*.

2

因?yàn)閝ijg,90,CoSe在［0,90］上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)COSe=立時(shí)，夕取最小值為45.

2

又tanZB1C1A=√2>1,即NMGA>45.

綜上所述，直線AG與平面BqGC內(nèi)直線所成的角中最小角為45.

故選：B.

9.在平面內(nèi)，A、5是兩個(gè)不同的定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若二二=2,則點(diǎn)C的軌跡為()

DC

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【正確答案】A

【分析】建系設(shè)出A、8、C的坐標(biāo)，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解C的軌跡方程，推出結(jié)果即

可.

【詳解】在平面內(nèi)，A,8是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，以AS方向?yàn)閄正方向，線段AB的中點(diǎn)

為原點(diǎn)，

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)IABI=2α,

則A(-α,0),B(α,0),設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(蒼歷，

所以AC=(x+α,y),BC=(x-a,y)

AC

才ACl2C,即

因?yàn)?2,

BC

所以(％+4)2+γ2=4(x-0)2÷4y2,即3x2÷3>,2-?0ax+3a2=0,

化簡(jiǎn)得［x-g4j+y2=等,

所以點(diǎn)C的軌跡為圓.

故選：A.

10.從7個(gè)人中選4人負(fù)責(zé)元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三

天均安排1人，且人員不重復(fù)，則不同安排方式的種數(shù)可表示為()

A.C；A；B.C；A：C.C；C；D.C；A；

【正確答案】D

【分析】用分步計(jì)數(shù)原理.先選出2人安排在第一天，再選出2人安排在后兩天，將結(jié)果乘

起來即可.

【詳解】用分步計(jì)數(shù)原理.

第一步，從7個(gè)人中選2人的負(fù)責(zé)值班第一天，不同安排方式的種數(shù)C；；

第二步，剩余5人選取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的種數(shù)A；.

所以，不同安排方式的種數(shù)可表示為C；A；.

故選：D.

二、雙空題

11.圓χ2+∕-2x=0的圓心為,半徑為.

【正確答案】(1,0)1

【分析】先對(duì)圓的一般方程進(jìn)行配方轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心的坐標(biāo)與半徑.

【詳解】因?yàn)閳Af+V-2x=0可化為(X-I)

所以所求圓心為(1,0),半徑為L(zhǎng)

故(1,0):1.

2

12.設(shè)雙曲線2-V=I的左右焦點(diǎn)分別是K,F2,點(diǎn)P在雙曲線上，則

3'

IIpGHPKll=；若N"弱為直角，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的是.

【正確答案】士；

【分析】根據(jù)雙曲線的方程及定義可求出IIp月ITP乙Il,設(shè)P(X再利用向量數(shù)量積為

零求解即可.

【詳解】由土-y2=1可知α=G,c=2,

3

故IlPKI-IPElI=2α=2√5,K(-2,0),Λ(2,O),

3

設(shè)P(X°，%),則由=(χ0+2,y0),f√=(?-2,y0)>

因?yàn)镹^PF?為直角，

所以前?4P=J?2-4+%2=0,

因?yàn)?---=1'

所以3%2+3-4+%2=4%2-1=0,

解得%=-g或%=g

故2石；i-.

三、填空題

13.過點(diǎn)且與直線Lx+y+l=0平行的直線方程為.

［正確答案］χ+y-ι=o

【分析】根據(jù)平行直線系設(shè)直線方程為χ+y+c=θ,(c?Hi),代入(-1,2)即可求解.

【詳解】設(shè)與與直線/：x+y+i=0平行的直線方程為χ+y+c=0,(c?Hi),將點(diǎn)(-1,2)代入得

C=T,所以所求方程為χ+yT=0,

故x+y-l=O

14.在(2x-l)'的展開式中，X的系數(shù)為.

【正確答案】IO

【分析】寫出(2X-1)5展開式的通項(xiàng)為J=(TyX25T?G?X5L令5T=1,解出,代入即

可得到結(jié)果.

5rr5r

［詳解1(2x-l)展開式的通項(xiàng)為Tr+i=C；?(2x廣×(-l)=(-l)×2-?C;■尸,

/*=0,1,2,3,4,5.

令5-r=l,可得r=4.

所以，X的系數(shù)為(T)4χ25Y?C=10.

故10.

15.數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法

等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.如曲線u∕+y2=W+3,(如圖所示)，給

①曲線C關(guān)于直線y=χ對(duì)稱；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于夜；

③曲線C圍成的圖形的面積是2+兀.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

【正確答案】①③

【分析】根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性可判斷①，由曲線方程知曲線關(guān)于原點(diǎn)，X,y軸對(duì)稱，當(dāng)χ≥0,

y≥0時(shí)，可得χ2+∕-χ-y=0,可得(X一;所以可得曲線為為圓

心，r=也為半徑的半圓，由此可作出曲線C的圖象，從而通過運(yùn)算可判斷命題②③的真

2

假.

【詳解】設(shè)點(diǎn)A(x,y)在曲線C上，則d+y2=W+∣y∣,Aay)關(guān)于直線V=X對(duì)稱的點(diǎn)

A(y,x),將A(y,x)代入曲線C中得V+x2=3+W,因此A[y,x)在曲線C上，故①正確,

曲線可知曲線關(guān)于原點(diǎn)，X,軸對(duì)稱，

C:/+/=IXl+∣y∣Cy

當(dāng)x±0,y≥0時(shí)，Piw√+y2-χ-γ=θ,可得(x-{∣+卜-￡|=3,所以可得曲線為

為圓心，r=*為半徑的半圓，曲線上任意點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為

∣OC∣+r=^+^=√2,曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于或等于血,故命題②錯(cuò)誤；

根據(jù)對(duì)稱性可知曲線C圍成的圖形的面積為4個(gè)半圓的面積加上邊長(zhǎng)為√2的正方形的面

積，即夜χTi+4xgχπχ∣1)=2+π,故命題③正確;

故①③

四、解答題

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M的圓心在直線y=-2χ上，且與直線χ+y-l=()相切于

點(diǎn)P(2,—1).

⑴求圓M的方程：

(2)若定點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B在圓上，求∣Aδ∣的最小值.

【正確答案】(I)(X-I)?+(尹2)2=2

⑵及

【分析】(1)利用待定系數(shù)法設(shè)得圓M(X-4y+(y-A)2=產(chǎn)，再根據(jù)題意得到關(guān)于。涉的

方程，進(jìn)而求得r,由此得到圓M的方程；

(2)利用定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的最小距離的求法求解即可.

【詳解】⑴設(shè)圓M為(x-ay+(y—4=/，則"(a,。)，半徑為,，

因?yàn)閳A心M(a,b)在直線y=-2x上，所以6=—2”,

因?yàn)橹本€χ+yτ=θ與圓”相切于點(diǎn)P(2,T),所以直線χ+y-i=0與直線PM垂直，

所以即M=1,即空=1,則三空1=1,解得。=1,則6=-2,

a-2a-2

22

所以r=IPMI=λ∕(l-2)+(-2+1)=0,

故圓M為(X-iy+(y+2)2=2.

(2)因?yàn)?3—iy+(0+2)2>2,所以點(diǎn)A(3,0)在圓M外，

2

因?yàn)镸M=λ∕(3-l∕+(0+2)=2√2,

所以IABL“=∣A"∣-r=夜，B∣JIABI的最小值為√L

17.已知拋物線C:/=2"X(P>0)的焦點(diǎn)為F(l,0).

(1)求P的值;

(2)過點(diǎn)/的直線/與拋物線C交于A,8兩個(gè)不同點(diǎn)，若A3的中點(diǎn)為M(3,-2),求OAB的

面積.

【正確答案】(1)2；

⑵2萬

【分析】(1)解]=1，即可得出答案；

(2)點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，得到直線/的方程，根據(jù)拋物線的定義求出IAB∣=8,根

據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)。到直線/的距離d,即可求出面積.

【詳解】⑴由已知可得，所以P=2.

(2)由(1)知，拋物線的方程為∕=4x.

設(shè)力(x∣,y∣),B(?,J2),則有W=4*1，貝=4々,顯然再≠W,

兩式作差可得，yι-yl即々).

=4XI-4X2,(χ+%)(y∣-％)=4(χ∣-

因?yàn)锳B的中點(diǎn)為M(3,-2),所以χ+必=-4,則X-%=-(Xlr2)，

即三巨=-i,所以直線/斜率為τ,此時(shí)直線方程為y=-(x-l),即x+y-l=0.

?l~x2

[χ+y-l=O

聯(lián)立/與拋物線的方程2，可得，/+4y-4=0,

[y=4X

Δ=42-4×(^)=32>0,直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足.

所以，直線/方程為χ+y-l=0.

又占+々=6,根據(jù)拋物線的定義可知IM=Xl+々+P=8.

點(diǎn)0到直線1的距離d=叱°一,"=冬,

√12+122

所以.OAB的面積S=JXM8∣?d='x8x變=2√L

21122

18.如圖，在長(zhǎng)方體ABeD-A用￡。中，AB=3,AD=AA=2,點(diǎn)E在A8上，且AE=L

Dl

⑴求直線BG與AC所成角的大??；

(2)求BC1與平面A1EC所成角的正弦值.

【正確答案】(1)90

⑵正

6

【分析】(1)以C為原點(diǎn)，QADc,。A的方向分別為X軸、y軸、Z軸正方向，建立空間

直角坐標(biāo)系，求出AC,BG=(-2,0,2),利用空間向量的數(shù)量積求解直線AC與BG所成角

的余弦值即可.

(2)求出平面AEC的法向量，利用平面法向量與直線方向向量的夾角即可求解線面角

【詳解】(1)以。為原點(diǎn)，DA,￡)C,￡)A的方向分別為X軸、y軸、Z軸正方向，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(2,0,2),C(0,3,0),8(2,3,0),G(0,3,2),E(2,l,0),

A1C-BC4-4

所以4C=(-2,3,-2),fiC1=(-2,0,2),所以CoS〈年,3〉=為南=Kfr。，

所以ACLBG,故直線AC與Ba所成角為90.

(2)因?yàn)镋C=(-2,2,0),AE=(0,l,-2),

∕M?AE=0,fy-2z=0,

設(shè)平面AEC的法向量為加=(x,y,Z),則即,

m-EC=0,1-2x+2y=0.

令y=2,則χ=2,z=l,于是相=(2,2,1),

設(shè)BG與平面AEC所成角為6,

則sinθ=∣cos(BC1,πi)?=

所以Ba與平面AEC所成角的正弦值為也

6

19.如圖，四棱錐P-A3CO中，平面皿>，平面ABa>,底面ABCO為直角梯形,

AB=3,CD=AD=2,PA=2下＞.

（2）求平面與平面Per）所成角的大小.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵2

【分析】（1）由題意可得AB〃CO,然后根據(jù)線面平行的判定定理即可得到結(jié)果；

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP為X軸，），軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合

法向量即可求得二面角的大小.

【詳解】（1）因?yàn)樵谒睦忮FP-ABC。中，ZDAB=ΛADC=^,

所以AB〃CE>,

因?yàn)锳BU平面R4B,CDeZ平面力3,

所以CZ）〃平面P4B

因?yàn)槠矫姒?E>J_平面ABC。，且平面尸At)C平面ABCo=AD,

又因?yàn)镕4_LAQ,所以PA_L平面ABC。，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,4),4P為X軸，，軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-初z,

則A(O,O,O),P(O,O,2√3),B(3,O,O),P(O,2,O),C(2,2,O),

設(shè)平面PCl)的法向量為〃=(X,y,z)

n-CD=O?-2x=0X=O_

由｛=>ir解得I/r'令z=l,則y=6

n?PD=O[2y-2√3z=0y=√3z

所以〃=(o,G,ι)

又因?yàn)锳DJ_平面B4B,平面的一個(gè)法向量“7=(0,1,0)

設(shè)平面M與平面PCZ)所成角為巴

則ICOSθ?-∣cos<tn,n>=

∣∕n∣?∣n∣2

顯然二面角為銳角，所以COSe=Y3TT

即e=2

26

所以平面Q48與平面PCz)所成角為ETT

O

22

20.已知橢圓C:￡+}=l(穌b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,且田司=4,Kα=√?.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)”的直線/與橢圓C交于A,8兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：X軸上存在定點(diǎn)P,使得直線RA

與直線P3的斜率之和為零.

22

【正確答案】(1)1+幺=1；

84

(2)證明見解析.

【分析】(I)利用待定系數(shù)法求出橢圓C的方程；(2)對(duì)直線/的斜率是否存在，進(jìn)行分類

討論：當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線∕?y=%(x+2)設(shè)X軸上存在定點(diǎn)Pa0),利用“設(shè)而不

求法”表示出總+%i=0,求出P(T,0):再由對(duì)稱性判斷出直線/的斜率不存在時(shí)符合題意.

2c=4c=2

22

【詳解】(1)由題意可得：7=/+C?,解得:a2=8,所以橢圓C的方程為j+二1.

,C84

a=41bb=2

(2)設(shè)Aa,M),8(Λ2,%).

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)為人,則直線/.y=Mχ+2)

(29

?+r

-----π----------1

聯(lián)立84消去y可得.(1+2女2卜2+認(rèn)2》+跳2-8=0

y=?(x+2)

2?28?2-8

所以Xl+x2=-j^j,xv2=

r?+2k2

V,—O

設(shè)X軸上存在定點(diǎn)p(r,θ),則即A=士;

所以％JX-2"：LO

因?yàn)長(zhǎng)+G=無+合=0,+k

所以PAPB-GT)(X2T)一，

所以XX(X2-r)+y2(xl-r)=O,即?(xl+2)×(x,-∕)+?(x,+2)(x1-∕)=0,

整理得：2xlx,+(2-∕)(xt+x,)-4z=0,

所以2'≡?+(2τ)-8?2

-4/=0,

1+2吃

所以16公一16-16f+8后一4，-8於2=0,解得」=，

即P(TO).

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知：A,B關(guān)于X軸對(duì)稱，由P(T,0),可知直線R4