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文檔簡介
2023-2024學年河北正定弘文中學高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.的展開式中有理項有()A.項 B.項 C.項 D.項2.已知集合,則集合真子集的個數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.83.若不相等的非零實數(shù),,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.2 D.4.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出屬于()A. B. C. D.6.如圖,內接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.7.在中,角的對邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形8.已知復數(shù)是正實數(shù),則實數(shù)的值為()A. B. C. D.9.設遞增的等比數(shù)列的前n項和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.10.已知函數(shù),,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.11.已知雙曲線的右焦點為,若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且點到該漸近線的距離為,則雙曲線的實軸的長為A. B.C. D.12.如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖,則下列說法中不正確的是()A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B.與去年同期相比,該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D.去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為雙曲線的左、右焦點,過點作直線與圓相切于點,且與雙曲線的右支相交于點,若是上的一個靠近點的三等分點,且,則四邊形的面積為_______.14.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調遞增區(qū)間是__________.15.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則其單調遞減區(qū)間為_______.16.如圖所示,邊長為1的正三角形中,點,分別在線段,上,將沿線段進行翻折,得到右圖所示的圖形,翻折后的點在線段上,則線段的最小值為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)己知,,.(1)求證:;(2)若,求證:.18.(12分)如圖,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.過頂點,的平面與棱,分別交于,兩點.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:四邊形是平行四邊形;(Ⅲ)若,試判斷二面角的大小能否為?說明理由.19.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前20.(12分)團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式,不少商家同時加入多家團購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個團購網(wǎng)站在市開展了團購業(yè)務,市某調查公司為調查這三家團購網(wǎng)站在本市的開展情況,從本市已加入了團購網(wǎng)站的商家中隨機地抽取了50家進行調查,他們加入這三家團購網(wǎng)站的情況如下圖所示.(1)從所調查的50家商家中任選兩家,求他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率;(2)從所調查的50家商家中任取兩家,用表示這兩家商家參加的團購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望;(3)將頻率視為概率,現(xiàn)從市隨機抽取3家已加入團購網(wǎng)站的商家,記其中恰好加入了兩個團購網(wǎng)站的商家數(shù)為,試求事件“”的概率.21.(12分)已知命題:,;命題:函數(shù)無零點.(1)若為假,求實數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)若在上為單調函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍:(2)若,記的兩個極值點為,,記的最大值與最小值分別為M,m,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由二項展開式定理求出通項,求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù),即可求解.【詳解】,,當,,,時,為有理項,共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征,熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關鍵,屬于基礎題.2、C【解析】
解出集合,再由含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選:C【點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應用,含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個,屬于基礎題.3、A【解析】
由題意,可得,,消去得,可得,繼而得到,代入即得解【詳解】由,,成等差數(shù)列,所以,又,,成等比數(shù)列,所以,消去得,所以,解得或,因為,,是不相等的非零實數(shù),所以,此時,所以.故選:A【點睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應用,考查了學生概念理解,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.4、D【解析】
根據(jù)對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點;利用導數(shù)研究的單調性從而得到的圖象;由直線恒過定點,通過數(shù)形結合的方式可確定;利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和,進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知,直線恒過點當時,在上單調遞減;在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點的曲線的兩條切線,切點分別為由圖象可知,當時,與有且僅有四個不同的交點設,,則,解得:設,,則,解得:,則本題正確選項:【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題;解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點,采用數(shù)形結合的方式來進行求解.5、B【解析】
由題意,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,求解即得解.【詳解】由題意可知,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,當;當綜上:.故選:B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖,考查了學生邏輯推理,分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于基礎題.6、B【解析】
根據(jù)已知證明平面,只要設,則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因為,所以四邊形為平行四邊形.又因為平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,,設,則,所以,所以.又因為,當且僅當,即時等號成立,所以.故選:B.【點睛】本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設出底面三角形一邊長為,用建立體積與邊長的函數(shù)關系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質得最值.7、C【解析】
利用正弦定理將邊化角,再由,化簡可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因為所以所以所以所以所以當時,為直角三角形;當時即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于基礎題.8、C【解析】
將復數(shù)化成標準形式,由題意可得實部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù),所以且,解得.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的基本定義,屬基礎題.9、A【解析】
根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項,即得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因為.且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、A【解析】
令,進而求得,再轉化為函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點睛】本題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)最值中的應用,考查了轉化的數(shù)學思想,恰當?shù)挠靡粋€未知數(shù)來表示和是本題的關鍵,屬于中檔題.11、B【解析】
雙曲線的漸近線方程為,由題可知.設點,則點到直線的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線的實軸的長為,故選B.12、D【解析】
根據(jù)折線圖、柱形圖的性質,對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確,該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確;.故D項不正確.故選:D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別,考查學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、60【解析】
根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長度,再根據(jù)計算求解即可.【詳解】如圖所示:設雙曲線的半焦距為.因為,,,所以由勾股定理,得.所以.因為是上一個靠近點的三等分點,是的中點,所以.由雙曲線的定義可知:,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為:60【點睛】本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法,需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關系.屬于難題.14、,,【解析】
化簡函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點睛】本題主要考查了二倍角的公式的應用,余弦函數(shù)的圖象與性質,屬于中檔題.15、【解析】
利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式,再求出的單調遞減區(qū)間.【詳解】解:冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則,解得;所以,其中;所以的單調遞減區(qū)間為.故答案為:.【點睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質的應用問題,屬于基礎題.16、【解析】
設,,在中利用正弦定理得出關于的函數(shù),從而可得的最小值.【詳解】解:設,,則,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴當即時,取得最小值.故答案為.【點睛】本題考查正弦定理解三角形的應用,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)采用分析法論證,要證,分式化整式為,再利用立方和公式轉化為,再作差提取公因式論證.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性質論證.【詳解】(1)要證,即證,即證,即證,即證,即證,該式顯然成立,當且僅當時等號成立,故.(2)由基本不等式得,,當且僅當時等號成立.將上面四式相加,可得,即.【點睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式,還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想,屬于中檔題..18、(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)不能為.【解析】
(1)由平面平面,可得平面,從而證明;(2)由平面與平面沒有交點,可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(3)作交于點,延長交于點,連接,根據(jù)三垂線定理,確定二面角的平面角,若,,由大角對大邊知,兩者矛盾,故二面角的大小不能為.【詳解】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依題意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面與平面平行,即兩個平面沒有交點,則與不相交,又與共面,所以,同理可證,所以四邊形是平行四邊形;(3)不能.如圖,作交于點,延長交于點,連接,由,,,所以平面,則平面,又,根據(jù)三垂線定理,得到,所以是二面角的平面角,若,則是等腰直角三角形,,又,所以中,由大角對大邊知,所以,這與上面相矛盾,所以二面角的大小不能為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題,和二面角的求解問題,意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化,屬中檔題.19、(1)an=2n【解析】
(1)先設出數(shù)列的公差為d,結合題中條件,求出首項和公差,即可得出結果.(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和.【詳解】解:(1)設公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn則:1S則:Tn=1【點睛】本題考查的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應用,裂項相消法在數(shù)列求和中的應用,主要考查學生的運算能力和轉化能力,屬于基礎題型.20、(1);(2)從而的分布列為012;(3).【解析】
(1)運用概率的計算公式求概率分布,再運用數(shù)學期望公式進行求解;(2)借助題設條件運用貝努力公式進行分析求解:(1)記所選取額兩家商家加入團購網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件,則,所以他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.(2)由題,知的可能取值分別為0,1,2,,,從而的分布列為012.(3)所調查的50家商家中加入了兩個團購網(wǎng)站的商家有25家,將頻率視為概率,則從市中任取一家加入團購網(wǎng)站的商家,他同時加入了兩個團購網(wǎng)站的概率為,所以,所以事件“”的概率
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