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文檔簡介
2023-2024學(xué)年河南省十所重點(diǎn)名校高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.52.如圖,拋物線:的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點(diǎn))長為半徑的圓交于,兩點(diǎn),則關(guān)于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定3.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.4.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點(diǎn)都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時(shí),在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.46.設(shè)是虛數(shù)單位,則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件7.將函數(shù)向左平移個(gè)單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.圖象關(guān)于直線對(duì)稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個(gè)根8.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.9.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣8510.直角坐標(biāo)系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點(diǎn),若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.11.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.412.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最大值為________.14.為激發(fā)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個(gè)班進(jìn)行班級(jí)間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場(chǎng),目前(—)班已賽了4場(chǎng),(二)班已賽了3場(chǎng),(三)班已賽了2場(chǎng),(四)班已賽了1場(chǎng).則目前(五)班已經(jīng)參加比賽的場(chǎng)次為__________.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則______.16.已知函數(shù)是偶函數(shù),直線與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A,B,C,D.若AB=BC,則實(shí)數(shù)t的值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點(diǎn);②求證:對(duì)任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)已知等比數(shù)列中,,是和的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面積.20.(12分)在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,已知,,角為銳角,的面積為.(1)求角的大??;(2)求的值.21.(12分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解關(guān)于x的不等式;(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意實(shí)數(shù),都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),據(jù),得,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】
先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù),排除C,D;,排除A.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷,屬于??碱}.4、B【解析】
分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點(diǎn)作平面的垂線與過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),在中計(jì)算出,再利用勾股定理計(jì)算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點(diǎn),,,且、分別為、的中點(diǎn),所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點(diǎn),同理可知,的外心為點(diǎn),分別過點(diǎn)作平面的垂線與過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),則點(diǎn)在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中等題.5、C【解析】
逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解析】
結(jié)合純虛數(shù)的概念,可得,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設(shè),此時(shí)復(fù)數(shù),不是純虛數(shù),所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù),則,將向左平移個(gè)單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對(duì)稱中心滿足,解得,所以A、B選項(xiàng)中的對(duì)稱中心錯(cuò)誤;對(duì)于C,的對(duì)稱軸滿足,解得,所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱;當(dāng)時(shí),,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對(duì)于D,最小正周期為,當(dāng),,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時(shí)僅有一個(gè)解為,所以D錯(cuò)誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.8、D【解析】
設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到坐標(biāo)為,再將點(diǎn)代入雙曲線得到離心率.【詳解】因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形,設(shè)直線OA為,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到x=2b,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).11、A【解析】
由傾斜角的余弦值,求出正切值,即的關(guān)系,求出雙曲線的離心率.【詳解】解:設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為,由題意又,則,,,所以離心率,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】
由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對(duì)稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出不等式組所表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)看作點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過時(shí),直線的斜率取得最大值,代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可得答案.【詳解】畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖所示,由得點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)表示點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過時(shí),直線的斜率取得最大值,此時(shí)的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求目標(biāo)函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.14、2【解析】
根據(jù)比賽場(chǎng)次,分析,畫出圖象,計(jì)算結(jié)果.【詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經(jīng)賽了2場(chǎng).故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查推理,計(jì)數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題型.15、63【解析】
對(duì)進(jìn)行化簡,可得,再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可【詳解】由數(shù)列為首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列,所以63【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的求法,當(dāng)處理復(fù)雜因式時(shí),常用基本方法為:因式分解,約分。但解題本質(zhì)還是圍繞等差和等比的基本性質(zhì)16、【解析】
由是偶函數(shù)可得時(shí)恒有,根據(jù)該恒等式即可求得,,的值,從而得到,令,可解得,,三點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)可列關(guān)于的方程,解出即可.【詳解】解:因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以時(shí)恒有,即,所以,所以,解得,,;所以;由,即,解得;故,.由,即,解得.故,.因?yàn)?,所以,即,解得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明見解析;(2)且;【解析】
(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可;②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且,則切線在點(diǎn)切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時(shí),故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當(dāng)時(shí),遞減,故當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時(shí),則在遞減,在,遞增,①當(dāng)時(shí),,故在遞減,可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時(shí),,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時(shí),,遞增,不合題意;③當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,遞減,當(dāng)時(shí),,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.18、(1)(2)【解析】
(1)用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件,解方程組即可求得公比,代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果;(2)把(1)中求得的結(jié)果代入bn=an?log2an,求出bn,利用錯(cuò)位相減法求出Tn.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知:,∴,即.∴,即.(2),∴.①.②①-②得∴.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的概念以及錯(cuò)位相減法求和,考查運(yùn)算能力,屬中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)由,利用余弦定理可得,結(jié)合可得結(jié)果;(2)由正弦定理,,利用三角形內(nèi)角和定理可得,由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意,得.∵.∴,∵,∴.(2)∵,由正弦定理,可得.∵a>b,∴,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù),屬于中檔題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.20、(1);(2)7.【解析】分析:(1)由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值,進(jìn)而求得A;(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求得a.詳解:(1)∵,∴,∵為銳角,∴;(2)由余弦定理得:.點(diǎn)睛:本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角
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