第15講 圖形的相似（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第15講圖形的相似（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題．3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮?。?.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置．【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).2、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（交換內(nèi)項(xiàng)）（交換外項(xiàng)）（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB.考點(diǎn)二、相似圖形相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.也就是說：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.考點(diǎn)三、位似圖形位似圖形的定義：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過交點(diǎn)的對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.2.位似圖形的分類：(1)外位似：位似中心在連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的線段之外.(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的線段上.3.位似圖形的性質(zhì)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；第四步：順次連接截取點(diǎn).【典型例題】題型一、比例線段例1.已知三個(gè)數(shù)1,2,,請你再添上一個(gè)(只填一個(gè))數(shù),使它們能構(gòu)成一個(gè)比例式,則這個(gè)數(shù)是_________.【變式】將一個(gè)菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說法不正確的是()A．菱形的各角擴(kuò)大為原來的2倍B．菱形的邊長擴(kuò)大為原來的2倍C．菱形的對角線擴(kuò)大為原來的2倍D．菱形的面積擴(kuò)大為原來的4倍題型二、相似圖形例2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④例3．如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，且AF=EC，連結(jié)EF，DE，DF，M是FE中點(diǎn)，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點(diǎn)N．則4個(gè)結(jié)論：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，則BF=2；正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【變式】如圖8，△ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.求證：求這個(gè)矩形EFGH的周長.例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線BC經(jīng)過點(diǎn)，，將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形，此時(shí)直線、直線分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q．（1）四邊形OABC的形狀是，當(dāng)時(shí)，的值是；（2）①如圖1，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在軸正半軸時(shí)，求的值；②如圖2，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的面積．（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例5．如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．①求證：ADE∽BEF；②設(shè)正方形的邊長為4，AE=，BF=．當(dāng)取什么值時(shí)，有最大值?并求出這個(gè)最大值．題型三、位似圖形例6.如圖，用下面的方法可以畫出△AOB的“內(nèi)接等邊三角形”，閱讀后證明相應(yīng)的問題.畫法：(1)在△AOB內(nèi)畫等邊△CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；(2)連結(jié)OE并延長，交AB于點(diǎn)E′，過E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；(3)連結(jié)C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.請判斷△C′D′E′是否是等邊三角形，并說明理由.【中考過關(guān)真題練】一、填空題1．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，已知，則_________．2．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面積是6，那么這個(gè)正方形的邊長是_____．3．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且，那么AD的長是_________________.4．（2020·上海·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深A(yù)C為____米．5．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)O在對角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段AO長的取值范圍是____．二、解答題6．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，梯形中，∥，，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，射線和射線交于點(diǎn)，且．（1）求線段的長；（2）如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）如果點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合），設(shè),,，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；7．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知⊙O的半徑長為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC，BO的延長線交AC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OA、OC．（1）求證：△OAD∽△ABD；（2）當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí)，求B、C兩點(diǎn)的距離；（3）記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中項(xiàng)，求OD的長．8．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）如圖1，AD、BD分別是的內(nèi)角∠BAC、∠ABC的平分線，過點(diǎn)A作AE⊥AD，交BD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）如圖2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；（3）如果∠ABC是銳角，且與相似，求∠ABC的度數(shù)，并直接寫出的值．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一、單選題1．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（

）A． B．C． D．2．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，中線與中線相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)．下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在中，，點(diǎn)D、E分別在邊上，當(dāng)時(shí)，_________．4．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知，與的相似比為，與的相似比為，那么與的相似比為_________．5．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）在中，點(diǎn)D、E分別在邊上，//，那么_______．（用、表示）．6．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，在梯形中，，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，，設(shè)，那么_______．（用含向量的式子表示）7．（2022·上海·上海市婁山中學(xué)?？级＃┤鐖D，梯形中，，，點(diǎn)在的延長線上，與相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)．如果，那么與的面積之比等于______．8．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，DE＝4，那么BC＝________．9．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形中，對角線交于點(diǎn)O，，，，，如果，那么的值是___________．10．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，那么點(diǎn)被稱為的“布洛卡點(diǎn)”．如圖，在中，，，點(diǎn)是的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，那么______．11．（2022·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作GF∥AB交BC于點(diǎn)F，那么＝_____．三、解答題12．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形ABCD中，，DF分別交對角線AC、底邊BC于點(diǎn)E、F，且．(1)求證：；(2)點(diǎn)G在底邊BC上，，，連接，如果與的面積相等，求的長．13．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，且，．(1)求證：；(2)設(shè)，，試用向量、表示向量．14．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，的余切值為，，點(diǎn)P在拋物線上，且.(1)求上述拋物線的表達(dá)式；(2)平移上述拋物線，所得新拋物線過點(diǎn)O和點(diǎn)P，新拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E．①求新拋物線的對稱軸；②點(diǎn)F在新拋物線對稱軸上，且，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．15．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）已知：如圖，兩個(gè)和中，，且點(diǎn)在一條直線上，聯(lián)結(jié)與交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如果，求證：．16．（2022·上海楊浦·?？家荒＃┤鐖D1，在中，點(diǎn)E在的延長線上，且(1)求證：；(2)如圖2，D在上且，延長交于F，若，求的值．17．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)點(diǎn)在軸的正半軸上，與軸交于點(diǎn)，已知．(1)求頂點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將拋物線向右平移個(gè)單位，得到的新拋物線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；(3)如果點(diǎn)在原拋物線的對稱軸上，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（2022·上海長寧·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），且與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（3，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)當(dāng)B的坐標(biāo)為（﹣5，0）時(shí)，求拋物線的解析式；(2)在（1）的條件下，以A為圓心，OA長為半徑畫⊙A，以C為圓心，AB長為半徑畫⊙C，通過計(jì)算說明⊙A和⊙C的位置關(guān)系；(3)如果△BAC與△AOC相似，求拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)19．（2022·上海楊浦·?？家荒＃┮阎菏堑闹睆?，弦，垂足為點(diǎn)H，，，點(diǎn)E在上，射線與射線相交于點(diǎn)F，設(shè)，．(1)求的半徑；(2)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在弧上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)如果，求的長．20．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在等腰直角中，，點(diǎn)D為射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以為腰且在的右側(cè)作等腰直角，，射線與射線交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)．(1)如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，①求證：；②設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的長．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）若一個(gè)扇形的弧長與半徑的比值等于另一個(gè)扇形的弧長與半徑的比值，則稱這兩個(gè)扇形相似．如圖，如果扇形AOB與扇形A'O'B'相似，且半徑OA：O'A＝k（k為大于0的常數(shù)）．那么下面四個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝∠A'O'B；②△AOB∽△A'O'B'；③半徑OA的中點(diǎn)與弧AB中的連線段長度與半徑O'A'的中點(diǎn)與弧A'B'的中點(diǎn)的連線段長之比為k；④扇形AOB與扇形A'O'B'的面積之比為k2，成立的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共10小題）2．（2019?徐匯區(qū)校級自主招生）如圖，正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC中點(diǎn)，AF分別交線段DE、DB于點(diǎn)M、N，則S△DMN＝．3．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC＝6，BD＝8，中位線長為5，△AOB的面積為S1，△COD的面積為S2，則+＝．4．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一個(gè)△OEF，原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為E′，已知E（