2023-2024學年四川省宜賓市高二年級下冊開學考試數學（理）模擬試題（含答案）

2023-2024學年四川省宜賓市高二下冊開學考試數學（理）

模擬試題

一、單選題

命題”存在x（）wR,27-0”的否定是（)

A.不存在/WR,2M>0B.存在x()wR,2^>0

C.對任意的xeR,2A<0D.對任意的xeR,2V>0

4

2.拋物線的焦點坐標為（)

A.°5B.P°C.D.5。

3.從某中學甲、乙兩班各隨機抽取10名同學，測量他們的身高（單位：cm）,所得數據用

莖葉圖表示如圖，由此可估計甲、乙兩班同學的身高情況，則下列結論正確的是（）

甲班乙班

2118

820171268

65316257

87159

A.甲乙兩班同學身高的極差相等B.甲乙兩班同學身高的平均值相等

C.甲乙兩班同學身高的中位數相等D.乙班同學身高在175cm以上的人數較多

4.若直線4：x-y+2=O與直線/2：2工+。），-3=。平行，則實數。的值為（)

A.B.-1C.2D.1

5.在區(qū)間［—2,2］內隨機取一個數x,使得不等式￡+2x<0成立的概率為（)

A.BcD

3-i-t-5

6.已知命題Pi：3reR,使得％2+x+ivO；p2:Vxe[l,2],使得％2一上0.以下命題為真

命題的為

A.—>pA—>pC.八D.P1AP2

t2B.PlV-1P2rp'Pz

7.圓?:（x-iy+y2=I與圓。2：（》-3丫+>2=9的位置關系為（)

A.外離B.外切C.相交D.內切

8.是"直線（2m-4）x+（〃?+l）y+2=0與直線沖+3=0垂直”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

9.直線/：y=x與圓C:（x-l）2+（y-2）2=a2（”>0）交A8兩點.若|AB|=a,則ABC的面積

為（）

A.正B.也C.顯D.也

6364

10.在三棱錐P-ABC中，AC=A8=2,/BAC=90°,尸C_L平面A8C,尸C=l,則該三棱錐外

接球的體積為（）

9

A.367rB.12冗C.8%D.一萬

2

11.已知拋物線>2=2必（0>0））的焦點為/，準線為/,過F的直線與拋物線交于點A、B,

與直線/交于點。，若AF=3網附=4,則片（）

A.1B.-C.2D.3

2

12.已知雙曲線C:5-?=l（“>0）的左、右焦點分別為耳，鳥，尸為雙曲線C右支上的

動點，過戶作兩漸近線的垂線，垂足分別為A,B.若圓（％-2）2+產=1與雙曲線C的漸近

線相切，則下列結論正確的有（）個.

①a=4；

②|網尸理為定值;

③雙曲線C的離心率e=2、8；

3

④當點尸異于頂點時，△P”巴的內切圓的圓心總在直線x=26上.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

13.已知空間向量a=（2,7,3）,6=（T,2,x）,若a_Lc,則實數x的值為.

22

14.已知橢圓3+專的左、右焦點分別為《、鳥，上頂點為A.若為正

三角形，則該橢圓的離心率為.

15.已知實數mb,c滿足24V],貝ija+b+c的最小值是____.

4

16.已知NAOB=90。，C為空間中一點，且ZAX=ZBOC=60。，則直線OC與平面A08所

成角的正弦值為一.

三、解答題

17.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用

水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準M噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分

按平價收費，超出x的部分按議價收費?為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100

位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數據按照[。,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組，制成

了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.52

0.40

a

-6

:2

C-8

IXI4

I31

O0.511.522.533544.5月均用水量(噸)

(1)求直方圖中。的值；

(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，并說明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準X(噸)，估計x的值，并說明理由.

18.已知圓C的圓心在直線3x+2y=O上，C經過點A(-2,0),且與直線4x-3y+8=0相切.

(1)求C的標準方程；

(2)直線/：x-2y-3=0與C相交于兩點，求_。/汽的面積.

19.某地級市受臨近省會城市的影響，近幾年高考生人數逐年下降，下面是最近五年該市參

加高考人數y與年份代號x之間的關系統計表.

年份代號x12345

高考人數y(千人)3533282925

(其中2018年代號為I,2019年代號為2,...2022年代號為5)

(1)求y關于x的線性回歸方程；

(2)根據(1)的結果預測該市2023年參加高考的人數；

(3)試分析該市參加高考人數逐年減少的原因.

(參考公式：》=J------;—,a=y-bx)

2")一

20.如圖，在五面體ABCDEF中，AB//CD//EF,ZABC=NBAF=90°,CD=2AB=4EF=4,

BC=AF=2,P,。分別為C￡>,AP的中點，二面角尸一至一。的大小為60。.

(1)證明：FO_L平面A8CO；

(2)求平面AOF平面3CE成二面角的正弦值.

21.已知平面上動點P到定點尸(2,0)的距離比P到直線x=-1的距離大1.記動點P的軌跡為

曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(-2,0)的直線/交曲線C于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點是力，證明：直線

8。恒過點F.

2*>

22.已知橢圓C:5+W=l(a>b>0)的右焦點為尸(1,0),點RM”為橢圓C上的點，直

線MN過坐標原點，直線尸的斜率分別為4,右,且

(1)求橢圓C的標準方程；

|w|2

(2)若尸尸〃MN且直線PF與橢圓的另一個交點為Q,問是否為常數？若是，求出該常

數；若不是，請說明理由.

答案：

1.D

【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結果即可.

【詳解】解：由題意

???特稱命題的否定是全稱命題，

二命題“存在/eR,2出40”的否定是:

對任意的xeR,2'>0.

故選：D.

2.D

【分析】將拋物線化成標準形式，即可求解.

【詳解】由》=:丁得丁=3X，故焦點為15，0〕，

34<16)

故選：D

3.D

【分析】根據莖葉圖和極差、平均數、中位數等概念逐一計算，即可判斷選項是否正確.

【詳解】由莖葉圖可知，甲班同學身高的極差為182-157=25,乙班同學身高的極差為

183-159=24,兩班身高極差不相等，故A錯誤；

甲班同學身高的平均值為卡(157+158+163+165+166+170+172+178+181+182)=169.2,

乙班同學身高的平均值為卡(159+162+165+167+171+172+176+178+181+183)=171.4

顯然，甲乙兩班同學身高的平均值不相等，即B錯誤；

根據莖葉圖可知，甲班同學身高的中位數為166；70=]68,乙班同學身高的中位數為

所以，甲乙兩班同學身高的中位數不相等，即C錯誤；

由莖葉圖可知，甲班同學身高在175cm以上的人數為3人，乙班同學身高在175cm以上的人

數為4人，故D正確.

故選;D

4.A

【分析】解方程lxa-(-l)x2=0即得解.

【詳解】解：由題得lx?！?—1)x2=。,.?々=—2.

經檢驗，當。=-2時，滿足題意.

故選：A

5.B

【分析】由V+2x<0可得-2<x<0,再根據幾何概型的計算方法求解即可.

【詳解】解：由f+2x<0可得-2<x<0,

0-（-2'）21

由幾何概型的定義可得使不等式V+2x<0成立的概率為.「懸=T=O

故選：B.

6.D

【詳解】△=（-I）。-4=-3<0,.〔x?+x+l<0的解集為空集，故命題Pi為假命題，~<Pi

為真命題；.V-lNO:.xNl或，VxeU,2],使得￡-120恒成立，故P2為真命

題，一92為假命題；因rPl為真命題，22為真命題，故F71Ap2為真命題，答案為C.

7.D

【分析】求出兩個圓的圓心與半徑，通過圓心距與兩圓的半徑和與差的關系，判斷兩個圓的

位置關系.

【詳解】因為圓a：（x-爐+尸=1的圓心（i,o）,半徑為4=1,

圓。2：（犬—3）2+丁=9的圓心（3,0）,半徑為4=3,,

則兩圓的圓心距為^/（1-3）2+02=2,而卜-耳=2,

則圓0,與圓。2的位置關系為內切.

故選:D.

8.B

【分析】根據兩直線垂直的條件，求解加范圍即可求解.

【詳解】若直線（2/n-4）x+（，〃+l）y+2=0與直線（zn+l）x-/ny+3=0垂直，則

（2加-4）（m+l）—/?（，〃+1）=0=（/M—4）（，〃+1）=0=機=4或m=-1,

故"機=-1"是''直線（2加一4）犬+（帆+1方+2=0與直線（機+1）工一》^+3=0垂直”的充分不必

要條件，

故選：B

9.A

【分析】由題知圓心為。（1,2）,半徑為一=。，進而根據幾何法求弦長得

|Afi|=2〃-/=2Ma,解得〃=邁，再計算面積即可得答案.

3

【詳解】解：由題知圓心為C（l,2）,半徑為r=”,

所以，圓心C（l,2）到直線/:y=x的距離為〃=%=等,

所以，弦長|4同=2,2-儲=2//-；=〃,gp3a2-2=0,

解得a=,

3

所以ABC的面積為S==但x也=3

2112326

故選:A

10.D

畫出圖形，將幾何體補全為長方體，則將問題轉化為求對應長方體外接球體積問題，結合體

積公式即可求解

【詳解】

如圖所示，三棱錐實際上為長方體上四點組合而成，則外接球半徑為r=也?+丁+1=3,

22

則該三棱錐外接球的體積為丫=24乃?1/=34小2一7=9"

3382

故選：D

本題考查錐體外接球體積算法，對于這類問題，我們都可考慮把錐體還原成對應的長方體或

圓柱體，再求對應的外接球半徑，這樣會簡化求解難度，屬于中檔題

11.D

【分析】利用拋物線的定義，以及幾何關系可知C0S/F4A，再利用數形結合可求|什|的值.

設準線與x軸的交點為K,作AA，/，垂足分別為A,四,

則BB,HFK//AA1.根據拋物線定義知忸聞=怛日=M同，

又AF=3FB,|B4=4,所以忸周=忸同=/例|=14尸|,忸。|=!人。|,

設NDBB、=0,因為BB\HFK//AA\,所以ZE4A,=NKFD=/DBB、=0,

則8$0=幽=兇=3網3型|

\DB\\DA\\AB\^\DB\4忸用+|。8「

所以\BB.身\=砸3\精BB.\而"又.I網,=4,可得.|叫.1=2,所以cos”]1，

1\KF\\KF\\KF\\KF\

所以cosNKFD=—=-----：=：----：~~；----r=]----；~~；----r=-~-

2\DF\\DB\^-\BF\|D8|+忸聞6

可得|跖|=3,即p=3.

故選.D

12.C

【分析】由雙曲線漸近線方程2x±a），=0,圓（x-2『+y2=i圓心（2,0）,半徑是1,應用點

線距離公式列方程求“，設尸（跖,九）有片-3y；=12,由點線距離公式寫出歸4|,|尸耳，直接

用離心率定義求雙曲線離心率，根據圓切線性質及雙曲線定義可得用力-優(yōu)。1=2。，進而

確定內切圓的圓心的位置.

【詳解】由題意，雙曲線漸近線方程是2x土e=0,圓（工-2）2+丁=1的圓心（2,0）,半徑是

1,

可得(-26舍去)，①錯誤.

設尸(2,%),則*號=1,即片-3y：=12,

漸近線方程是x±^y=O,則附」與一『。1,|PB|=』T%L

附|.歸卻=匠叫=3為常數，②正確;

離心率為e=￡=/=亞，③正確;

由Z?=2,所以c=yja2+Z?2=4，

a2V33

設△尸￡鳥的內切圓與三邊切點分別為。，E,H,如圖,

由圓的切線性質知忻。-怩。=忻印一優(yōu)目=EH—后耳=加，

所以々)=a,因此內心/在直線x=a,即直線x=26上，④正確；

故選：C

13心

3

【分析】根據空間向量垂直的坐標表示求解.

【詳解】因為a_Lc,所以a?匕=2x(-4)+(-l)x2+3x=0,解得》=了,

故答案為：y.

14.y##0.5

【分析】利用題給條件求得a=2c,進而求得橢圓的離心率

【詳解】ZXA耳匕為正三角形，則a=2c,則橢圓的離心率e=￡=F=:

a2c2

故3

15.--

8

【分析】由。+/>+，2°+/>+4（“2+力2）,通過配方變形即可得出.

【詳解】?..實數a,b,c滿足02+/勺9小，

；?a+b+c2a+b+4（a2+82）=4［々+（）+,

當〃=，c=：時等號成立，

o8

;.a+Z?+c的最小值為一J.

O

故-J.

O

16.—

2

【分析】由對稱性點C在平面AOB內的射影。必在NAO8的平分上，作￡>EJ_OA于E,根

據線面所成角的定義可知NC。。為直線0C與平面408所成角，在三角形C。。中求解此角

即可.

【詳解】由對稱性可知，點C在平面A0B內的射影。必在NAQB的平分上，

作OELOA于E,連接CE,易知CE上0E,

設OE=1,則OE=1,OQ=&,又NCOE=60°,CE，OE,則OC=2,所以

CD=>JoC2-OD2=y/2>

因此直線0C與平面A0B所成角的正弦值sinNC。。=1

2

故答案為.立

2

17.(l)a=0.3

(2)3.6萬，理由見解析

(3)x=2.9,理由見解析

【分析】(1)根據各組的累積頻率為1,構造方程，可得。值；

(2)由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率，進而可估算出月均用水量不低于3噸的人數;

(3)由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率及月均用水量低于3噸的頻率，進而可得x值.

【詳解】(1)0.5x(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,

a=0.3；

(2)由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為：0.5x(0.12+0.08+0.04)=0.12,

由30x0.12=3.6,得全市居民中月均用水量不低于3噸的人數約為3.6萬；

(3)由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率為：

0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73<85%；

月均用水量低于3噸的頻率為：0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0,88>85%；

?__.._0.85—0.73.

則nx=2.5+0.5x--------------=2.9噸.

03x0.5

18.(1)(x-2)2+(y+3)2=25(2)10

(1)不妨設圓心為C(a力)，半徑為，結合待定系數法和點到直線距離公式即可求解；

(2)由圓心到直線距離公式求得弦心距d,再由幾何性質和勾股定理求得弦長，利用

5=即可求解

【詳解】⑴設圓心為C(?,b),半徑為r，則圓的標準方程為;(x-4+(y-a2=產,由題可

3。+2人=0a=2

得((2+。)2+/二產解得b=-3,則圓C的標準方程為(x—2)2+(y+3『=25；

|4tz-3Z?+8|_r=5

（2）如圖，可求出圓心到直線/：x-2y-3=0的距離”」2-2x（-：）-3=0|=t，

則半弦長\=1/一1=<25-5=2石,]=4非,

本題考查待定系數法求圓的標準方程，由圓的幾何性質求弦長，屬于中檔題

19.(1)J=-2.4x+37.2

(2)22.8千人

(3)答案見解析

【分析】（1）根據題中數據計算得b=-2.4,“=37.2即可解決；（2）根據（1）中回歸方程計

算即可；（3）言之有理，客觀分析即可.

【詳解】（1）設回歸方程為y=bx+”，由表中數據知，

x=3>y=30.

所以人-2x5+（-l）x3+0x（-2）+lx（-l）+2x（-5）=上=_24,

4+1+4+15一

所以4=］一爪=30—（—2.4）x3=37.2,

所以丫關于x的回歸方程y=-2.4x+37.2.

（2）由（1）得》關于x的回歸方程y=-2.4x+37.2.

令x=6,y=-2.4x6+37.2=22.8（千人），

所以預測該市2023年參加高考的人數為22.8千人.

(3)①該市經濟發(fā)展速度慢;

②該市人口數量減少；

③到省會城市求學人數增多.

20.(1)證明見解析

⑵叵

7

【分析】(1)由已知條件證明_￡4P為等邊三角形，則有尸0，”，證明4平面印，

則有可得FO_L平面ABC。；

(2)建立空間直角坐標系，利用法向量解決二面角的問題.

【詳解】(1)：A8〃CD,CD=2AB,P為C。的中點，APC8為平行四邊形，A尸〃BC且

AP=BC=2

VZABC=90°,AB1BC,則APLAB.

又,/ZBAF=90°,二AB±AF,

二NEAP為二面角尸一至-。的平面角，.NE4P=60。

X'：AF=AP=2,??一R4P為等邊三角形，：。為小的中點，則尸。_LAP,

又APLAB,AF,APu平面即，AFr\AP=A,，AB工平面/

：FOu平面FAP,：.FO1AB,

AB,APu平面ABC。，ABIAP=A,尸0,平面A3CO.

(2)設8c的中點為Q,以。P，OQ,。尸所在的直線分別為怎，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，

則尸(0,0,6)，A(T，0,0),0(1,-2,0),成0,1,6)，8(-1,2,0),C(l,2,0).

AF=(l,0,>/3)AD=(2,-2,0)BC=(2,0,0)￡C=(1,1,-^)

設平面AO尸的一個法向量為6=（芯,如馬）,則

m?AF=M+6Z、=0

令z=—l,則x=y=J5，機=(G,G,—1).

m-AD=2玉-2%=0

設平面BCE的一個法向量為n=（x2,y2,z2）,則

n-BC=2x1=0

,令z=l,則x=0,y=K，n-(0,V3,l).

n-EC=x2+y2-V3z2=0

J"_幣

|m|-|n|7

.?.所求二面角的正弦值為

21.(1)V=8x(2)證明見解析

（1）先分析出點P在直線戶-1的右側，然后利用拋物線的定義寫出方程即可

（2）設出直線/的方程和A、8兩點坐標，聯立方程求出機的范圍和4、8兩點縱坐標之和和

積，寫出直線8。的方程，然后利用前面得到的關系化簡即可.

【詳解】（1）不難發(fā)現，點尸在直線％=-1的右側，

，P到尸（2,0）的距離等于P至IJ直線x=—2的距離.

.?.P的軌跡為以尸（2,0）為焦點，以x=-2為準線的拋物線，

二曲線C的方程為V=8x.

（2）設直線/的方程為x=〃?y-2,4（4,乂）,3（&,%）

聯立《2o，得丁-8my+16=0,A=64/n2-64>0,解得勿>1或

[y=8x

又點A關于x軸的對稱點為D,

則直線BO的方程為＞-%="*（*-當）